新教材高考数学一轮复习第2章函数的概率与基本初等函数ⅰ第1节函数及其表示学案含解析

第2章 函数的概率与基本初等函数Ⅰ

第一节　函数及其表示

一、教材概念·结论·性质重现

1．函数的概念

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A．

2．函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f (x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈A}叫做函数的值域．

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．

3．函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法．

4．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数． (×)

(2)对于函数f ：A→B，其值域是集合B． (×)

(3)f (x)＝＋是一个函数． (×)

(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数． (×)

(5)函数y＝f (x)的图象可以是一条封闭的曲线． (×)

2．函数y＝ln(2－x)的定义域为(　　)

A．(0,2) B．[0,2)

C．(0,1] D．[0,2]

B　解析：由题意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故定义域为[0,2)．

3．若函数y＝f (x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f (x)的图象可能是(　　)

B　解析：A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数的值域不是[0,2]．

4．已知函数f (x)＝，若f (a)＝3，则实数a＝________.

10　解析：因为f (a)＝＝3，所以a－1＝9，即a＝10.

5．设f (x)＝若f (2)＝4，则a的取值范围为________．

(－∞，2]　解析：因为f (2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，所以a的取值范围为(－∞，2]．

考点1　函数的定义域——基础性

1．(2020·北京卷)函数f (x)＝＋ln x的定义域是________．

(0，＋∞)　解析：要使函数有意义，需满足即x>0，所以函数f (x)的定义域为(0，＋∞)．

2．函数f (x)＝＋ln(x＋4)的定义域为________．

(－4,1]　解析：要使函数f (x)有意义，需满足解得－4<x≤1，

即函数f (x)的定义域为(－4,1]．

3．若函数y＝f (x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．

[0,1)　解析：因为y＝f (x)的定义域为[0,2]，

所以，要使g(x)有意义应满足解得0≤x<1.所以g(x)的定义域是[0,1)．

4．已知函数f (x－1)的定义域为[0,2 022]，则函数g(x)＝的定义域为________．

[－2,1)∪(1,2 020]　解析：由函数f (x－1)的定义域为[0,2 022]，得函数y＝f (x)的定义域为[－1，2 021]．

令

得－2≤x≤2 020且x≠1.

所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 020]．

考点2　求函数的解析式——综合性

(1)已知f ＝lg x，求f (x)的解析式．

(2)已知f (x)是二次函数，且f (0)＝0，f (x＋1)＝f (x)＋x＋1，求f (x)的解析式．

(3)已知函数f (x)满足f (－x)＋2f (x)＝2x，求f (x)的解析式．

解：(1)(换元法)令＋1＝t，得x＝.

代入得f (t)＝lg.

又x>0，所以t>1.

故f (x)＝lg，x∈(1，＋∞)．

(2)(待定系数法)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f (0)＝0，知c＝0，所以f (x)＝ax2＋bx.

又由f (x＋1)＝f (x)＋x＋1，

得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，

即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，

所以解得a＝b＝.

所以f (x)＝x2＋x，x∈R.

(3)(解方程组法)由f (－x)＋2f (x)＝2x，①

得f (x)＋2f (－x)＝2－x.②

①×2－②，得3f (x)＝2x＋1－2－x，即f (x)＝.

故f (x)＝，x∈R.

1．已知f ＝＋，则f (x)＝(　　)

A．(x＋1)2 B．(x－1)2

C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1

C　解析：f ＝＋＝－＋1.令＝t，得f (t)＝t2－t＋1，即f (x)＝x2－x＋1.

2．已知f (x)是一次函数，且f (f (x))＝4x＋3，则f (x)的解析式为________．

f (x)＝－2x－3或f (x)＝2x＋1　解析：设f (x)＝ax＋b(a≠0)，则f (f (x))＝f (ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.

所以

解得或

故f (x)＝－2x－3或f (x)＝2x＋1.

3．已知f (x)满足2f (x)＋f ＝3x，则f (x)＝________.

2x－(x≠0)　解析：2f (x)＋f ＝3x，①

把①中的x换成，得2f ＋f (x)＝.②

联立①②可得

解此方程组可得f (x)＝2x－(x≠0)．

考点3　分段函数——应用性

考向1　分段函数求值

(1)设f (x)＝则f (f (1))的值为(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

B　解析：因为f (x)＝ 所以f (1)＝22－1＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝log28＝3. 故选B．

(2)设函数f (x)＝若f (f (a))＝2，则a＝________.

　解析：当a>0时，f (a)＝－a2<0，f (f (a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝(a＝0与a＝－舍去)；当a≤0时，f (a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，f (f (a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．综上可知，a＝.

考向2　分段函数与方程、不等式

设函数f (x)＝则满足f (x＋1)＜f (2x)的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)

C．(－1,0) D．(－∞，0)

D　解析：函数f (x)的图象如图所示．结合图象知，要使f (x＋1)＜f (2x)，则需或所以x＜0.故选D．

1．(2021·天津南开中学高三月考)函数f (x)满足f (x＋4)＝f (x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x)＝则f (f (15))的值为________．

　解析：由f (x＋4)＝f (x)得函数f (x)的周期为4，所以f (15)＝f (16－1)＝f (－1)＝＝，

因此f (f (15))＝f ＝cos＝.

2．已知函数f (x)＝若f (a)－f (－a)>0，则实数a的取值范围为________．

(－2,0)∪(2，＋∞)　解析：当a＝0时，显然不成立．当a>0时，不等式f (a)－f (－a)>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2. 当a<0时，不等式f (a)－f (－a)>0可化为－a2－2a>0，解得－2<a<0. 综上所述，a的取值范围为(－2,0)∪(2，＋∞)．

3．若函数y＝f (x)的图象上存在不同的两点M，N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f (x)的一对“和谐点对”．已知函数f (x)＝则此函数的“和谐点对”有________对．

2　解析：由题意可知，f (x)的“和谐点对”数可转化为y＝ex(x<0)和y＝－x2－4x(x<0)的图象的交点个数．由图象知，函数f (x)有2对“和谐点对”．