2022届河南省洛阳市第一高级中学高三数学终极猜题卷全国卷（文）试题含解析

2022届河南省洛阳市第一高级中学高三数学终极猜题卷全国卷（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】B

【分析】求出集合中元素范围，再利用并集和补集的概念计算即可.

【详解】因为，，

所以，

所以或.

故选：B.

2．复数的共轭复数为，则（       ）

A． B． C．6 D．8

【答案】A

【分析】由复数乘方运算及共轭复数概念写出，进而求模.

【详解】由题意，，而，

所以，则.

故选：A.

3．已知，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用“1”的变换，所求式子化为关于的齐次分式，化弦为切，即可求解.

【详解】.

故选:B

【点睛】本题考查同角间三角函关系，弦切互化是解题的关键，属于基础题.

4．已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：设出等比数列的公比，利用求出公比，利用等比数列通项公式求解即可.

详解：设公比为，则，

解得，

故选:A.

点睛：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，意在考查对基本概念与基本公式的应用及掌握的熟练程度.

5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由指、对、幂的性质知：，，，比较它们大小即可得出答案.

【详解】因为，，，

所以.

故选：B.

6．如图，正方形ABCD中灰色阴影部分为四个全等的等腰三角形，已知，若在正方形ABCD内随机取一点，则该点落在白色区域的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出白色区域的面积和正方形的面积，利用几何概型的概率公式求解即可

【详解】由题易知四边形EFGH为正方形，且

由得，所以的高为，

故白色区域的面积为

又正方形ABCD的面积为8，

所以若在正方形ABCD内随机取一点，该点落在白色区域的概率为，

故选：A.

7．在四面体中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】把四面体补成一个长，宽，高分别为，，1的长方体，取的中点，连接，，运用条件可得是等腰直角三角形，然后可得出答案.

【详解】如图，把四面体补成一个长，宽，高分别为，，1的长方体，

取的中点，连接，.

因为，分别是，的中点，所以，，

同理，.

因为，所以，

所以是等腰直角三角形，则，

即异面直线与所成的角为.

故选：B

【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力与运算求解能力，属于基础题.

8．印制电路板(PCB)是电子产品的关键电子互联件，被誉为“电子产品之母”.印制电路板的分布广泛，涵盖通信设备、计算机及其周边、消费电子、工业控制、医疗、汽车电子、军事、航天科技等领域，不可替代性是印制电路板制造行业得以始终稳固发展的要素之一.下面是PCB主要成本构成统计图(单位：%)，则下列结论错误的是（       ）

A．覆铜板成本占PCB材料成本的50%

B．钢箔成本占材料成本的15%

C．磷铜球成本占材料成本的6%

D．防焊油墨、磷铜球、球钢箔、其他材料的成本占比成等差数列

【答案】C

【分析】首先求出材料成本占总成本的百分比，即可得到其他材料占比，再一一判断即可；

【详解】解：由图中数据可得，材料成本占总成本的，所以覆铜板成本占材料成本的，故A正确；

钢箔成本占材料成本的，故B正确；

磷铜球成本占材料成本的，故C错误；

其他材料占比为，

所以防焊油墨、磷铜球、球钢箔、其他材料的成本占比成等差数列，故D正确.

故选：C.

9．已知抛物线，倾斜角为的直线交于两点.若线段中点的纵坐标为，则的值为（       ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】C

【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理和中点公式可求的值.

【详解】设直线方程为，联立得，

设，则，

因为线段中点的纵坐标为，所以，所以.

故选：C.

【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用弦中点求解参数时，一般利用待定系数法，结合韦达定理及中点公式可得结果，侧重考查数学运算的核心素养.

10．已知函数的最小正周期为，将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（       ）

A．函数在上是增函数

B．函数的图象关于直线对称

C．函数是奇函数

D．函数的图象关于点中心对称

【答案】A

【分析】由辅助角公式及周期公式可求得，再根据图象变换可求得，再根据整体法和三角函数的性质逐一判断各选项即可．

【详解】解：∵，

∴，得，

∴，

∴，

对于A，由得，，此时单调递减，则函数单调递增，则A对；

对于B，由得，，则B错；

对于C，，则函数是偶函数，则C错；

对于D，由得，，则D错；

故选：A．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，属于基础题．

11．已知是上的单调递增函数，，不等式恒成立，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令在上是增函数，不等式恒成立等价于，所以，令，转化为.

【详解】依题意，在上是增函数，，不等式恒成立，

即恒成立，

等价于恒成立，

，

令，则，

易得，，.

故选：D.

12．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心.若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设正三棱锥的底面边长为，高为，则圆柱高为，底面圆半径为，利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径，再求出正三棱锥的外接球的半径为，即可求出结果．

【详解】设正三棱锥的底面边长为，高为，如图所示：

则圆柱的高为，底面圆半径为，

设圆柱的外接球半径为，则，

，解得，此时，，

设正三棱锥的外接球的半径为，则球心到底面距离为，

，由勾股定理得，解得，故.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了几何体的外接球，是中档题．

二、填空题

13．已知向量满足，，若所成的角为60°，则_________.

【答案】1

【分析】由两边同时平方可得出，再由数量积的定义可求出答案.

【详解】因为，所以，

又因为所成的角为，，所以，所以.

故答案为：1.

14．已知实数x，y满足，则的最大值为______.

【答案】

【分析】根据题意作出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分（含边界）所示，作出直线并平移，易知当平移后的直线经过点A时，目标函数z取得最大值.

【详解】根据题意作出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分（含边界）所示，作出直线并平移，易知当平移后的直线经过点A时，目标函数z取得最大值，由，得，即点，所以目标函数的最大值.

故答案为：.

15．已知为奇函数，且当时，，若当时，的最大值为，最小值为，则的值为________.

【答案】

【分析】利用奇函数的定义求出函数在时的解析式，然后分析函数在区间，可求出与的值，由此可得出的值.

【详解】因为时，，且是奇函数，

所以当时，，则，

故当时，.

所以当时，是增函数；当时，是减函数.

因此当时，，

又，，.

所以，，因此，.

故答案为.

【点睛】本题考查函数在定区间上最值的求解，解题的关键就是利用奇函数的定义求出函数在定区间上的解析式，并结合函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

16．三角形中，是边上一点，，，且三角形与三角形面积之比为，则__________.

【答案】

【分析】根据角平分线定理可得，再两次利用余弦定理即可得答案；

【详解】因为为的平分线，故.

又，整理得，

所以，故.

又，则.

故答案为：.

【点睛】本题考查角平分线定理和余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

三、解答题

17．已知数列的前项和为，且，．

(1)求的通项公式；

(2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：．

【答案】(1)；

(2)见解析﹒

【分析】(1)利用公式法(与关系)即可求的的通项公式；

(2)分析的通项公式可知其前n项和可以用错位相减法求得﹒

【详解】(1)∵

∴当n≥2时，

∴

∴

∴为从第二项开始的等比数列，公比为q＝3，

又，∴，∴(n≥2)，

n＝1时也满足上式，∴)；

(2)∵，

∴     ①

∴     ②

①－②得，

∴

∵，∴，∴．

18．当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业､创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y（单位：万元）情况，如表所示.

(1)根据5月至9月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.001），并判断相关性；

(2)求出y关于t的回归直线方程（结果中保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.

附：相关系数公式：.（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）②一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.③参考数据：.

【答案】(1)，y与t具有很强的线性相关关系

(2)，10月收入从预测看不能突破1.5万元，理由见解析

【分析】（1）直接套公式求出y与t之间的线性相关系数，即可判断；

（2）套公式求出系数b、a，即可得到回归方程，并求出10月份的收入.

【详解】(1)（1）由5月至9月的数据可知，

，

，，

，

所以所求线性相关系数为

.

因为相关系数的绝对值，

所以认为y与t具有很强的线性相关关系.

(2)由题得，

，

所以，

所以y关于t的回归直线方程为.

当时，，

因为，所以10月收入从预测看不能突破1.5万元.

19．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面．

（1）证明：平面；

（2）若为的中点，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）2．

【分析】（1）通过条件各边长之间的关系得，再利用底面为平行四边形可得，再根据平面求得，即可证明平面.

（2）利用三棱的积和三棱锥的积相等，将体积转化即可.

【详解】（1）证明：∵，∴，

∵，∴．

又∵底面，

∴．

∵，

∴平面．

（2）三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，

而．

所以三棱锥的体积．

【点睛】本题主要考查点、直线、平面的位置关系，以及等体积公式的应用.涉及几何体，特别是棱锥的体积计算问题，一般要进行转化，变换顶点后，有时还需要利用等底等高转换，还可以利用直线上的点为中点或三等分点再进行顶点变换，从而求出几何体的体积.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，实轴长为，且斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，且AB的中点为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C的左、右顶点分别为，，点P，Q为椭圆上异于，的两点，且以P，Q为直径的圆过点，设，的面积分别为，，计算的值.

【答案】(1)

(2)4

【分析】(1)利用点差法结合条件即可得解；

(2)根据PQ是否垂直于x轴，分类讨论，根据题目所给的条件，找出P，Q点坐标之间的关系，在与椭圆方程联立，求出 和 即可.

【详解】(1)设点，，

代入椭圆C的方程得，，

两式相减得，

即，

所以.

因为，，

解得，，

所以椭圆C的方程为.；

(2)

根据题意可知直线PQ的斜率一定存在，

设直线PQ的方程为，

点，，

联立，消去y并整理得.

，，

，.

，，

则，

整理得，解得或.

当时，直线PQ的方程为，不符合题意；

当时，直线PQ的方程为，过定点，

，，

.

【点睛】本题的关键是所给的条件是重复的，因此需要设置系列椭圆，在计算过程中，当时，需要舍去；由于 与 是共底的，面积之比实际上即是 与之比.

21．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)求证时，不等式恒成立．

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为

(2)

【分析】（1）求出导函数，由得增区间，得减区间；

（2）由不等式变形为，右边引和函数，利用导数求得和，在题设条件下说明，即可证不等式成立．

【详解】(1)，

令，解得.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.

(2)要证不等式恒成立，

即恒成立.

令，

即对恒成立.

由（1）知，当时有极小值也是最小值，，

，令，得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时有极大值也是最大值，.

因为，所以，即，

所以原不等式恒成立．

22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线交于A，两点，若点的坐标为(-1，2)，求.

【答案】（1）；；（2）.

【分析】（1）利用直线的参数方程消去参数即得普通方程，由曲线的极坐标方程，利用代换即得直角坐标方程；

（2）先写出的参数方程(为参数)，与曲线联立，再结合韦达定理，根据参数的几何意义计算即可.

【详解】解：（1）直线的参数方程，消去参数，得直线的普通方程为；

由曲线的极坐标方程，得，

所以曲线的直角坐标方程为；

（2）直线的参数方程可写为(为参数)，代入，

得，设A，两点的参数为，则.

所以.

23．设函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式在区间上恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用绝对值不等式的性质直接求解即可；

（2）根据题意，得到，然后根据，

化简得到，进而根据不等式恒成立的性质得到或恒成立，进而求出的取值范围

【详解】（1）由得，，整理得，

，解得，，

则原不等式解集为：

（2）在区间上恒成立，即为

，即，可得，

，，所以，或，解得

或恒成立，化简得或恒成立，

由，可得，所以，或，

即的取值范围是：

【点睛】关键点睛：解题关键在于根据，进而化简绝对值不等式，得到，最后利用绝对不等式的性质以及不等式的恒成立关系转化为求或成立的问题，进而求解，属于中档题