2022届安徽省皖江名校联盟高三上学期第四次联考数学（理）试题含解析

2022届安徽省皖江名校联盟高三上学期第四次联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解对数、根式不等式求集合A、B，再应用集合的交补运算求.

【详解】由题设，，，故或，

所以

故选：A.

2．复数满足（为虚数单位），则复数的模等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的除法得到再求模长.

【详解】，所以.

故选：B.

3．已知等差数列的前项和为，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．

【详解】设等差数列的公差为，∵，

∴．

解得：，．

则．

故选：C．

4．若，满足，则的最大值为（       ）

A．8 B．10 C．12 D．15

【答案】D

【分析】作出不等式组表示的平面区域，确定目标函数经过哪个点时取到最大值，计算即可.

【详解】如图，画出表示的可行域，

联立 ，解得，故得：，

表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，将代入目标函数得：，

故选：D.

5．在中，“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用余弦函数的单调性、大边对大角定理以及正弦定理判断可得出结论.

【详解】因为、，且余弦函数在上为减函数，

在中，.

因此，“”是“”的充要条件.

故选：C.

6．成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军帐之内作出正确的部署，决定了千里之外战场上的胜利，说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为，则正脊与斜脊长度的比值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合图形，多面体中，取的中点，做交于，做底面于点，坡面与底面所成二面角的为、 ，

，设，得斜脊，因为矩形宽，长为8，得，可得答案.

【详解】如图，多面体中，取的中点，做交于，

做底面于点，则点在上，且点到的距离相等，即，做于点，连接，，则平面，

所以，所以坡面与底面所成二面角为，又，则平面，所以，坡面与底面所成二面角为，

所以正切值，

不妨设，，

可得斜脊，因为矩形宽，

所以长为8，这样正脊，所以正脊与斜脊长度的比值为即.

故选：B.

7．已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先对两边平方，构造齐次式进而求出或，再用正切的二倍角公式即可求解.

【详解】对两边平方得且化为

，

即，

整理可得，

解得或，

代入．

故选：A

8．已知正方体的棱长为4，的中点为，过，，的平面把正方体分成两部分，则较小部分的体积为（       ）

A． B．18 C． D．

【答案】C

【分析】设是的中点，求三棱台的体积即得解.

【详解】解：如图，截面是等腰梯形，是的中点，较小部分是三棱台.

上底面面积，下底面面积，

所以.

故选：C

9．已知函数，若，且，则的最小值等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据解析式，结合对数函数的性质判断的性质，可设，再由已知条件得，构造应用导数求最值即可.

【详解】由解析式知：在各区间上均为增函数且连续，故在上单调递增，且，

所以时，可设，则，得，

于是，

令，则，

所以在上，在上，故在上递减，在上递增，

所以的极小值也是最小值，且为，故的最小值是.

故选：D.

10．在中，，是上一点，且，，则面积的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，，，利用两个三角形与的余弦定理消去得到，再由的余弦定理得到，消，即可得到，再利用基本不等式即可得到答案.

【详解】设，，，由余弦定理可得

，，

消去得，

又，

联立消去得

所以，

因此.

故选：B.

11．已知（为常数），则下列结论：

（1）当时，是的极值点

（2）若有3个零点，则实数的最小值是

（3）时，的零点满足

正确的个数有（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】的零点转化为：，构造函数求导数研究其单调性、极值点即可.

【详解】（1）当时，，令，，，

当时，，单调减，当时，，单调增，

所以，，

因此是增函数，在R上没有极值点，（1）错；

（2）函数，，在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，

唯一的极小值，结合图像可知时，只有2个零点，结论（2）错误.

（3）由（2）解答可知时，的唯一零点是负数，

注意，，所以结论（3）正确.

故选：B.

12．已知函数，则（       ）

A．2020 B．2021 C．4041 D．4042

【答案】C

【分析】根据关于点中心对称便可求的答案.

【详解】解：由题意得：

，关于中心对称

，

又

.

故答案为：C

二、填空题

13．已知，则______.

【答案】2

【分析】由已知可得，，再利用对数的运算性质可求得结果

【详解】，，得，，

所以

故答案为：2

14．函数，，则的单调递减区间是______.

【答案】（开区间、闭区间均对）

【分析】先将化为只含有一个三角函数的形式，确定，再求出函数的减区间即可.

【详解】,

，

令得,

故答案为：

15．已知是的外心，，若，则的最大值为______.

【答案】

【分析】设，得，求的最大值即可，要使取最大值，得是等腰三角形后可求解问题.

【详解】如图，延长交于，设，则.

因为在上，所以，，求的最大值即可.

注意到，而是定值，故最小，即时，取最大值.

此时是等腰三角形，，.

.

故答案为：

16．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】令，其中，利用导数可得出，问题转化为对任意的恒成立，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围.

【详解】不等式等价于，令，其中，

，当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，所以，，

问题转化为对任意的恒成立，

分离变量，令，则且不恒为零，

则在单调递增，，

所以，实数的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题

17．在锐角中内角，，的对边分别为，，，且.

(1)求角；

(2)若，，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由2倍角公式统一角度与函数名称后解方程即可；

（2）先由余弦定理求得，再用正弦定理求解.

(1)

所以或者（舍去），又，所以；

(2)

由余弦定理，所以（时不是锐角三角形，舍去）.

所以，可得.

18．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为1的菱形，，，为的中点，为的中点，点在线段上，且.

(1)求证：平面；

(2)求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用三角形中位线定理，根据平行线的性质、线面平行的判定定理，结合面面平行的判定定理、面面平行的性质进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

(1)

取中点，连接，，，由中位线定理得，所以平面

又因为，得.因为平面，平面，

所以平面

因为，是平面内的2条相交直线

所以平面平面，

平面，因此平面；

(2)

由题设底面，建立如图所示空间直角坐标系，

，，，，

，，

易得平面的一个法向量.

设与平面所成角为，则；

19．已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)若，证明：在上恒成立.

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)证明见解析.

【分析】（1）求导函数，分析导函数的符号，可得原函数单调性；

（2）设，求导函数，分析导函数的符号，得出的单调性和最值可得证.

(1)

解：，令得，在上，单调递减，

在上，单调递增，

所以单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)

解：由题设，，

令，得，，在上单调递减，在单调递增，

在取唯一的极小值，也是最小值，，

所以在恒成立.

20．已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列满足.

(1)求数列、的通项公式；

(2)令，证明：.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）由可得，再由可求出公差为2，从而可求出，由，得，两相减可求出，从而可求出，

（2）利用错位相减法求出，再利用放缩法可证得结论

(1)

由，又，

所以.

因为，.

由题设时，由，

得，

所以

得，当时也满足，所以；

(2)

，所以

错位相减得

因为，，

所以.

21．在三棱锥中，，，，，点在上.

(1)若（如图1），证明：；

(2)若二面角是直二面角（如图2），求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据条件求出，从而求得相关角的大小，根据余弦定理可计算DM,BM的长，从而证明，，进而证明平面，

根据线面垂直的性质证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，求出相关向量的坐标，求平面的一个法向量，结合平面的法向量，根据数量积为零，可求得结果.

(1)

由题设，，，

得，

故，;

当时，，

由余弦定理

，，

在中，得，

又中，得.

因为，是平面内的两条相交直线，所以平面，

显然平面，故；

(2)

记（1）中点位置为，以为坐标原点，以过点作AC的垂线为x轴，以为y轴，以为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，

得各点坐标，，，，

令，，

设平面的一个法向量，

则，令， ，

所以，平面的一个法向量是，

当二面角是直二面角时，，所以，

此时，，所以.

22．已知函数.

(1)求函数的极值点；

(2)若函数的图象与的图象有3个不同的交点，试求的取值范围.

【答案】(1)极小值点，无极大值点

(2)

【分析】（1）先求函数的定义域，再对函数求导，然后分和讨论导数的正负，从而可求出函数的极值点，

（2）将问题转化为有3个不相等的零点，然后对函数求导，分，和三种情况，讨论导数的正负，确定函数图象与轴的交点个数，从而可求出的范围

(1)

的定义域是，求导得

当时，，函数没有极值点

当时，令得，在上，单调递减，在上，，单调递增.

所以函数有极小值点，无极大值点，

综上，当时，没有极值点，当时，有极小值点，无极大值点，

(2)

问题等价于有3个不相等的零点，

函数的定义域是，求导得，

记，

当时，在上，，单调递增，不可能有3个零点

当，同样可得，.在上单调递增，不可能有3个零点.

当时，令，得，，

由韦达定理，，所以

在上，，单调递增，

在，，单调递增，

在上，，单调递减，

因为，，

所以

在区间考察的取值.

因为，记

求导得

这里证明一下，当时，，

因为，，

所以在上单调递增，

，即，

在单调递增的区间上，，，

所以存在唯一的使得，

注意到，所以，

由，所以在单调递增的区间上有唯一的零点，

综上所述，函数的图像与的图像有3个不同的交点时，实数的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的极值点，利用导数解决函数零点问题，解题的关键是将问题转化为有3个不相等的零点，然后利用导数判断函数图象与轴的交点情况即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题