2023安徽省皖江名校联盟高三上学期开学考试数学含答案

数 学

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

2. 已知复数为纯虚数，则实数（）

A.  B. 1

C.  D. 2

【答案】C

3. 某农科院学生为研究某花卉种子的发芽率和温度（单位: ）的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

4. 设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（）

A. 3 B. 4 C. 7 D. 13

【答案】B

5. 某小区因疫情需求，物业把招募的5名志原者中分配到3处核酸采样点，每处采样点至少分配一名，则不同的分配方法共有（）

A. 150 种 B. 180 种 C. 200 种 D. 280 种

【答案】A

6. 设直线经过点，则的最小值为（）

A. 16 B. 8 C. 4 D. 2

【答案】B

7. 如图，某港口一天从6时到18时的水深曲线近似满足函数.据此可知当天12时的水深为（）

A. 3.5 B. 4 C.  D.

【答案】A

8. 已知直线：（）被圆：所截的弦长是圆心到直线的距离的2倍，则

A. 6 B. 8 C. 9 D. 11

【答案】C

9. 在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

10. 已知奇函数满足，当时，，则（）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】A

11. 已知球半径为3，其内接圆柱的体积最大值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

12. 设，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知等边三角形的边长为，则______.

【答案】

14. 从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为_________

【答案】

15. 已知点为曲线上的动点，则到直线的最小距离为______.

【答案】

16. 若双曲线的焦点关于渐近线的对称点恰好在该双曲线上，则该双曲线的离心率为___________.

【答案】

三.解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列是公差不为0的等差数列，，且为与的等比中项.

（1）求数列的通项公式;

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）;

（2）.

18. 记的内角的对边分别为，且.

（1）求;

（2）若，求.

【答案】（1）

（2）

19. 为了监控某一条生产线的生产过程，从其产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，其中质量指标值落在区间内的频率是公比为的等比数列.

（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率;

（2）若将频率视为概率，从该条生产线的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望.

【答案】（1）0.05

（2）分布列见解析，1.8

【小问1详解】

设这些产品质量指标值落在区间内频率为，则在区间，内的频率分别为和．

依题意得，解得．

所以这些产品质量指标值落在区间内的频率为．

【小问2详解】

由（1）得，这此产品质量指标值落在区间内的频率为，将频率视为概率得.

从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，

所以其中.

因为的所有可能取值为0，1，2，3，

且，

，

，

.

所以的分布列为

根据二项分布期望公式可知，的数学期望为.

20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，.

（1）求证:;

（2）求与平面所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）

【小问1详解】

因为底面为正方形，且平面，

则可得两两垂直.

以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

设，

则，

因为，所以

所以.

故，

所以.

【小问2详解】

由（1）可知:

设平面的法向量为，

则，

即取，则.

所以.且

设与平面所成角为，

则.

所以.

即与平面所成角的余弦值.

21. 已知线段的长度为3，其端点分别在轴与轴上滑动，动点满足.

（1）求动点的轨迹的方程;

（2）当点坐标为，且点在第一象限时，设动直线与相交于两点，且两直线的斜率互为相反数，求直线的斜率.

【答案】（1）

（2）.

22. 已知函数.

（1）求的单调性；

（2）证明：.

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增

（2）证明见解析

【小问1详解】

解：定义域为，

，

当或时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增；

【小问2详解】

证明：令，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以的最小值为，

故当时，，即，

当时，，

因为，

所以，

所以，

所以.