2023届四川省成都市第七中学高三上学期零诊模拟检测理科数学试题含解析

这是一份2023届四川省成都市第七中学高三上学期零诊模拟检测理科数学试题含解析，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

四川省成都市第七中学2023届高三上学期零诊模拟检测
理科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设非空集合，满足，则（       ）
A．，有 B．，有
C．，有 D．，有
2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知均为单位向量，且满足，则的值为（       ）
A． B． C． D．
4．数列满足，则以下说法正确的个数（       ）
①
②；
③对任意正数，都存在正整数使得成立
④
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，，，，则的最小值为（       ）

A． B．
C． D．
6．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是(       )

A． B．
C． D．
7．在正四面体中，异面直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
8．对于角，当分式有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子（       ）
A． B． C． D．
9．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．
设函数，则（       ）
A．2014 B．2013 C． D．1007
10．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（       ）

A． B． C． D．
11．已知不等式恰有2个整数解，则a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“，使得”为假命题，则a的取值范围为________.
14．已知为数列的前n项和，数列满足，且，是定义在R上的奇函数，且满足，则______．
15．已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则的取值范围为______________．
16．设函数，若存在互不相等的个实数，使得，则的取值范围为__________.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答
17．由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，且米，．记．

(1)当时，求；
(2)请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值．
18．如图1，在边上为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．

(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
(2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得二面角余弦值的绝对值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
19．新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验．根据普遍规律．志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力．通过检测，用表示注射疫苗后的天数．表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示：
天数
1
2
3
4
5
6
抗体含量水平
5
10
26
50
96
195
根据以上数据，绘制了散点图．

(1)根据散点图判断，与（，，，均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述与关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果求出关于的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；
(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的值大于50的天数为，求的分布列与数学期望．
参考数据：








3.50
63.67
3.49
17.50
9.49
12.95
519.01
4023.87
其中．
参考公式：用最小二乘法求经过点，，，…，的线性回归方程的系数公式， ，．
20．是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过 三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.

（1）求抛物线的方程；
（2）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点与圆有两个不同的交点，求当 时，的最小值.
21．已知函数．
（1）当时，求函数的极小值；
（2）若上，使得成立，求的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为：(t为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线交于两点，且，求直线的倾斜角．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数，，．
（Ⅰ）当时，有，求实数的取值范围．
（Ⅱ）若不等式的解集为，正数，满足，求的最小值．






参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
由已知可得即可判断.
【详解】
，，，有.
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
先由复数的除法得，再求其共轭复数即可得解.
【详解】
由，可得.
在复平面内对应的点为位于第三象限.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.
3．B
【解析】
【分析】
通过向量的线性运算进行化简求值即可.
【详解】
，同理

．
故选：B.
4．B
【解析】
【分析】
利用二次函数的性质及递推关系得，然后作差，可判断①，已知等式变形为，求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得，可判断③，利用数学归纳法思想判断④．
【详解】
因为，若，则，
∴，∴，①错误；
由已知，
∴，②正确；
由及①得，，
∴，
显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，③正确；
(i)已知成立，
(ii)假设，则，
又，
∴，
由数学归纳法思想得④错误．
故选：B．
5．C
【解析】
【分析】
根据抛物线过点求得抛物线方程，求得焦点和圆心坐标以及圆的半径.根据焦半径公式得到，转化为，利用基本不等式求得上式的最小值.
【详解】
由题意抛物线过定点，得抛物线方程，焦点为，圆的标准方程为，所以圆心为，半径.由于直线过焦点，所以有，又.故选C.
【点睛】
本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，考查基本不等式求和式的最小值，属于中档题.
6．B
【解析】
执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.
【详解】
由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：
第1次循环：；
第2次循环：；
第3次循环：；

第10次循环：，
此时满足判定条件，输出结果，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7．D
【解析】
【分析】
在正四面体中易证,即，然后作出直线与平面所成的角，二面角的平面角，在将之放到三角形中求解比较其大小.
【详解】
在正四面体中,设棱长为2,
设为底面三角形是中心，则平面.
取边的中点，连结, 如图.

则易证,又.
所以平面,又平面，
所以.
所以异面直线与所成的角为.
又平面.
所以直线与平面所成的角为
在中,,
所以.
取边的中点，连结，
则有，
所以二面角的平面角为,
在中，
由余弦定理有：,
即，
所以，
故选：D.
【点睛】
本题考查异面直线成角，线面角，二面角的求法，关键是在立体图中作出相应的角，也可以用向量法，属于中档题.
8．D
【解析】
利用同角三角函数的关系可得，即可得解.
【详解】
，
，
故选：D.
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了运算能力，属于中档题.
9．A
【解析】
【分析】
由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点，对称，即，即可得到结论．
【详解】
由可得，所以，
令得，因为，所以函数的对称中心为．
综上可得，

故选：A
【点睛】
本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．
10．B
【解析】
根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.
【详解】
依题意得所拨数字共有种可能．
要使所拨数字大于200，则
若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，
有种；
若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠，
有种，
则所拨数字大于200的概率为，
故选：B．
【点睛】
本题考查排列组合的应用，求古典概型概率，涉及分类讨论的思想，属于中档题.
11．C
【解析】
【分析】
首先通过不等式分析，排除的可能性，对于,将不等式分离参数，得到，分析排除的情况，然后令，利用导数分析其单调性，结合函数的正负值和零点，极值点分析，得到函数的大致图象，然后观察图象分析，将问题要求等价转化为，进而求解.
【详解】
当时，即为,即,不成立；
当时不等式等价于,
由于，故不成立；
当时，不等式等价于，
若，则不等式对于任意的恒成立，满足不等式的整数有无穷多个，不符合题意；
当时，令，则，
在上，∴单调递增，在上，∴单调递减，且在(上,在上,
又∵在趋近于时，趋近于0，
∴在上的图象如图所示：

∵，∴当时，不等式等价于有两个整数解，这两个整数解必然是和0，充分必要条件是,即,∴，
故选：C
【点睛】
分类讨论是解决这类问题的重要方法，利用导数研究单调性后要结合函数的零点和极值，极限值进行分析，然后利用数形结合思想找到题设要求的充分必要条件，是问题解决的关键步骤.
12．C
【解析】
【分析】
由可得在的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得为的内心，再由内心的向量表示，推得，再由双曲线的定义和离心率公式，即可求解.
【详解】
因为，所以是的角平分线，
又因为点在直线上，且在双曲线中，点是双曲线右支上异于顶点的点，
则的内切圆圆心在直线上，即点是的内心，
如图，作出，并分别延长、、至点、、，使得，

，，可知为的重心，
设，，，由重心性质可得，
即，
又为的内心，所以，
因为，所以，，则，
所以双曲线的离心率.
故选：C.
【点睛】
三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论：
设的角，，所对边分别为，，，则
（1）的重心满足；
（2）的内心满足；
（3）的外心满足.
13．
【解析】
根据题意可得当时，恒成立，分离参数只需，由函数在上单调递增即可求解.
【详解】
若“，使得”为假命题，
可得当时，恒成立，只需.
又函数在上单调递增，所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查了由命题的真假求参数的取值范围，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.
14．0
【解析】
【分析】
利用数列通项公式与前n项和公式的关系求通项的递推关系，再构造等比数列求出通项公式.根据和f(x)是R上奇函数可得f(x)是周期为4的函数，且f(0)＝f(2)＝0.，将用二项式定理展开，其中能被4整除的部分在计算时即可“去掉”，由此即可求出答案.
【详解】
，，
两式相减得，，即，
，即数列是以为首项，3为公比的等比数列，
，.
是定义在R上的奇函数，且满足，
令，则，
又＝－f(－x)，
∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝－[－f(－x)]＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，即是以4为周期的周期函数.



其中能被4整除，
.
故答案为：0．
【点睛】
本题综合考察了数列求通项公式的两个方法：利用通项公式和前n项和公式的关系，以及构造等比数列，考察了函数周期的求法，还考察了利用二项式定理处理整除问题，属于难题.
15．
【解析】
【详解】
由a2＋b2＝c2可设a＝csinx，b＝ccosx，＝＝，可以理解为点(2，0)与单位圆上的点连线的斜率的范围，而两条切线的斜率为±，则的取值范围为.
16．
【解析】
【分析】
由题意可得f（x）=7x有4个不同实根，讨论x≤1时，x＞1时，由解方程和运用导数判断单调性和极值、最值，解不等式即可得到所求范围．
【详解】
由====7，
可得f（x）=7x有4个不同实根，
当x≤1时，f（x）=|12x﹣4|+1=7x，解得x=或x=，
故当x＞1时，f（x）=7x有2个不同实根，
设g（x）=f（x）﹣7x=x（x﹣2）2﹣7x+a（x＞1），
g′（x）=（3x+1）（x﹣3），
当1＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当x＞3时，g′（x）＞0，g（x）递增．
则g（x）min=g（3）=a﹣18，又g（1）=a﹣6，
由a﹣18＜0，且a﹣6＞0，
解得6＜a＜18．
故答案为：．
【点睛】
本题考查函数和方程的转化思想，考查分类讨论思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．
17．(1)；
(2)，；当时，取得最大值.
【解析】
【分析】
（1）在△中由正弦定理求得，即可由数量积的定义求得结果；
（2）在△中由正弦定理用表示，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函数的性质，即可求得取得最大值时对应的.
(1)
根据题意，在△中，，又，
故由正弦定理可得：
解得，，
故.
即.
(2)
由题可知，在△中，，
则由正弦定理，可得，
故可得，
故



.
即.
当时，，此时取得最大值.
18．(1)在翻折过程中总有平面平面，证明见解析
(2)
(3)存在且为线段的中点
【解析】
【分析】
（1）证明出平面，进而证明面面垂直；（2）找到当平面时，四棱锥体积最大，直线和平面所成角的为，
求出，，由勾股定理得：，从而求出的正弦值；（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量和二面角的大小，列出方程，确定点的位置
(1)
在翻折过程中总有平面平面，
证明如下：∵点，分别是边，的中点，
又，∴，且是等边三角形，
∵是的中点，∴，
∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴，
∵，平面，平面，
∴平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
(2)
由题意知，四边形为等腰梯形，
且，，，
所以等腰梯形的面积，
要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，
∴当平面时，点到平面的距离的最大值为，
此时四棱锥体积的最大值为，
直线和平面所成角的为，
连接，在直角三角形中，，，
由勾股定理得：.
．
(3)
假设符合题意的点存在．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
由（2）知，，
又，且，平面，平面，
平面，
故平面的一个法向量为，
设（），
∵，
，故，
∴，，
平面的一个法向量为，
则，，
即
令，所以
，
则平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，解得：，
故符合题意的点存在且为线段的中点．
19．(1)更适合
(2)，
(3)分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】
（1）根据散点图的特征即可选择相应的方程类型.
（2）将非线性转化成线性关系，然后利用最小二乘法求出对应的线性回归方程，进而可得非线性方程，利用求出的方程代值求解.
（3）根据超几何分步求概率，进而可得分步列.
(1)
根据散点图，点的分布呈现曲线状，所以更适合作为描述与关系的回归方程类型．
(2)
设，变换后可得，
设，建立关于的回归方程，
，
，
所以关于的回归方程为，
所以，
当时，，
即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为
(3)
由表格数据可知，第5，6天的值大于50，
故的可能取值为0，1，2，
，，
的分布列为

0
1
2




．
20．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知得，设，有圆心纵坐标值为OF的一半，求b的值，进而求参数p，写出抛物线方程；
（2）由直线与抛物线有两个不同交点：联立方程，结合韦达定理及弦长公式得，由已知有，根据（1）求坐标及圆的半径，写出圆的方程，与直线方程联立，同理可得，应用函数与方程的思想，结合导数研究单调性，求的最值.
【详解】
（1）抛物线的焦点，设
由题意知：圆心纵坐标值为OF的一半，即，则点到抛物线的准线的距离为，解得，
∴抛物线的方程为.
（2）由，得：，设，
∵，
∴，则，
由题意知：，可得，
∴由，得，设，而，
∴，则，
∴，令，则，则，
令，则
∴在上为增函数，故时，的最小值为.
【点睛】
关键点点睛：
（1）利用三角形外心与边长的关系可知的纵坐标与O、M坐标的关系，结合距离求参数p，写出抛物线方程；
（2）根据直线与抛物线、圆的位置关系，应用韦达定理及弦长公式，得到关于参数m的函数，利用导数研究其区间单调性求最值.
21．(1)2；(2).
【解析】
【详解】
试题分析：（1）将参数值代入表达式，再进行求导，根据导函数的正负得到原函数的单调性，进而得到极值；（2）,有解，即h(x)的最小值小于0即可，对函数求导，研究函数的单调性，得到最小值即可.
解析：
（1）当时，
令0，得
且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
所以在时取得极小值为.
（2）由已知：，使得
，即：
设，则只需要函数在上的最小值小于零．
又，
令，得（舍去）或．
①当，即时，在上单调递减，
故在上的最小值为，由，可得．
因为，所以．
②当，即时，在上单调递增，
故在上的最小值为，由，
可得（满足）．
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为．
因为，所以，
所以，即，不满足题意，舍去．
综上可得或，
所以实数的取值范围为．
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）
22．(1)当时，直线的普通方程为；当时，直线的普通方程为；
(2)或
【解析】
【分析】
（1）因为直线的参数方程为（为参数），讨论和时，消去参数，即可求出直线的普通方程，因为，即可求出曲线的直角坐标方程.
（2）将直线的参数方程代入曲线的方程整理，．因为，可设该方程的两个根为，所以，代入即可求出直线的倾斜角.
(1)
因为直线的参数方程为（为参数），
当时，直线的普通方程为．
当时，直线的普通方程为．
因为，，
因为，所以．
所以的直角坐标方程为．
(2)
曲线的直角坐标方程为，
将直线的参数方程代入曲线的方程整理，
得．
因为，可设该方程的两个根为，
则，．
所以
．
整理得，
故．
因为，所以或，
解得或或，
综上所述，直线的倾斜角为或．
23．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可；
(II)由不等式的解集为可求出的值，代入并用表示，再把代入利用基本不等式求出最小值.
【详解】
解：（Ⅰ）由题意得：在上恒成立，
在上恒成立．
，
又，
当且仅当，即时等号成立．
，即．
（Ⅱ）令，，
若时，解集为，不合题意；
若时，，，又，
，综上所述：，
，
，解得，，
，当且仅当，即时等号成立，
此时．当，时，．
【点睛】
本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.