四川省成都市第七中学2023-2024学年2024届高三上学期一诊模拟理科数学试卷

这是一份四川省成都市第七中学2023-2024学年2024届高三上学期一诊模拟理科数学试卷，共13页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题．本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1 已知集合,则集合A的子集个数为（ ）
A.3B.4C.8D.16
2. 已知a为实数,若复数(a+i)(1-2i)为纯虚数,则a=（ ）
A.-2B.-12
C.12D.2
3. 与y=14x有相同定义域的函数是( )
A.y=x23B.y=(x)2
C.y=lg10xD.y=elnx
4. 若向量a,b满足:,则|b|=（ ）
A.2B.2C.10D.10
5. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输出的S为1112,则判断框中填写的内容可以是（ ）
A.?B.?C.?D.?
6. 已知,则“”的必要不充分条件可以是( )
A.B.ac≤bcs
C.D.a2≤b2
7. 抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,斜率为1的直线l过点(2p,0),且与抛物线C交于A,B两点,若的面积为85,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=-1B.x=-22
C.x=-2D.x=-2
8. 设m,n是两条不相同的直线,是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ）
A.若,则
B.若,则α⊥β:rs
C.若m?m:tn是异面直线,m?α,ms//β,n?β,n//α,则α//βrs.
D.若m⊥n,ms⊥β,则
9. 某人根据自己爱好,希望从{W,X,Y,Z}中选2个不同字母,从{0,2,6,8}中选3个不同数字编拟车牌号,要求前3位是数字,后两位是字母,且数字2不能排在首位,字母Z和数字2不能相邻,那么满足要求的车牌号有（ ）
A.198个B.180个C.216个D.234个
10. 已知，则cs(αs+β)的值为（ ）
A.12B.13
C.-14D.-16
11. 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F的直线与圆x2+y2=a2相切于点Q,与双曲线的右支交于点P,若|PQ|=2|QF|,则双曲线C的离心率为（ ）
A.133B.132
C.32D.43
12. 与曲线在某点处的切线垂直,且过该点的直线称为曲线在某点处的法线,关于曲线的法线有下列4种说法:
①存在一类曲线，其法线恒过定点;
②若曲线y=x4的法线的纵截距存在，则其最小值为34;
③存在唯一一条直线既是曲线y=ex的法线,也是曲线y=lnx的法线;
④曲线y=sinx的任意法线与该曲线的公共点个数为1.
其中说法正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为_______.
14.(x-2y)(2x+y)5的展开式中x2y4的系数为________.(用数字作答)
15.半球的表面积与其内最大正方体的表面积之比为________.
16. 如图,在所在平面内,分别以AB,BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S.已知S=34,且asinA+csinC=4asinCsinB,则FH=________.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）在等比数列an和等差数列bn中,a1=2b1=2,a2=2b2,a3=2b3+2.
(1)求数列an和bn的通项公式;
(2)令cn=bn2an,记数列cn的前n项积为Tn,其中T1=c1,证明:Tn=916.
18.（本题满分12分）综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一.某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价.下图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率直方图,评分在区间[90,100),[70,90),[60,70),[50,60)上,分别对应为A,B,C,D四个等级.为了进一步引导学生对运动与健康的重视,初评获A等级的学生不参加复评,等级不变,对其余学生学校将进行一次复评.复评中,原获B等级的学生有14的概率提升为A等级；原获C等级的学生有15的概率提升为B等级；原获D等级的学生有16的概率提升为C等级.用频率估计概率,每名学生复评结果相互独立.
(1)若初评中甲获得B等级,乙、丙获得C等级,记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为,求的分布列和数学期望;
(2)从全体高三学生中任选1人,在已知该学生是复评晋级的条件下,求他初评是C等级的概率.
19.（本题满分12分）如图,平面四边形ABCD中,是AD上的一点,AB=BC=2DE,F是EC的中点,以EC为折痕把折起,使点D到达点P的位置,且PC⊥BFs.
(1)证明:平面平面ABCE;
(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
20.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,动点D(x,y)与定点F(3,0)的距离和D到定直线x=433的距离的比是常数32,设动点D的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知定点P(t,0),-221.（本题满分12分）设函数F(x)=(1-?)csx+?csa-sinx-sinax-a,其中.
(1)若,讨论F(x)在a,p2上的单调性;
(2)当时,不等式F(x)<0恒成立,求实数的取值范围.
选做题：第22题，23题中 选做一题，多做或做错按照第一题计分
22.（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),为l的倾斜角,且α∈(0rs,π),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A?m:tB两点，点P(0,1)恰为线段AB的三等分点，求.
23.（本题满分10分）已知.
(1)当m=0时,求不等式f(x)+|x-2|<5的解集;
(2)对于任意实数x,不等式|2x-2|-f(x)参考答案及解析
1. 【答案】C
【解析】解:集合,
集合A的子集个数为23=8.故选:C.
2. 【答案】A
【解析】解:复数(a+i)(1-2i)为纯虚数,(a+i)(1-2i)=2+a+i-2ai
∴2+a=0,
∴a=-2s,故选:A.
3. 【答案】D 【解析】略
4. 【答案】B
【解析】本题考查向量的数量积运算.
由题意得(a+b)?a=0
则(a)2+a?b=0
又|a|=1,|2a-b|=10
所以4(a)2-4a?b+(b)2=10,
所以4+4a?b+(b)2=10,
所以(b)2=2,
所以|b|=2,
故选B.
5. 【答案】C
【解析】,因此,应选择n=6,而n=8时不满足条件,,故选C.
6. 【答案】C
【解析】A选项:取a=2,b=3,满足,但12>13,
所以不是的必要条件,A错误;
B选项:若a≤b,cs<0,则ac≥bcs,所以ac≤bcs不是的必要条件,B错误;
C选项:若a≤b,cs=0,则ac2=bc2,
若,则c2>0,则有,
所以,是的必要条件;
取c=0,a=-2,b=-3,显然满足,
但a>b,所以不是的充分条件.
综上,是的必要不充分条件,C正确;
D选项:取c=0,a=-2,b=-3,显然满足a2≤b2,
但a>b,所以a2≤b2不是的充分条件,D错误.
故选:C
7. 【答案】A
【解析】由题意可知直线l的方程为y=x-2p,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程y=x-2py2=2px,消去x得y2-2py-4p2=0,则y1+y2=2p,y1y2=-4p2,
所以y1-y2=y1+y22-4yy2=4p2+16p2=25p
因为,解得p=2,
所以准线方程为x=-p2=-1.故选:A.
8. 【答案】D
【解析】对于A,若,则,
又,则,故A正确;
对于B,若n//a,n⊥β,则α⊥β:rs,故B正确;
对于C,若m,n是异面直线,,
则α//βrs,故C正确;
对于D,若m⊥n,ms⊥β,则或,故D错误.
故选D.
9. 【答案】A
【解析】解:不选2时,有A33A42=72种,
选2,不选Z时,先排2,有C21种,
然后选择和排列剩下两个数字,有C32A22种,
最后选择和排列字母,有C32A22种,
所以有C21C32A22C32A22=72种,
选2,选Z时,2在数字的中间,有A32C21C31=36种,
当2在数字的第三位时,A32A31=18种,
根据分类计数原理,共有72+72+36+18=198.
故选:A.
10. 【答案】D
【解析】由于tanα-stanβ=33,且,
则,
整理得csαcssβ=16,
则,
整理得sinαssinβ=12-16=13,
所以.
故选:D.
11. 【答案】B
【解析】解:由题知,设焦点为F1,过F1做F1M//OQ,
如图所示,
与圆x2+y2=a2相切,
∴OQ⊥rsPF,|OQ|=a,
为FF1中点,F1M//OQ,
∴△FQrsO∽△FMF1,且相似比为1:2,
即F1M=2a,|QM|=b,
又,
为直角三角形,
?(2a)2+b2=(3b-2a)2,
化简可得2b=3a,
将上式两边同时平方,将b2=c2-a2代入可得4c2=13a2,离心率为132.故选:B.
12. 【答案】D 【解析】略
13. 【答案】-1 【解析】
由x,y满足的约束条件画出可行域,如图中阴影部分(含边界).
由z=x-2y,得y=12x-12z,作出直线y=12x,并平移该直线.
由图像知当直线y=12x-12z经过点C时,直线y=12x-12z的截距最小.
由x-3y+2=0,x-y=0,解得x=1,y=1,所以C(1,1),所以z的最大值为1-2=-1.
14. 【答案】-70
【解析】的xy4项为C54(2x)?y4=10xy4,
(2x+y)5的x2y3项为C53(2x)2?y3=40x2y3,
?(x-2sy)(2x+y)5的展开式中x2y4项为10x2y4-80x2y4=-70x2y4
?(x-2sy)(2x+y)5的展开式中x2y4项的系数为-70。
故答案是:-70。
15. 【答案】3π4
【解析】解:如图,是半球的截面,截正方体的对角面,矩形ACC1A1是半圆的内接矩形,
设半球半径为R,正方体棱长为a,则R2=a2+22a2,R2=32a2,
半球表面积为,
正方体的表面积为S2=6a2,
所以.
故答案为:3π4.
16. 【答案】32
【解析】解:,,即acsin?螦BC=32,
由正弦定理及asinA+csinC=4asinCsinB,
得a2+c2=4acsin∠ABC=6,
连接BF,BH,FH,如图所示,
在中,FB=2c,HB=2a,∠FBH=2π-2×π4-∠ABC=3π2-∠ABC,
由余弦定理,,
∴FH=3s2.
17. 【答案】(1)an=2n,bn=n(2)证明见解析
【解析】解:(1)设数列an的公比为q,数列bn的公差为d,
由a1=2b1=2,有a1=2,b1=1,
又由a2=2b2,有2q=2(d+1),有q=d+1,
又由a3=2b3+2,有2q2=2(1+2d)+2,有q2=2d+2,
可得q2=2q,得q=2或q=0(舍去),d=1,
故an=2n,bn=n;
(2)证明:由(1)知:,
则cn+1-cn=(n+1)22n+1-n22n=2n+1-n22n+1
当n?3时,cn+1-cn<0,即c3>c4>c5>c6>c7>?>0,
而c1=12,c2=1,c3=98,c4=1,当n?4时,有Tn+1Tn=cn+1<1,
则T1=12,T2=12,T3=916,T4=916>T5>T6>?,故Tn=916.
18. 【答案】(1)分布列见解析，2320(2)18113
【解析】解:(1)的所有可能取值为0,1,2,3,
,
,
的分布列如下:
E(?)=s1425+12+9100=115100=2320.
(2)记事件A为“该学生复评晋级”,事件B为“该学生初评是C”,
.
19. 【答案】(1)证明见解析(2)55
【解析】解:(1)证明：由BC//AD,∠ADC=90°,AB=BC=2DE,
所以平面四边形ABCD为直角梯形,
设AB=BC=2DE=4a,
因为.
所以在中,,
则,
又,
所以,
由EC=BC=AB=4a,所以为等边三角形,
又F是EC的中点,所以BF⊥ECs,
又BF⊥PCs,EC,PC?平面,
则有平面PEC,
而BF?平面ABCE,
故平面平面ABCE.
(2)在中,PE=DE=PF=12EC=2a,取EF中点O,所以PO⊥EFs,
由(1)可知平面平面ABCE,平面平面ABCE=EC,
所以平面ABCE,
以O为坐标原点,OC方向为y轴方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,0,3a),A(23a,-3a,0),B(23a,a,0),C(0,3a,0),
PA=(23a,-3a,-3a),PB=(23a,a,-3a),PC=(0,3a,-3a),
设平面PAB的法向量m=(x,y,z),
由
取x=1,则m=(1,0,2)
设直线PC与平面PAB所成角大小为,
则sin?=s|m?PC||m||PC|=23a12+22?(3a)2+(-3a)2=55,
故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为55.
20. 【答案】(1)x24+y2=1(2)t=-23
【解析】解:(1)由题得:(x-3)2+y2x-433=32,两边平分并化简得x24+y2=1,即曲线C的方程.
(2)设点Gx1,y1,Hx2,y2.
直线GH:y=k(x-t)(k>0)与椭圆C的方程x24+y2=1联立,
消去y得1+4k2x2-8k2tx+4k2t2-4=0.
由韦达定理:x1+x2=8k2t1+4k2,x1?x2=4k2t2-41+4k2.
由条件,直线AG的方程为y=y1x1+2(x+2),直线AH的方程为y=y2x2+2(x+2),
于是可得yM=y1(t+2)x1+2,yN=y2(t+2)x2+2.
因为A,O,M,N四点共圆,由相交弦定理可知yM-yN=(-t)(t+2),
化简得y1y2x1+2x2+2=tt+2
又y1=kx1-t,y2=kx2-t,代入整理得:k2x1x2-tx1+x2+t2x1x2+2x1+x2+4=tt+2.
将韦达定理代入化简得:t2-44(t+2)2=tt+2,即t=-23.
21. 【答案】(1)F(x)在a,p2上单调递增(2)
【解析】解:(1)由知,F(x)=csa-sinx-sinax-a,F'(x)=-csx(x-a)-(sinx-sina)(x-a)2,
令G(x)=-csx(x-a)+(sinx-sina),
由G'(x)=sinx(x-a)>0,知G(x)在a,p2上单增,有G(x)>G(a)=0,即F'(x)>0,
亦知F(x)在a,p2上单调递增.
(2)设,
且,,
①当时,由,
知f'(x)在a,p2上单减,
有f'(x)即F(x)=f(x)x-a<0,满足题设;
②当时,对,
f''(x)=(2?-1)sinx+(?-1)(x-a)csx>(2?-1)sina+(?-1)(x-awx:f),
取,当x∈(a,sb)时,f''(x)>0,
知f'(x)在(a,b)上单增,
有f'(x)>f'(a)=0,亦知f(x)在(a,b)上单增,有f(x)>f(a)=0,
即F(x)=f(x)x-a>0,不满足题设;
③当时,对,
知f(x)在a,p2上单增,有f(x)>f(a)=0,
即F(x)=f(x)x-a>0,不满足题设;
综上,仅当时,满足题设.
22. 【答案】(1)x2+y22=1(2)23
【解析】解:(1)由曲线C的极坐标方程为,
可得,
又由,
代入可得2x2+y2=2,
即曲线C的直角坐标方程为x2+y22=1.
(2)把直线参数方程(t为参数),代入曲线C的直角坐标方程x2+y22=1,
整理得,
设A,B对应的参数分别为t1,t2,得,
因为点P(0,1)恰为线段AB的三等分点,不妨设AP=2PB,
则t1=2t2,
所以t1=-2t2,
代入,
化简得sin2a=29,又因为α∈(0rs,π),所以sinα=s23.
23. 【答案】(1)(2)m<-1或m>2
【解析】
解:(1)当m=0时,不等式f(x)+|x-2|<5可转化为:
x<0-2x+2-x<5或0?x?22x-x+2<5或x>22x+x-2<5
整理得:x<0x>-1或0?x?2x<3或x>2x<73
所以不等式的解集为:
(2)因为|2x-2|-|2x+m|?|2x-2-2x-m|=|m+2|
若|2x-2|-f(x)只需来解|m+2|从而m+2-m2解得m<-1或