2022届安徽省合肥市第八中学高三下学期最后一卷保温数学（文）试题含解析

2022届安徽省合肥市第八中学高三下学期最后一卷保温数学（文）试题

一、单选题

1．已知是虚数单位，复数，则的共轭复数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由的幂运算的周期性和复数除法运算可化简得到，根据共轭复数定义可得结果.

【详解】，，.

故选：B.

2．已知集合，，则满足条件 的集合的个数为（       ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】C

【分析】化简集合A，B，根据条件 确定集合的个数即可.

【详解】因为，,

且

所以集合C的个数为

故选：C

3．命题：若，则；命题，则下列为真命题的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦函数的性质判断，再举例判断，结合且命题的真假逐个判断即可

【详解】若，或，故命题为假；当时，成立，故命题为真.故为真.

故选：A

4．若平面向量的夹角为，且，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用数量积的运算律分别计算每一个选项的向量的数量积即得解.

【详解】解：对于选项A, ,所以该选项不正确；

对于选项B, ,所以，所以该选项正确；

对于选项C, ,所以该选项不正确；

对于选项D, ，所以该选项不正确.

故选：B

5．若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（       ）

A． B．

C．(1，＋∞) D．(1，3]

【答案】A

【分析】画出图象，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解.

【详解】根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝；当直线l过B点时，直线l的斜率k＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.

故选：A.

6．2021年4月8日，教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素.了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养.增强体质健康管理的意识和能力.某高中学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100 名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示.根据此图，下列说法中错误的是（     ）

A．样本的众数约为

B．样本的中位数约为

C．样本的平均值约为66

D．为确保学生体质健康，学校将对体重超过的学生进行健康监测，该校男生中需要监测的学生频数约为200人

【答案】C

【分析】根据众数、中位数、平均值的概念等求值即可判断.

【详解】对于A，样本的众数为，A对；

对于B，设样本的中位数为，，解得，B对；

对于C，由直方图估计样本平均值为

，C错误；

对于D，2000名男生中体重大于的人数大约为，D对.

故选：C.

7．定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2－x，则当x∈[－2，－1]时，f(x)的最小值为（       ）

A．－ B．－

C．－ D．0

【答案】A

【分析】根据函数满足的关系式求出当x∈[－2，－1]时的解析式，由解析式即可求解.

【详解】当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0，1]，则f(x＋2)＝(x＋2)2－(x＋2)＝x2＋3x＋2，

又f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝2f(x＋1)＝4f(x)，

所以当x∈[－2，－1]时，f(x)＝ (x2＋3x＋2)＝，

所以当x＝－时，f(x)取得最小值，且最小值为－，

故选：A.

8．已知数列，满足，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】运用递推公式可以得到，结合已知递推公式可以求出数列的通项公式，再运用裂项相消法进行求解即可.

【详解】因为，①

所以，②

①－②得，，所以，

而，适合上式，所以，，

，

∴.

故选：D．

9．如图，E是正方形ABCD内一点，且满足，，在正方形ABCD内随机投一个点，则该点落在图中阴影部分的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立如下图所示的直角坐标系，由向量法得出，进而由几何概型概率公式得出答案.

【详解】建立如下图所示的直角坐标系

设，，则

因为，所以，解得，即

该点落在图中阴影部分的概率为

故选：B

10．函数在区间上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由周期求出，代点求出的值，可得函数的的解析式，再根据函数的对称性求出的值，结合可得结论．

【详解】由函数的图象，

得，，

又函数过点，得，

又，可知．故．

把的图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），

再向右平移个单位长度后，得到的图象，

∵所得图象关于原点对称，，即

即Z，解得：Z，

由，可得当时，的最小值为．

故选：C

11．已知是双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上的一点，若以为直径的圆与的内切圆的相交弦所在直线方程为，则的内切圆的半径为（       ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】根据内切圆性质结合双曲线定义设出内切圆方程，与以为直径的圆方程相减得出相交弦所在直线方程，对比系数可得.

【详解】由双曲线方程可得，则以为直径的圆方程为，

设的内切圆的切点分别为，

则,

由双曲线定义可得，

即，

则，即，即，则,

则可设的内切圆的方程为，

两圆方程相减可得相交弦所在直线方程为，

则，解得,

所以的内切圆的半径为1.

故选：A.

12．已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（       ）

A．-1 B．2 C．-3 D．4

【答案】B

【分析】对求导，由函数在处取极小值，所以，所以，，对求导，求单调区间及极大值，由的极大值为4，列方程得解.

【详解】解：，所以

因为函数在处取极小值，所以，所以，，，

令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.

故选：B

二、填空题

13．向量在向量方向上的投影向量的坐标为____________.

【答案】

【分析】根据投影的定义,应用在方向上的投影公式求解可得出答案．

【详解】解：根据投影的定义可得：

在方向上的投影为：．

故答案为：．

14．已知公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列，则数列的公差______．

【答案】

【分析】根据题意，即，再解方程即可得答案.

【详解】解：因为等差数列中，，，，成等比数列

所以，，即，解得.

故答案为：

15．若，则的值为___________.

【答案】

【分析】利用二倍角公式和同角三角函数平方关系可构造正余弦齐次式，分子分母同除，代入即可得到结果.

【详解】.

故答案为：.

16．在三棱锥中，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为___________.

【答案】

【分析】由条件可知和为以为斜边的直角三角形，则的中点为外接球的球心. 过做平面，垂足为，由三棱锥的体积可求出高，根据三角形全等可证明在的角平分线上，即，由线面垂直的定理可知，从而可计算，勾股可知的长，从而计算外接球的半径和表面积.

【详解】因为，所以和为以为斜边的直角三角形，则的中点到各个顶点的距离都相等，则为外接球的球心.即为直径.

过做平面，垂足为，连结，，

则，解得：.

，，，，则

分别为在平面内的射影，所以有，

又，为公共边，所以，则，所以在的角平分线上，，

，，，所以有平面，平面，则有，

因为，，所以，则，

则

故外接球的表面积为.

故答案为：

三、解答题

17．中国射击队在东京奥运会上共夺得金银铜枚奖牌的成绩，创下了中国射击队奥运参赛史上奖牌数最多的新纪录．现从某射击训练基地随机抽取了名学员（男女各人）的射击环数，数据如下表所示：

若射击环数大于或等于环，则认为成绩优异；否则，认为成绩不优异．

（1）分别计算男生、女生射击环数的平均数和方差；

（2）完成列联表，并判断是否有的把握认为“成绩优异”与性别有关．

参考公式和数据：，

【答案】（1）男生射击环数的平均数为，方差为；女生射击环数的平均数为，方差为；（2）列联表见解析；没有的把握认为“成绩优异”与性别有关．

【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式直接求解即可；

（2）根据已知数据可得到列联表，则计算可得，由此可得结论.

【详解】（1）根据题中所给数据，

可得男生射击环数的平均数为；

女生射击环数的平均数为．

男生射击环数的方差为；

女生射击环数的方差为．

综上所述：男生射击环数的平均数为，方差为；女生射击环数的平均数为，方差为．

（2）由已知数据可得列联表如下：

，

没有的把握认为“成绩优异”与性别有关．

18．如图所示，在三棱柱中，，，，点在平面ABC的射影为点C．

(1)求证：；

(2)若点D在平面上运动，求CD的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明平面，原题即得证；

（2）CD的最小值即为点C到平面的距离h，利用求解.

【详解】(1)证明：因为平面ABC，平面ABC，

故，

因为，，；

由余弦定理，，

故，所以；

又，平面；

故平面；

而平面，故．

(2)解：依题意，CD的最小值即为点C到平面的距离h，

因为平面ABC，故，，

则，，

又，故为等边三角形，则，

故，

而，故．

19．在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式可得，进而求出角.

（2）设，则，在中，根据正弦定理，再由三角形的面积公式即可求解.

【详解】(1)解：∵，

由正弦定理可得：，

∴，

∵，∴，

∴，∵为锐角，

∴，∴，∴；

(2)解：由题意可知，设，∴，

∵，又∵，∴，

在中，由正弦定理可得：，

即：，∴，

∴

，

∵，∴，

∴，∴，

∴三角形面积的取值范围为.

20．已知函数，

（1）若曲线在点处的切线为，与轴的交点坐标为，求的值；

（2）讨论的单调性.

【答案】（1）或；（2）见解析

【分析】（1）对函数求导，再分别求出， ，根据点斜式写出切线方程，然后根据与轴的交点坐标为，即可求得的值；（2）先对函数求导得，再对进行分类讨论，从而对的符号进行判断，进而可得函数的单调性.

【详解】（1）.

∴

又∵

∴切线方程为：

令得.

∴

∴或.

（2）=.

当时， ， ， ， 为减函数， ， ， 为增函数；

当时，令，得， ，

令，则，

当时， ， 为减函数，当时， ， 为增函数.

∴

∴（当且仅当时取“=”）

∴当或时， 为增函数， 为减函数， 为减函数.

当时， 在上为增函数.

综上所述： 时， 在上为减函数，在上为增函数， 或时， 在上为减函数，在和上为增函数； 时， 在上为增函数.

【点睛】本题考查了主要考查导数的几何意义，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 已知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.

21．已知抛物线上一点到焦点的距离．

(1)求C的方程；

(2)点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用抛物线的定义，转化求解抛物线方程即可．

（2）①直线斜率不存在时，满足题意，

②直线斜率不存在时，设直线，联立直线与抛物线方程，设，，，，利用韦达定理，结合向量的数量积，推出、的关系，说明直线过点，推出结果．

【详解】(1)解：由抛物线定义，得，由题意得，，解得

所以抛物线的方程为．

(2)证明：①直线斜率不存在时，

可设，，

，

，，

又，，

，解得，

，为垂足，

，

故存在定点，使得为定值，

②直线斜率存在时，设直线，解得，

设，，，，则，，

因为，所以，

得，

所以，

得，即，

当时，过定点，不符合题意；

当时，直线过点，

所以点在以为直径的圆上，

故当为的中点时，定值．

22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(其中φ为参数)，曲线：．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：与曲线，分别交于点A，B(均异于原点O)．

（1）求曲线，的极坐标方程；

（2）当时，求的取值范围．

【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为；（2）

【解析】（1）先求出的普通方程，再利用，将，化为极坐标方程．

（2）联立与的极坐标方程得，联立与的极坐标方程得，再利用三角函数的关系式的变换结合对勾函数的单调性求出结果．

【详解】（1），，由，

得曲线的极坐标方程为；

又，得曲线的极坐标方程为．

（2）设A，B对应的极径分别为，，

联立与的极坐标方程得，

联立与的极坐标方程得

，

令，则，

由对勾函数性质知函数在上单调递增，

，，即

的取值范围为．

【点睛】方法点睛：本题考查方程之间的互化，利用极坐标方程求弦长，极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，即四个公式：，;

利用过原点的直线与圆锥曲线相交求弦长，一般用极坐标会更好，方法是：将直线极坐标方程与圆锥曲线极坐标方程联立求的交点，其中为原点与交点连线的长度，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于一般题.

23．已知函数.

(1)当时，求的解集；

(2)设，若，使得对，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别在、和的情况下，去绝对值符号即可构造不等式求得结果；

（2）将问题转化为；利用绝对值三角不等式可求得，利用二次函数最值求法可求得，由此可构造不等式求得结果.

【详解】(1)当时，；

当时，，解得：（舍）；

当时，，解得：（舍）；

当时，，解得：；

综上所述：的解集为.

(2)若，使得对，都有成立，则；

（当且仅当时取等号），；

为开口方向向上，对称轴为的抛物线，，

，则，解得：或，

即实数的取值范围为.