2022届安徽省合肥市第八中学高三下学期最后一卷保温数学（文）试题含解析

这是一份2022届安徽省合肥市第八中学高三下学期最后一卷保温数学（文）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届安徽省合肥市第八中学高三下学期最后一卷保温数学（文）试题一、单选题1．已知是虚数单位，复数，则的共轭复数是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由的幂运算的周期性和复数除法运算可化简得到，根据共轭复数定义可得结果.【详解】，，.故选：B.2．已知集合，，则满足条件 的集合的个数为（       ）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】化简集合A，B，根据条件 确定集合的个数即可.【详解】因为，,且 所以集合C的个数为故选：C3．命题：若，则；命题，则下列为真命题的是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦函数的性质判断，再举例判断，结合且命题的真假逐个判断即可【详解】若，或，故命题为假；当时，成立，故命题为真.故为真.故选：A4．若平面向量的夹角为，且，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用数量积的运算律分别计算每一个选项的向量的数量积即得解.【详解】解：对于选项A, ,所以该选项不正确；对于选项B, ,所以，所以该选项正确；对于选项C, ,所以该选项不正确；对于选项D, ，所以该选项不正确.故选：B5．若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（       ）A． B．C．(1，＋∞) D．(1，3]【答案】A【分析】画出图象，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解.【详解】根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝；当直线l过B点时，直线l的斜率k＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.故选：A.6．2021年4月8日，教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素.了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养.增强体质健康管理的意识和能力.某高中学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100 名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示.根据此图，下列说法中错误的是（     ）A．样本的众数约为B．样本的中位数约为C．样本的平均值约为66D．为确保学生体质健康，学校将对体重超过的学生进行健康监测，该校男生中需要监测的学生频数约为200人【答案】C【分析】根据众数、中位数、平均值的概念等求值即可判断.【详解】对于A，样本的众数为，A对；对于B，设样本的中位数为，，解得，B对；对于C，由直方图估计样本平均值为，C错误；对于D，2000名男生中体重大于的人数大约为，D对.故选：C.7．定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2－x，则当x∈[－2，－1]时，f(x)的最小值为（       ）A．－ B．－C．－ D．0【答案】A【分析】根据函数满足的关系式求出当x∈[－2，－1]时的解析式，由解析式即可求解.【详解】当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0，1]，则f(x＋2)＝(x＋2)2－(x＋2)＝x2＋3x＋2，又f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝2f(x＋1)＝4f(x)，所以当x∈[－2，－1]时，f(x)＝ (x2＋3x＋2)＝，所以当x＝－时，f(x)取得最小值，且最小值为－，故选：A.8．已知数列，满足，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用递推公式可以得到，结合已知递推公式可以求出数列的通项公式，再运用裂项相消法进行求解即可.【详解】因为，①所以，②①－②得，，所以，而，适合上式，所以，，，∴.故选：D．9．如图，E是正方形ABCD内一点，且满足，，在正方形ABCD内随机投一个点，则该点落在图中阴影部分的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立如下图所示的直角坐标系，由向量法得出，进而由几何概型概率公式得出答案.【详解】建立如下图所示的直角坐标系设，，则因为，所以，解得，即该点落在图中阴影部分的概率为故选：B10．函数在区间上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则的最小值为（       ） A． B． C． D．【答案】C【分析】由周期求出，代点求出的值，可得函数的的解析式，再根据函数的对称性求出的值，结合可得结论．【详解】由函数的图象，得，，又函数过点，得，又，可知．故．把的图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，得到的图象，∵所得图象关于原点对称，，即即Z，解得：Z，由，可得当时，的最小值为．故选：C11．已知是双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上的一点，若以为直径的圆与的内切圆的相交弦所在直线方程为，则的内切圆的半径为（       ）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】根据内切圆性质结合双曲线定义设出内切圆方程，与以为直径的圆方程相减得出相交弦所在直线方程，对比系数可得.【详解】由双曲线方程可得，则以为直径的圆方程为，设的内切圆的切点分别为，则,由双曲线定义可得，即，则，即，即，则,则可设的内切圆的方程为，两圆方程相减可得相交弦所在直线方程为，则，解得,所以的内切圆的半径为1.故选：A.12．已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（       ）A．-1 B．2 C．-3 D．4【答案】B【分析】对求导，由函数在处取极小值，所以，所以，，对求导，求单调区间及极大值，由的极大值为4，列方程得解.【详解】解：，所以因为函数在处取极小值，所以，所以，，，令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.故选：B二、填空题13．向量在向量方向上的投影向量的坐标为____________.【答案】【分析】根据投影的定义,应用在方向上的投影公式求解可得出答案．【详解】解：根据投影的定义可得：在方向上的投影为：．故答案为：．14．已知公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列，则数列的公差______．【答案】【分析】根据题意，即，再解方程即可得答案.【详解】解：因为等差数列中，，，，成等比数列所以，，即，解得.故答案为：15．若，则的值为___________.【答案】【分析】利用二倍角公式和同角三角函数平方关系可构造正余弦齐次式，分子分母同除，代入即可得到结果.【详解】.故答案为：.16．在三棱锥中，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为___________.【答案】【分析】由条件可知和为以为斜边的直角三角形，则的中点为外接球的球心. 过做平面，垂足为，由三棱锥的体积可求出高，根据三角形全等可证明在的角平分线上，即，由线面垂直的定理可知，从而可计算，勾股可知的长，从而计算外接球的半径和表面积.【详解】因为，所以和为以为斜边的直角三角形，则的中点到各个顶点的距离都相等，则为外接球的球心.即为直径.过做平面，垂足为，连结，，则，解得：.，，，，则分别为在平面内的射影，所以有，又，为公共边，所以，则，所以在的角平分线上，，，，，所以有平面，平面，则有，因为，，所以，则，则 故外接球的表面积为.故答案为：三、解答题17．中国射击队在东京奥运会上共夺得金银铜枚奖牌的成绩，创下了中国射击队奥运参赛史上奖牌数最多的新纪录．现从某射击训练基地随机抽取了名学员（男女各人）的射击环数，数据如下表所示：男生女生 若射击环数大于或等于环，则认为成绩优异；否则，认为成绩不优异．（1）分别计算男生、女生射击环数的平均数和方差；（2）完成列联表，并判断是否有的把握认为“成绩优异”与性别有关． 男生女生总计成绩优异   成绩不优异   总计    参考公式和数据：， 【答案】（1）男生射击环数的平均数为，方差为；女生射击环数的平均数为，方差为；（2）列联表见解析；没有的把握认为“成绩优异”与性别有关．【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式直接求解即可；（2）根据已知数据可得到列联表，则计算可得，由此可得结论.【详解】（1）根据题中所给数据，可得男生射击环数的平均数为；女生射击环数的平均数为．男生射击环数的方差为；女生射击环数的方差为．综上所述：男生射击环数的平均数为，方差为；女生射击环数的平均数为，方差为．（2）由已知数据可得列联表如下： 男生女生总计成绩优异成绩不优异总计 ，没有的把握认为“成绩优异”与性别有关．18．如图所示，在三棱柱中，，，，点在平面ABC的射影为点C．(1)求证：；(2)若点D在平面上运动，求CD的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明平面，原题即得证；（2）CD的最小值即为点C到平面的距离h，利用求解.【详解】(1)证明：因为平面ABC，平面ABC，故，因为，，；由余弦定理，，故，所以；又，平面；故平面；而平面，故．(2)解：依题意，CD的最小值即为点C到平面的距离h，因为平面ABC，故，，则，，又，故为等边三角形，则，故，而，故．19．在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式可得，进而求出角.（2）设，则，在中，根据正弦定理，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)解：∵，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴，∵为锐角，∴，∴，∴；(2)解：由题意可知，设，∴，∵，又∵，∴，在中，由正弦定理可得：，即：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴三角形面积的取值范围为.20．已知函数，（1）若曲线在点处的切线为，与轴的交点坐标为，求的值；（2）讨论的单调性.【答案】（1）或；（2）见解析【分析】（1）对函数求导，再分别求出， ，根据点斜式写出切线方程，然后根据与轴的交点坐标为，即可求得的值；（2）先对函数求导得，再对进行分类讨论，从而对的符号进行判断，进而可得函数的单调性.【详解】（1）.∴又∵∴切线方程为： 令得.∴∴或.（2）=.当时， ， ， ， 为减函数， ， ， 为增函数；当时，令，得， ，令，则，当时， ， 为减函数，当时， ， 为增函数.∴∴（当且仅当时取“=”）∴当或时， 为增函数， 为减函数， 为减函数.当时， 在上为增函数.综上所述： 时， 在上为减函数，在上为增函数， 或时， 在上为减函数，在和上为增函数； 时， 在上为增函数.【点睛】本题考查了主要考查导数的几何意义，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 已知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.21．已知抛物线上一点到焦点的距离．(1)求C的方程；(2)点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用抛物线的定义，转化求解抛物线方程即可．（2）①直线斜率不存在时，满足题意，②直线斜率不存在时，设直线，联立直线与抛物线方程，设，，，，利用韦达定理，结合向量的数量积，推出、的关系，说明直线过点，推出结果．【详解】(1)解：由抛物线定义，得，由题意得，，解得所以抛物线的方程为．(2)证明：①直线斜率不存在时，可设，，，，，又，，，解得，，为垂足，，故存在定点，使得为定值，②直线斜率存在时，设直线，解得，设，，，，则，，因为，所以，得，所以，得，即，当时，过定点，不符合题意；当时，直线过点，所以点在以为直径的圆上，故当为的中点时，定值．22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(其中φ为参数)，曲线：．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：与曲线，分别交于点A，B(均异于原点O)．（1）求曲线，的极坐标方程；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为；（2）【解析】（1）先求出的普通方程，再利用，将，化为极坐标方程．（2）联立与的极坐标方程得，联立与的极坐标方程得，再利用三角函数的关系式的变换结合对勾函数的单调性求出结果．【详解】（1），，由，得曲线的极坐标方程为；又，得曲线的极坐标方程为．（2）设A，B对应的极径分别为，，联立与的极坐标方程得，联立与的极坐标方程得，令，则，由对勾函数性质知函数在上单调递增，，，即的取值范围为．【点睛】方法点睛：本题考查方程之间的互化，利用极坐标方程求弦长，极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，即四个公式：，;利用过原点的直线与圆锥曲线相交求弦长，一般用极坐标会更好，方法是：将直线极坐标方程与圆锥曲线极坐标方程联立求的交点，其中为原点与交点连线的长度，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于一般题.23．已知函数.(1)当时，求的解集；(2)设，若，使得对，都有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）分别在、和的情况下，去绝对值符号即可构造不等式求得结果；（2）将问题转化为；利用绝对值三角不等式可求得，利用二次函数最值求法可求得，由此可构造不等式求得结果.【详解】(1)当时，；当时，，解得：（舍）；当时，，解得：（舍）；当时，，解得：；综上所述：的解集为.(2)若，使得对，都有成立，则；（当且仅当时取等号），；为开口方向向上，对称轴为的抛物线，，，则，解得：或，即实数的取值范围为.