2022届安徽省合肥市第八中学高三下学期最后一卷保温数学（理）试题含解析

2022届安徽省合肥市第八中学高三下学期最后一卷保温数学（理）试题

一、单选题

1．若复数z满足其中i为虚数单位，则z=

A．1+2i B．12i C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：设，则，故，则，选B.

【解析】注意共轭复数的概念

【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.

2．已知集合，则集合的元素个数为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意得,所以集合共7个元素.故选B.

3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.

【详解】对于A选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于B选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于C选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于D选项，该组数据的平均数为，

方差为.

因此，B选项这一组的标准差最大.

故选：B.

【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

4．如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点， ，，其中点 ，在抛物线上，点 在轴上，则 与的面积之比是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】，故选A.

【解析】抛物线的标准方程及其性质

5．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（       ）

A．26% B．34% C．42% D．50%

【答案】C

【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

.

故选：C.

6．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.

【详解】为单位圆上一点，而直线过点，

所以的最大值为，选C.

【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．

7．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（       ）

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.

【详解】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.

8．设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【详解】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．

【解析】求三角函数的解析式

【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.

9．(+)(2-)5的展开式中33的系数为

A．-80 B．-40 C．40 D．80

【答案】C

【详解】，

由展开式的通项公式可得：

当时，展开式中的系数为；

当时，展开式中的系数为，

则的系数为.

故选C.

【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.

（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.

10．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.

【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，

，又，分别为、中点，

，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．

解法二:

设，分别为中点，

，且，为边长为2的等边三角形，

又

中余弦定理，作于，，

为中点，，，

，，又，两两垂直，，，，故选D.

【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．

11．已知双曲线的焦点在，过点的直线与两条渐近线的交点分别为M､N两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意知，，即中，进而求出，又中可求，可得渐近线的倾斜角大小，进而求离心率.

【详解】由题意，可得如下示意图：

其中，知：，又，，即且，

∴中，有，得，

∴在中，，若与x轴夹角为，即，

∴，由，即可得.

故选：C

【点睛】关键点点睛：利用线段的比例关系，以及垂直关系求两渐近线的夹角大小，进而根据渐近线的斜率求参数a、b的数量关系，即可求离心率.

12．已知实数，满足，则的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，，得，变形为，令，，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可

【详解】设，，则

，

令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,则在单调递增单调递减，

令，则单调递减，单调递增

由题意，，，，,故x+y=2

故选A

【点睛】本题考查导数与函数的综合，导数与函数的最值问题，换元思想，将题目转化为两个函数的最值问题是关键，是难题

二、填空题

13．已知， 是互相垂直的单位向量，若   与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__．

【答案】

【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．

【详解】解：由题意，设（1，0），（0，1），

则（，﹣1），

λ（1，λ）；

又夹角为60°，

∴（）•（λ）λ＝2cos60°，

即λ，

解得λ．

【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．

14．若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________.

【答案】

【详解】试题分析：由得，记为点；由得，记为点；由得，记为点.分别将A，B，C的坐标代入，得，，，所以的最小值为．

【解析】

简单的线性规划

【名师点睛】

利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

（1）在平面直角坐标系内作出可行域；

（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；

（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；

（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．

15．在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．

【答案】

【分析】根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.

【详解】

设圆心到直线距离为，则

所以

令（负值舍去）

当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，

故答案为：

【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

三、双空题

16．甲、乙两人在每次猜谜语活动中，各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲，乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________﹔三次活动中，甲至少获胜2次的概率为__________.

【答案】         

【分析】根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.

【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；

则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.

故答案为：；.

四、解答题

17．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.

用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.

附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.

【答案】（1），（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,

【分析】（1）依题知一个零件的尺寸在之内的概率，可知尺寸在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望.

（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；

（ii）计算，剔除之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差，即为的估计值.

【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，

从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，

故.

因此.

的数学期望为.

（2）（i）如果生产状态正常，

一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，

一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件

概率只有0.0408，发生的概率很小.

因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程

可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，

可见上述监控生产过程的方法是合理的.

（ii）由，

得的估计值为，的估计值为，

由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，

因此需对当天的生产过程进行检查.

剔除之外的数据，

剩下数据的平均数为，

因此的估计值为.

，

剔除之外的数据，

剩下数据的样本方差为，

因此的估计值为.

【点睛】本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望，正态分布是一种重要的分布，尤其是正态分布的原则，审清题意，细心计算，属中档题.

18．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；

（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；

【详解】（1）[方法一]：几何法

因为，所以．

又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，

过E作的平行线分别与交于其中点，连接，

因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，

易证，则．

又因为，所以．

又因为，所以平面．

又因为平面，所以．

 [方法二] 【最优解】：向量法

因为三棱柱是直三棱柱，底面，

，，，又，平面．所以两两垂直．

以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．

，．

由题设（）．

因为，

所以，所以．

  [方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．

（2）[方法一]【最优解】：向量法

设平面的法向量为，

因为，

所以，即．

令，则

因为平面的法向量为，

设平面与平面的二面角的平面角为，

则．

当时，取最小值为，

此时取最大值为．

所以，此时．

 [方法二] ：几何法

如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．

作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．

设，过作交于点G．

由得．

又，即，所以．

又，即，所以．

所以．

则，

所以，当时，．

[方法三]：投影法

如图，联结，

在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．

设，在中，．

在中，，过D作的平行线交于点Q．

在中，．

在中，由余弦定理得，，，

，，

当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．

【整体点评】

第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.

第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．

19．已知等比数列的公比，且.是的等差中项.数列满足，数列的前项和为.

(1)求的值；

(2)求数列的通项公式.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，整理结合等比数列通项公式列方程求解；（2）根据可得，利用累加法和错位相减法计算整理．

【详解】(1)由题意可得，可得，即

解得，即

(2)由（1）可得：

设数列的前项和为，即

当时，

当时，

∴，即

当时，则

令，则

两式相减得：

∴，则

∴

20．已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程.

（2）设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求.

【详解】（1）因为椭圆过，故，

因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，

故椭圆的标准方程为：.

(2)

设，

因为直线的斜率存在，故，

故直线，令，则，同理.

直线，由可得，

故，解得或.

又，故，所以

又

故即，

综上，或.

21．已知函数.

(1)求证：；

(2)若对恒成立，求的最大值与的最小值.

【答案】（1）详见解析；（2）的最大值为，的最小值为1.

【详解】试题分析：（1）求，由，判断出，得出函数在上单调递减，从而；（2）由于，“”等价于“”，“”等价于“”，令，则，对分；；进行讨论，

用导数法判断函数的单调性，从而确定当对恒成立时的最大值与的最小值.

（1）由得，

因为在区间上，所以，在区间上单调递减，

从而.

（2）当时，“”等价于“”，“”等价于“”，

令，则，

当时，对任意恒成立，

当时，因为对任意，，所以在区间上单调递减，从而对任意恒成立.

当时 ，存在唯一的使得，

、在区间上的情况如下表：

因为在区间上是增函数，所以，进一步“对任意恒成立”

，当且仅当，即.

综上所述，当且仅当时，对任意恒成立.当且仅当时，对任意恒成立.

所以，若对恒成立，则的最大值为与的最小值1.

【解析】导数法求函数的单调性，恒成立、分类讨论.

22．在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．

（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

【答案】（1）

（2）为参数，

【详解】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得．

（2）联立方程，由根与系数的关系求解

详解：（1）的直角坐标方程为．

当时，与交于两点．

当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．

综上，的取值范围是．

（2）的参数方程为为参数， ．

设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．

于是，．又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是 为参数， ．

点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题．

23．已知函数.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，且，求证：，

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）分别在、和三种情况下，去除绝对值符号后，解不等式求得结果；

（2）利用绝对值三角不等式可取得，利用基本不等式可求得，由此可证得结论.

【详解】（1）不等式可化为：，

当时，，解得：，；

当时，，；

当时，，解得：，；

综上所述：实数的取值范围为.

（2）（当且仅当时取等号），

又（当且仅当，即时取等号），

.