高中数学经典的解题技巧和方法（导数及其应用）1

⾼中数学经典的解题技巧和⽅法  (导数及其应⽤)导数及其应⽤是⾼中数学考试的必考内容，  ⽽且是这⼏年考试的热点跟增⻓点，  ⽆论是期中、期末还 是会考、⾼考，  都是⾼中数学的必考内容之⼀ 。因此，  ⻢博⼠教育⽹数学频道编辑部特意针对这两个部分 的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和⽅法，  希望能够帮助到⾼中的同学们， 让同学们有更多、更好、 更快的⽅法解决数学问题。好了，  下⾯就请同学们跟我们⼀起来探讨下集合跟常⽤逻辑⽤语的经典解题技 巧。⾸先，  解答导数及其应⽤这两个⽅⾯的问题时，  先要搞清楚以下⼏个⽅⾯的基本概念性问题，  同学们 应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1.导数概念及其⼏何意义 (1)  了解导数概念的实际背景。 (2)  理解导数的⼏何意义。2．  导数的运算 (1)  能根据导数定义求函数的导数。 (2)  能利⽤给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 (3)  能求简单的复合函数  (仅限于形如的复合函数)  的导数。3．  导数在研究函数中的应⽤ (1)  了解函数单调性和导数的关系，  能利⽤导数研究函数的单调性，  会求函数的单调区间  (其中多项式函数⼀般不超过三次) 。 (2)  了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会⽤导数求函数的极⼤值、极⼩值  (其中多项 式函数⼀般不超过三次)；  会求闭区间了函数的最⼤值、最⼩值  (其中多项式函数⼀般不超过三次) 。4．  ⽣活中的优化问题会利⽤导数解决某些实际问题5．  定积分与微积分基本定理 (1)  了解定积分的实际背景，  了解定积分的基本思想，  了解定积分的概念。 (2)  了解微积分基本定理的含义。好了，  搞清楚了导数及其应⽤的基本内容之后，  下⾯我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。 ⼀、利⽤导数研究曲线的切线考情聚焦：  1．  利⽤导数研究曲线的切线是导数的重要应⽤，  为近⼏年各省市⾼考命题的热点。
2．  常与函数的图象、性质及解析⼏何知识交汇命题，  多以选择、填空题或以解答题中关键⼀步的形式 出现，  属容易题。解题技巧：  1．  导数的⼏何意义函数在处的导数的⼏何意义是：  曲线在点处的切线的斜率  (瞬时速度就是位移函数对时间的导数) 。2．  求曲线切线⽅程的步骤： (1)  求出函数在点的导数，  即曲线在点处切线的斜率； (2)  在已知切点坐标和切线斜率的条件下，  求得切线⽅程为 。注：①当曲线在点处的切线平⾏于轴 (此时导数不存在)  时，  由切线定义可知，  切线⽅程为；②当切点坐标未知时，  应⾸先设出切点坐标，  再求解。例 1：  (2010  ·海南⾼考·理科 T3)  曲线在点处的切线⽅程为  (     ) (A)         (B)         (C)         (D)        【命题⽴意】本题主要考查导数的⼏何意义，  以及熟练运⽤导数的运算法则进⾏求解. 【思路点拨】先求出导函数，  解出斜率，  然后根据点斜式求出切线⽅程.【规范解答】选 A.因为 ，  所以，  在点处的切线斜率，所以，  切线⽅程为，  即，  故选 A.⼆、利⽤导数研究导数的单调性考情聚焦：  1．  导数是研究函数单调性有⼒的⼯具，  近⼏年各省市⾼考中的单调性问题，  ⼏乎均⽤它解 决。2．  常与函数的其他性质、⽅程、不等式等交汇命题，  且函数⼀般为含参数的⾼次、分式或指、对数式 结构，  多以解答题形式考查，  属中⾼档题⽬ 。解题技巧：  利⽤导数研究函数单调性的⼀般步骤。 (1)  确定函数的定义域； (2)  求导数；
 (3)  ①若求单调区间  (或证明单调性)，  只需在函数的定义域内解  (或证明)  不等式＞0 或＜0。②若已知的单调性，  则转化为不等式≥0 或≤0 在单调区间上恒成⽴问题求解。 例 2：  (2010· ⼭东⾼考⽂科· T21)  已知函数 (1)  当           时，  求曲线在点处的切线⽅程； (2)  当时，  讨论的单调性.【命题⽴意】本题主要考查导数的概念、导数的⼏何意义和利⽤导数研究函数性质的能⼒ .考查分类讨 论思想、数形结合思想和等价变换思想.【思路点拨】( 1)根据导数的⼏何意义求出曲线在点处的切线的斜率；  (2)  直接利 ⽤函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择. (1)    当所以,即曲线所以曲线   
 (2)  因为                                          ,所以


,令
 当时，时， ， 当时，  由                ，  即  ，
② 当时，                       ，时，  ,此时               ,函数单调递减时，  <0,此时               ,函数单调递增时，  ，  此时，  函数单调递减 ③ 当时，  由于              , 时，                 ,此时,函数单调递减：时，           <0,此时,函数单调递增.综上所述：当时，  函数         在上单调递减;函数在上单调递增当时,函数在上单调递减当               时，  函数在上单调递减；  函数  在上单调递增；函数在上单调递减.【⽅法技巧】1、分类讨论的原因( 1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；(2)数的运算：  如除法运算中除式不为零，  在实数集内偶次⽅根的被开⽅数为⾮负数，  对数中真数与底数的 要求，  不等式两边同乘以⼀个正数还是负数等；(3)含参数的函数、⽅程、不等式等问题，  由参数值的不同⽽导致结果发⽣改变；(4)在研究⼏何问题时，  由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，  引起问题的结果有多种可能.2、分类讨论的原则( 1)要有明确的分类标准；(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；
(3)当讨论的对象不⽌⼀种时，  应分层次进⾏ .3、分类讨论的⼀般步骤( 1)明确讨论对象，  确定对象的范围；(2)确定统⼀的分类标准，  进⾏合理分类，  做到不重不漏；(3)逐段逐类讨论，  获得阶段性结果；(4)归纳总结，  得出结论.三、利⽤导数研究函数的极值与最值考情聚焦：  1．  导数是研究函数极值与最值问题的重要⼯具，  ⼏乎是近⼏年各省市⾼考中极值与最值问 题求解的必⽤⽅法。2．  常与函数的其他性质、⽅程、不等式等交汇命题，  且函数⼀般为含参数的⾼次、分式、或指、对数 式结构，  多以解答题形式出现，  属中⾼档题。解题技巧：  1．  利⽤导数研究函数的极值的⼀般步骤： (1)  确定定义域。  (2)  求导数 。  (3)  ①或求极值，  则先求⽅程=0 的根，  再检验在 ⽅程根左右值的符号，  求出极值。  (当根中有参数时要注意分类讨论)②若已知极值⼤⼩或存在情况，  则转化为已知⽅程=0 的根的⼤⼩或存在情况，  从⽽求解。2．  求函数的极值与端点处的函数值⽐较，  其中最⼤的⼀个是最⼤值，  最⼩的⼀ 个是最⼩值。例 3：  (2010·天津⾼考理科· T21 )  已知函数 ( Ⅰ  )  求函数的单调区间和极值； ( Ⅱ )  已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，  证明当时，  (III)  如果，  且，  证明【命题⽴意】本⼩题主要考查导数的应⽤，  利⽤导数研究函数的单调性与极值等基础知识，  考查运算 能⼒及⽤函数思想分析解决问题的能⼒ 。【思路点拨】利⽤导数及函数的性质解题。【规范解答】 ( Ⅰ  )  解：  f’，  令 f’(x)=0,解得 x=1，当 x 变化时，  f’(x)，  f(x)的变化情况如下表
  x()1()f’(x)+0- f(x) 极⼤值  所以 f(x)在()内是增函数，  在()内是减函数。函数 f(x)在 x=1 处取得极⼤值 f(1)且 f(1)=  ( Ⅱ )  证明：  由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x)令 F(x)=f(x)-g(x),即于是当 x>1 时，  2x-2>0,从⽽⼜ F( 1)=( Ⅲ )证明：  (1)若 (2)  若根据  (1)   (2)  得由 ( Ⅱ ) 可知，>,则=，所以>,从⽽> .因为，所以，  ⼜由  ( Ⅰ  )  可知函数 f(x)在区间  (-∞，  1)  内是增函数，  所以>,即>2。四、利⽤导数研究函数的图象考情聚焦：  1．  该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值  (最值) 、零点及数形结合思想等重 要考点，  ⽽成为近⼏年⾼考命题专家的新宠。2．  常与函数的其他性质、⽅程、不等式、解析⼏何知识交汇命题，  且函数⼀般为含参数的⾼次、分式、 指、对数式结构，  多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。例 4：  (2010·福建⾼考理科· T20)  ( Ⅰ  )已知函数 f(x)=x3-x，  其图像记为曲线 C. (i)  求函数 f(x)的单调区间；(ii)证明：  若对于任意⾮零实数 x1，  曲线 C 与其在点 P1     (x1,f(x1 )  处的切线交于另⼀点 P2     (x2,f(x2). 曲线C 与其在点 P2 处的切线交于另⼀点 P3       (x3   f(x3))，  线段 P1P2,P2P3 与曲线 C 所围成封闭图形的⾯积分别记为
 S1,S2，  则    为定值：  ( Ⅱ )  对于⼀般的三次函数 g  (x)  =ax3+bx2+cx+d(a    0)，  请给出类似于(Ⅰ  )(ii)的正确命题，  并予以证明。【命题⽴意】本⼩题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，  考查抽象概括、推理论证、运算求解 能⼒，  考查函数与⽅程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与⼀般的思想。【思路点拨】第⼀步  (1)  利⽤导数求解函数的单调区间，   (2)  利⽤导数求解切线的斜率，  写出切线⽅ 
程，  并利⽤定积分求解⽤平移的⽅法进⾏证明。【规范解答】 ( Ⅰ  ) (i)
及其⽐值；  第⼆步利⽤合情推理的⽅法对问题进⾏推⼴得到相关命题，  并利   ，
 令得到                              ，  令有  ，  因此原函数的单调递增区间为  ；  单调递减区间为；， 因此的切线⽅程为： ，  进⽽有  ，  ⽤    代替    ，  重复上⾯的计  ，  因此有。，  其类似于(I)(ii)的命题为： 若对 的实数    ，  曲线与其在点 处的切线交于另外⼀点  。
【证明】对于曲线，  ⽆论如何平移，  其⾯积值是恒定的，  所以这⾥仅考虑的情形，                               ，                                     ，                                         ，因此过点的切线⽅程为： ，  得到：  ，化简：  得到从⽽  可以得到 所以。【⽅法技巧】函数导数的内容在历届⾼考中主要切线⽅程、导数的计算，  利⽤导数判断函数单调性、极值、 最值等问题，  试题还与不等式、三⻆函数、数列、⽴⼏ 、解⼏等知识的联系，  类型有交点个数、恒成⽴问 题等,其中渗透并充分利⽤构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想⽅法，  主要考查导数 的⼯具性作⽤ 。 例 5．   (2010·江⻄⾼考理科· T 1  2)  如图，  ⼀个正五⻆星薄⽚  (其对称轴与⽔⾯垂直)  匀速地升出⽔⾯，记时刻五⻆星露出⽔⾯部分的图形⾯积为，  则导函数的图像⼤致为   【命题⽴意】本题将各知识点有机结合，  属创新题型，  主要考查对函数的图像识别能⼒，  灵活分析问题和
解决问题的能⼒，  考查分段函数，  考查分段函数的导数，  考查分类讨论的数学思想，  考查函数的应⽤，  考 查平⾯图形⾯积的计算，  考查数形结合的思维能⼒．【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可⽤排除法；  也可先求⾯积的函数，  再求其导数，  最后结合 图像进⾏判断.【规 范解答】选 A．  ⽅法⼀：  在五⻆星匀速上升过程中露出的图形部分的⾯积共有四段不同变化情况，  第 ⼀段和第三段的变化趋势相同，  只有选项 A、C 符合要求，  从⽽先排除 B、D，  在第⼆段变化中，  ⾯积的增 ⻓速度显然较慢，  体现在导函数图像中其图像应下降，  排除选项 C，  故选A.⽅法⼆：  设正五⻆星的⼀个顶点到内部较⼩正五边形的最近边的距离为 1，  且设，  则依据题意可得：  其导函数        故选A .【⽅法技巧】从题设条件出发，  结合所学知识点，  根据“四选⼀” 的要求，  逐步剔除⼲扰项，  从⽽得出 正确的判断.这种⽅法适应于定性型或不易直接求解的选择题. 当题⽬中的变化情况较多时，  先根据某些条 件在选择⽀中找出明显与之⽭盾的，  予以排除，  再根据另⼀些条件在缩⼩的选择⽀的范围内找出⽭盾，  这 样逐步筛选，  直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使⽤是解选择题的常⽤⽅法，  近⼏年⾼考选 择题中考查较多.例 6．  (2010·全国⾼考卷Ⅱ 理科· T10) 若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三⻆形的⾯积为 18，  则[来 (A)  64                          (B)  32                                (C)  16                          (D)  8【命题⽴意】本题主要考查了导数的⼏何意义，  曲线的切线⽅程求法，  考查考⽣的运算求解能⼒． 【思路点拨】先求出切线⽅程，  然后表示出切线与两个坐标围成的三⻆形的⾯积。
 
【规范解答】选 A，

所以曲线在点处的切线：
 所以， 【⽅法技巧】利⽤导数解决切线问题有两种类型：  (1) “在”曲线上⼀点处的切线问题，  先对函数求导，  代⼊点的横坐标得到斜率。  (2) “过”曲线上⼀点的切线问题，  此时该点未必是切点，故应先设切点，  再求切点坐标。