2021-2022学年江苏省淮安市金湖县七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年江苏省淮安市金湖县七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 我国北斗公司在年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了米用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，直线，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 若一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 下列命题为假命题的是(    )

A. 若，则 B. 两直线平行，内错角相等
C. 对顶角相等 D. 若，则

7. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，点在上，将沿折叠，点落在边的点处．若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 计算：的结果是______．
10. 分解因式：______．
11. 已知一个正多边形的每个内角都是，则这个正多边形是正____边形．
12. 写出二元一次方程的一个非负整数解______．
13. 命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是______填“真命题”或“假命题”．
14. 如图，三角板直角顶点落在长方形纸片的一边上，，则______

15. 若，，则______．
16. 如图，，、分别是、上的点，、分别是和的角平分线．若，则______

三、解答题（本大题共11小题，共102分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 解方程组；
    解不等式组．
19. 先化简，再求值：，其中，．
20. 如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都为个单位长度．在方格纸内将经过平移后得到，、、分别是、、的对应点，图中标出了点的对应点点、、、均在方格纸的网格点上．
    
    补全；
    画出边上的中线；
    的面积为______．
21. 已知：如图，，求证：．

22. 如图，在中，点、分别在、上，且，，，求的度数．
     

23. 观察下列式子：；；
    请你根据上面式子的规律直接写出第个式子：______；
    探索以上式子的规律，试写出第个等式为正整数，并证明你写的等式．
24. 已知．
    请用含的式子表示；
    当时，求的最大值．
25. 某货运公司有大小两种货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨．
    请问辆大货车和辆小货车一次可以分别运货多少吨；
    目前有吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运货花费元，每辆小货车一次运货花费元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？
26. 学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路：
    可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：或，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；
    可以用“数形结合”的方法，画出表示的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面正方形中画出图形，并作适当标注；
    利用的结论分解因式：______；
    小明根据“任意一个实数的平方不小于”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下：

请你综合以上表述，求当，满足什么条件时以下代数式有最小值，并确定它的最小值．
；
．

27. 【原题重现】课本第页例：如图，、相交于点，求证：．
    
    某数学兴趣小组同学对此题展开了探究讨论．
    【解法再探】课本利用“三角形内角和是”和“对顶角相等”对此题进行了证明，小明同学提出了另外一种证明方法，如下为思路框图：
    
    完成框图填空：______，______，______；
    【变式拓展】小慧同学把图中线段与相交所组成的结构称为“字形”，她对原题进行了改编：如图，、相交于点，、分别是和内的一条射线，它们相交于点，请你根据的结论写出关于的两个关系式为：
    式______，式______；
    小明进一步思考：若、分别是和的角平分线，由，得式，由式、式或式、式联立、转化、整理可得与、之间的关系，结论为：______；
    【发现生成】小慧同学为了寻找规律，再次改变条件：如图，、相交于点，，，探索与、之间的关系．请你写出解答过程；
    若把中的“”都改为“”，则与、之间的关系为______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故选项A不合题意；
与不是同类项，所以不能合并，故选项B不合题意；
，故选项C不合题意；
，正确，故选项D符合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项的法则以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质定理求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系可得：，
解得：，
第三边长可能是，
故选：．
在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得第三边长度的范围．
此题主要考查了三角形的三边关系，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
不等式的解集在数轴上表示为：

故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

6.【答案】 

【解析】解：、若，则，所以选项为假命题；
B、两直线平行，内错角相等，所以选项为真命题；
C、对顶角相等，所以选项为真命题；
D、若，则，所以选项为真命题．
故选：．
根据绝对值的意义对进行判断；根据平行线的性质进行判断；根据对顶角的性质对进行判断；根据有理数的乘法对进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

7.【答案】 

【解析】解：将代入，
得，
解得．
故选：．
将代入，即可转化为关于的一元一次方程，解答即可．
此题考查了二元一次方程的解，对方程解的理解，直接代入方程求值即可．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，，

，
将沿折叠，点落在边的点处，
，
是的一个外角，，


解得：．
故选：．
由三角形的内角和定理可得，由折叠的性质可得，再由是的一个外角，则有，从而可求解．
本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角，折叠的性质，解答的关键是结合图形明确清楚角与角之间的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式
故答案为：
直接根据单项式乘单项式的乘法运算法则计算即可．
此题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
 

11.【答案】十二 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．
一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是度，利用除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】
解：外角是：，
．
则这个正多边形是正十二边形．
故答案为：十二．  

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
，
当时，；时，；时，，
则方程的非负整数解为，，．
故答案为：答案不唯一．
把看做已知数求出，即可确定出非负整数解．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出．
 

13.【答案】真命题 

【解析】解：三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题；
故答案为：真命题
根据三角形内角和定理判断即可．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
 

14.【答案】 

【解析】解：

，，
，
，
故答案是：．
由平角的定义求出，即可解决问题．
此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
指数相加可以化为同底数幂的乘法，故，指数相乘化为幂的乘方，再根据已知条件可得到答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算，关键是熟练掌握相关运算法则．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作，

，
，
，
，
，
，
，
、分别是和的角平分线，
，，
，
，
故答案为：．
过点作，根据平行线的性质可得，再结合已知可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，最后利用四边形的内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；

原式
． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案；
直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算等知识，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故原方程组的解为：；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
故原不等式组的解集是：． 

【解析】利用加减消元法进行求解即可；
分别把每个不等式的解集求出来，从而可得到不等式组的解集．
本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的求解方法的掌握与运用．
 

19.【答案】解：

，
当，时，原式

． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，为所作；
如图，为所作；

的面积的面积．
故答案为：．
利用点和位置确定平移的方向与距离，然后利用此规律画出、的对应点即可；
找出边上的中点，连接即可；
利用是边上的中点得到的面积的面积，然后利用三角形面积公式计算．
本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
． 

【解析】根据得出，根据已知等量代换得出，根据同位角相等，两直线平行证得．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
 

22.【答案】解：，
，
又，
． 

【解析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
由平行可求得，在中由三角形内角和定理可求得．
 

23.【答案】 

【解析】解：由题意得：第个等式为：；
故答案为：；
第个式子表达式为：．
左边

右边．
根据所给的式子的形式进行求解即可；
分析所给的式子的形式，不难得到第个等式为：，把等式左边进行整理即可证明．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式的形式总结出存在的规律．
 

24.【答案】解：，
，
；
当时，得：
，
解不等式得：，
解不等式得：，
故不等式组的解集为：． 

【解析】利用等式的基本性质进行求解即可；
根据题意可得一元一次不等式组，解不等式组即可．
本题主要考查解一元一次不等式组，二元一次方程的解，解答的关键是对相应的知识的掌握．
 

25.【答案】解：设辆大货车和辆小货车一次可以分别运货吨和吨，
根据题意可得：，
解得：，
答：辆大货车和辆小货车一次可以分别运货吨和吨；
设货运公司安排大货车辆，则安排小货车辆，
根据题意可得：，
解得：，
因为是正整数，且，
所以或或．
所以或或．
方案一：大货车辆，小货车辆；所需费用元
方案二：大货车辆，小货车辆，所需费用元
方案三：大货车辆，小货车辆，所需费用元
因为．
所以货运公司安排大货车辆，小货车辆，最节省费用． 

【解析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，属于中档题．
设辆大货车和辆小货车一次可以分别运货吨和吨，根据题意列方程组求解可得；
设货运公司安排大货车辆，则安排小货车辆．根据辆货车需要运输吨货物列出不等式，得出的范围，再分别得出费用进行比较即可．
 

26.【答案】 

【解析】解：方法一：



．
方法二：



．


大正方形的面积，
大正方形的面积个正方形的面积个长方形的面积，
．
由得结论，
．
．
故答案为：．


，
，
．
故当时，代数式的最小值为．






，且，
，
故当且时，代数式的最小值为．
用“整体思想”把看作一个整体，用完全平方公式化简，或者把看作一个整体，用完全平方公式化简．构造如图的一个边长为的正方形个小图形的面积的和．
用的结论计算，找到式子中对应结论中的、、．
用配方法化简和中的代数式，然后根据“任意一个实数的平方”得出代数式的最小值．
本题考查完全平方公式的几何背景，用“整体思想”、“数形结合”不同的方法得出，并且利用结论解决计算问题和代数式的最小值问题．
 

27.【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和           

【解析】解：是的一个外角，
三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和，
是的一个外角，
，
，
故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和；；；
如图，由可得：；
；
故答案为：；；
和的平分线和交于，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
设，，
，，
，，
，，，
，，
，，
，
；
由可得，把“”都改为“”，则与、之间的关系为
故答案为：．
根据三角形外角的性质可得出结论；
根据三角形内角和定理以及角平分线定义可求出结论；
与的方法样可得出；
由和可得出规律．
本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理：三角形内角和是也考查了角平分线的定义．