2021-2022学年江西省上饶市六校高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年江西省上饶市六校高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若：，：，则是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知，且与共线，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在区间上任取一个数，则的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设实数，满足约束条件，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知为等差数列的前项和，若，，则该数列的公差为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知直线与圆相交，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知正数，满足，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知双曲线：的焦距为，，为其左右两个焦点，直线经过点且与渐近线平行，若上存在第一象限的点满足，则双曲线离心率的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知角的终边经过点，则______．
14. 曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______．
15. 在正项等比数列中，已知，则______．
16. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，面，，，，为线段的中点，下面结论正确的是______．
    ；
    直线和底面所成的角为；
    过点且与平面平行的平面截该四棱锥所得截面的面积为；
    四棱锥外接球的表面积为．

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 足球运动是一项古老的体育活动，源远流长，最早起源于我国古代的一种球类游戏蹴鞠，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．为了解某社区足球爱好者的年龄分布情况，从该社区随机抽取名足球爱好者，将这人的年龄按，，，，分成组，得到了如下的频率分布直方图．
    求样本的平均数及中位数；
    从年龄段和中按分层抽样的方法随机抽取人，再从这人中随机抽取人，求这两人的年龄都落在的概率．

18. 内角、、所对的边分别为、、，且．
    求角的大小；
    若外接圆的半径为，角的平分线与线段交于点，且，求、的值．
19. 如图，四边形是边长为的正方形，为等腰直角三角形，，点在线段上，且二面角为直二面角．
    证明：平面平面；
    当平面时，求点到平面的距离．

20. 已知函数．
    若，求的单调区间；
    若，对一切恒成立，求的取值范围．
21. 已知抛物线上的任意一点到的距离比到轴的距离大．
    求抛物线的方程；
    若过点的直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点，求重心的轨迹方程．
22. 选做题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为．
    求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
    若曲线，交于，两点，求的值．
23. 已知函数，．
    求不等式的解集；
    若对任意，都存在，使得成立，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
的共轭复数为．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：：，，
：，，
，
是的必要不充分条件，
故选：．
先解对数不等式，一元二次不等式，再利用充要条件的定义判定即可．
本题考查了对数不等式，一元二次不等式的解法，充要条件的判定，属于中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，且与共线，
，且 ，求得，
故选：．
由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则
本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数大小的比较，注意对数函数和指数函数性质的合理运用．
 

5.【答案】 

【解析】解：区间，区间长度为，包含于的区间长度为，
故的概率为．
故选：．
利用几何概型的定义，计算即可．
本题考查几何概型，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：作出实数，满足约束条件对应的平面区域，
由，得，
平移直线，由图象可知当直线经过点时，
直线的截距最大，此时最大．
由可行域可确定目标函数在处取最大．
故选：．
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．
本题考查线性规划问题．利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：设等边三角形的边长为，
圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，
，则，它的高为，
则这个圆锥的表面积为，
故选：．
由题意求得圆锥的底面半径，可得它的表面积．
本题考查利用圆锥的轴截面，求圆锥的表面积，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：为等差数列的前项和，，，
，
解得该数列的公差为．
故选：．
利用等差数列的通项公式和前项和公式，列方程组，能求出该数列的公差．
本题考查等差数列的通项公式、前项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可知圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线与圆相交，所以，
解得．
故选：．
由题意利用点到直线的距离小于半径，求出的范围即可．
本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，转化思想的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，




，
当且仅当，即，时，等号成立；
故的最小值为，
故选：．
化简，再结合基本不等式求最值．
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为满足的所有点在以，为焦点，长轴长为，短轴长为的双曲线，即上．
故若上存在第一象限的点满足，则双曲线与直线有交点即可．
数形结合可得，当的渐近线与直线的斜率满足即可，故，
故离心率，即．
故选：．
根据题意分析满足的点的轨迹，再根据此轨迹与直线有交点，结合渐近线的性质求解即可．
本题考查了双曲线的离心率的取值范围的问题，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由已知可得，可得，
所以，．
构造函数，其中，则，
故函数在上为增函最，由可得，
所以，，即．
令，其中则，
当时，，此时函数单词递减，
当时，，此时函数单调通增．则，
，解得，故实数的最大值为．
故选：．
将所求不等式变形为，构造函数，分析出函数在上为增函数，可得出，利用导数求出函数的最小植，可得出关于的不等式，即可求得实数的最大值．
该题考查了如何利用导数研究函数的最值，转化为不等式恒成立问题，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：角的终边经过点，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：曲线表示焦点在轴上的椭圆，
，
解得：．
实数的取值范围是．
故答案为：．
由题意可得，，求解不等式得答案．
本题考查椭圆的简单性质，是基础的计算题．
 

15.【答案】 

【解析】解：是等比数列，
，
，
．
故答案为：．
根据是等比数列可得，则，进一步利用进行求解即可．
本题考查等比数列的性质，考查学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为面，所以，
又因为底面为等腰梯形，，，
所以梯形的高为，
所以
因为，
所以，
又因为，
所以平面，
所以，故正确；
由可知是和底面所成的角，
又因为，
又因为，
所以，即和底面所成的角为，故错误；
如图所示：

取中点，中点，中点，依次连接，，，，
则平面是与平面平行且截该四棱锥所得截面，
由题可知平面是梯形，，且，
如图所示：

则有，解得，
所以梯形的高为，
所以面积为，故正确；
将四棱锥补成以，，为长、宽、高的长方体，则此长方体的八个顶点在球面上，
所以，
所以，
所以四棱锥外接球的表面积为，故正确．
故答案为：．
由题意可知，求出梯形的高为，证明即可判断；
由题意可得是和底面所成的角，求出大小即可判断；
作出截面，再计算面积即可判断；
将四棱锥补成以，，为长、宽、高的长方体，即可求出球的表面积，从而判断即可．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：由频率分布直方图可知，
样本的平均数为；
，，
样本的中位数为；
：：，
从年龄段和中分别抽取人，人；
再从这人中随机抽取人，
共有种方法，
其中这两人的年龄都落在的共有人，
故这两人的年龄都落在的概率为． 

【解析】结合频率分布直方图，利用平均数与中位数的定义代入值求解即可；
先确定从年龄段和中分别抽取的人数，再利用古典概率模型求概率．
本题考查了频率分布直方图及古典概率模型的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：因为，
所以由正弦定理可得，
又，
所以，
可得，
又，
所有，可得，
又，
所以．
若外接圆的半径为，，
由正弦定理，可得，
因为为角的平分线，
所以，
又，，
即，可得，
由余弦定理，可得，
由得． 

【解析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的的值．
利用三角形的面积公式和余弦定理可得出关于、的方程组，即可解得，的值．
本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积公式和余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

19.【答案】证明：四边形是正方形，，
又二面角为直二面角，平面平面，
平面，
平面，，
又；，
平面，
平面，平面平面；
解：连接交于点，连接，平面，
又平面，平面平面，
由线面平行的性质定理可得，
又是中点，为中点，
取中点，连接，则平面，且，
，，
因为为中点，所以，故四面体的体积
，
设点到平面的距离为，由等体积法可知，所以，

故点到平面的距离为． 

【解析】根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可证明线线垂直，通过线线垂直可证明线面垂直；根据线面平行的性质可判断点为中点，进而根据等体积法可求．
本题考查了面面垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：．
由得或，
且当或时，，当时，，
的单调增区间为和，单调减区间为．
依题意可得在上恒成立，
令，则，
令，易知在上单调递增，
，，又，，，
使得，即有，
且在上单调递减，在上单调递增，
．
，
即的取值范围为． 

【解析】将代入原函数，进行求导，大于求出增区间，小于求出减区间．
将恒成立问题转化为零点问题，求导，求最值．
该题考查了如何利用导数研究函数的最值，考查对问题的转换能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由抛物线的定义可得，抛物线的方程为；
由题意可得直线的斜率存在，设其为，设，，
则直线的方程为；代入抛物线方程得，则有，，
，，
：，即，
同理：，
可得，，
，
，
，
设，则，
消得，所以的轨迹方程为． 

【解析】根据抛物线的定义求解即可；
设直线的方程为，再联立抛物线的方程，利用韦达定理结合切线方程可得，再根据重心的坐标公式，代入韦达定理可得轨迹．
本题考查了抛物线的切线问题、动点的轨迹方程，考查了运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：消去参数得曲线的普通方程为，
由可得曲线的直角坐标方程为；
易知的直角坐标为，将曲线的参数方程为参数，
代入的直角坐标方程，化简得，
设、对应的参数分别为，，则有，
所以． 

【解析】利用消参法可得曲线：，由可得曲线；根据直线参数方程的理解可得，把曲线的参数方程代入曲线的普通方程整理，结合韦达定理求解．
本题考查了方程之间的互化和参数方程的应用，属于中档题．
 

23.【答案】解：不等式化为，，
当时，，，符合题意，
当时，，，此时不等式无解，
当时，，，符合题意，
综上，不等式的解集；
表示数轴时点到点和点的距离和，，
而，当时，，
又，，，增函数，，
若对任意，都存在，使得成立，则应，--，
的取值范围，--． 

【解析】运用零点分段法求解；
转化为求的最小值，的最小值问题求解．
本题考查了绝对值不等式的解法，及绝对值的几何意义，是中档题．