高考数学一轮复习第9章概率与统计第5讲用样本估计总体课件

这是一份高考数学一轮复习第9章概率与统计第5讲用样本估计总体课件，共45页。PPT课件主要包含了用样本估计总体，频率组距，3茎叶图，据的众数，最中间，平均数，A19，B20，C215，D23等内容，欢迎下载使用。

通常我们对总体作出的估计一般分成两种：(1)用样本的频率分布估计总体的分布；(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征.
2.统计图(1)频率分布直方图.①求极差：极差是一组数据的最大值与最小值的差.②决定组距和组数：当样本容量不超过 100 时，常分成 5～
12 组，组距＝________.
③将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间，也可以将样本数据多取一位小数分组.
④列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率分布表.将样本数据分成若干个小组，每个小组内的样本个数称作频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率.频率反映各个数据在每组所占比例的大小.⑤绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一小长方形，它的高等于该组的
，这样得到一系列的长方形，每个长方形的面积恰好是该
组上的频率.这些矩形就构成了频率分布直方图，各个长方形的
面积总和等于______.
(2)频率分布折线图和总体密度曲线.
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各长方形上端
的中点，就得频率分布折线图.
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，在统计中称之为总体密度曲线.
当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录信息，给数据的记录和表示都带来方便.
3.用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数、平均数.①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数
②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在________位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.③平均数：样本数据的算术平均数，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
(2)样本方差、标准差.
__________).
②标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方.通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差接近总体方差.
1.(2019 年江苏)已知一组数据 6,7,8,8,9,10，则该组数据的
方差是_______.
2.重庆市 2013 年各月的平均气温(单位：℃)数据的茎叶图
如图 9-5-1，则这组数据中的中位数是(图 9-5-1
3. 已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5 ，则该组数据的方差是
4. 某 次 体 检 ， 6 位 同 学 的 身 高 ( 单 位 ： 米 ) 分 别 为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是______(单
例 1：(1)(2017 年新课标Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量(单位：kg)分别为 x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量
A.x1，x2，…，xn 的平均数C.x1，x2，…，xn 的最大值
B.x1，x2，…，xn 的标准差D.x1，x2，…，xn 的中位数
解析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.故选 B.答案：B
(2)(2018 年新课标Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图 9-5-2 所示的饼图：
则下面结论中不正确的是(
A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：新农村建设前，种植收入占 60%.新农村建设后，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，种植收入占 37%.实际种植收入增加，A 结论不正确.故选 A.答案：A
(3)(2019 年新课标Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______.解析：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值
10×0.97＋20×0.98＋10×0.9940
(4)(多选)空气质量指数 AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区 12 月 1 日至 12 月 24 日连续 24 天的空气质量指数 AQI，根据得到的数据绘制出如图 9-5-3 所示的折线图，
A.该地区在 12 月 2 日空气质量最好B.该地区在 12 月 24 日空气质量最差
C.该地区从 12 月 7 日到 12 月 12 日 AQI 持续增大D.该地区的空气质量指数 AQI 与这段日期呈负相关
解析：12 月 2 日空气质量指数最低，∴空气质量最好，A正确；12 月 24 日空气质量指数最高，∴空气质量最差，B 正确；12 月 7 日到 12 月 12 日 AQI 在持续增大，∴C 正确；在该地区统计这段时间内，空气质量指数 AQI 整体呈上升趋势，∴空气质量指数与这段日期成正相关，D 错误.
例 2：(1)(2018 年江苏)已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图 9-5-4，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为________.图 9-5-4答案：90
(2)某学校 A，B 两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如图 9-5-5，通过茎叶图比较两个班数学兴趣小组成绩的平均值及方差：
①A 班数学兴趣小组的平均成绩高于 B 班；②B 班数学兴趣小组的平均成绩高于 A 班；③A 班数学兴趣小组成绩的标准差大于 B 班；④B 班数学兴趣小组成绩的标准差大于 A 班.
其中正确结论的编号为(A.①④C.②④
解析：方法一，计算可得 A 班数学兴趣小组的平均成绩为78，标准差约为 11.03.B 班数学兴趣小组的平均成绩为 66，标准差约为 13.24，故 A 班数学兴趣小组的平均成绩高，标准差小，故选 A.
方法二(推荐解法)，观察茎叶图可以看出，A 班数学兴趣小组成绩的高分比 B 班多，低分比 A 班少，且 A 班成绩更集中，∴A 班的数学兴趣小组的平均成绩高于 B 班，标准差小于 B 班.
(3)(2018 年江西九江模拟)甲、乙两人在淘宝网各开一家网店，直销同一厂家的同一种产品，厂家为考察两人的销售业绩，随机选了 10 天，统计两店销售量，得到如图 9-5-6 所示的茎叶
A.甲网店的极差大于乙网店的极差B.甲网店的中位数是 46C.乙网店的众数是 42
D.甲网店的销售业绩好
(4)(2019 年广西南宁模拟)如图 9-5-7 是甲、乙两人在 10 天中每天加工零件个数的茎叶图，若这 10 天甲加工零件个数的极差为 a，乙加工零件个数的平均数为 b，则 a＋b＝________.
解析：由茎叶图，知甲加工零件个数的极差 a＝35－18＝
＋11＋2)＝23，则 a＋b＝40.
【规律方法】 当两组数据表示在一个茎叶图中时，往往可不通过计算便能迅速得出相应的统计结论，从而提升解题效率.此时可从数据分布的对称性及数据主要集中在哪个茎上两个方面来进行.一般地，若数据大致对称，数据的集中趋势较强，则数据的稳定情况较好，即方差或标准差较小；若数据更多地集中在茎中较大的几个数所在的行，则往往平均数也较大.
频率分布直方图的绘制及其应用
例 3：(1)(2018 年宁夏固原模拟)某小区共有 1 000 户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图9-5-8 ，则该小区居民用电量的中位数为________，平均数为________.图 9-5-8
(2)(多选)为了解某校九年级 1600 名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试 1 分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图 9-5-9 所示的频率分布直方图，根据统计图
的数据，下列结论正确的是(
A.该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数的中位数为 26.25B.该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数的众数为 27.5C.该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 的人数约
D.该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的人数约
解析：由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是 26.25；众数是最高矩形的中间值27.5；1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 的频率为 0.2，∴估计 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 的人数为 320；1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的频率为 0.1，∴估计 1 分钟仰卧起坐的次数少于 20的人数为 160.故 D 错误.
【规律方法】用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布直方图有以下几个要点：
②频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比；③直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于 1，即频率之和为 1.
1.(2019 年新课标Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图 9-5-10 所示的直方图：
记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，
根据直方图得到 P(C)的估计值为 0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数
据用该组区间的中点值为代表).
解：(1)由题得 a＋0.20＋0.15＝0.70，解得 a＝0.35.由 0.05＋b＋0.15＝1－P(C)＝1－0.70，解得 b＝0.10.
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.15×2 ＋ 0.20×3 ＋ 0.30×4 ＋ 0.20×5 ＋ 0.10×6 ＋ 0.05×7 ＝4.05.乙离子残留百分比的平均值为 0.05×3＋0.10×4＋0.15×5＋0.35×6＋0.20×7＋0.15×8＝6.
⊙函数思想在统计中的应用
在高考中常以频率分布直方图或茎叶图的形式出现，考查
统计与概率的知识，这也是近几年高考出题的热点.
例题：(2016 年新课标Ⅰ)某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图 9-5-11：
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数.
(1)若 n＝19，求 y 与 x 的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于
0.5，求 n 的最小值；
(3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？
解：(1)当 x≤19 时，y＝3800；当 x>19 时，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700.∴y 与 x 的函数解析式为
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故 n 的最小值为 19.
(3)若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800,20 台的费用为 4300,10 台的费用为 4800，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：
×(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000.
若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4000,10 台的费用为4500，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：
×(4000×90＋4500×10)＝4050.
比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.【规律方法】本题把统计与函数结合在一起进行考查，有综合性但难度不大，求解关键是读懂题意，所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.
【跟踪训练】2.如图 9-5-12 表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平
解析：设被污损的数字为 a(0≤a≤9 且 a∈N)，则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得 88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋99＋90＋a，解得 8>a，即得 0≤a≤7 且 a∈N，∴甲的平均
1.用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用.在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致.通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计.
2.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注
(1)最高的矩形的中点即众数；
(2)中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.