高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4讲函数的奇偶性与周期性课件

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对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.
2.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x∈(－∞，0)
时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝______.
3.(2018 年新课标Ⅲ)下列函数中，其图象与函数 y＝ln x 的
图象关于直线 x＝1 对称的是(
A.y＝ln(1－x)C.y＝ln(1＋x)
B.y＝ln(2－x)D.y＝ln(2＋x)
4.(2019 年新课标Ⅱ)设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝
ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)
解析：设x<0，则－x>0，f(－x)＝e－x－1，f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)＝e－x－1，则当x<0时，f(x)＝－e－x＋1.
A.e－x－1 B.e－x＋1C.－e－x－1 D.－e－x＋1
例 1：(1)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函
数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数
解析：依题意，得对任意 x∈R，都有 f(－x)＝－f(x)，
g(－x)＝g(x) ，因此，f(－x)g(－x) ＝－f(x)g(x) ＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A 错误；|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B 错误；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C 正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D 错误.故选 C.
(2)设 f(x)是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是(A.f(x)f(－x)是奇函数B.f(x)|f(－x)|是奇函数C.f(x)－f(－x)是偶函数D.f(x)＋f(－x)是偶函数
解析：A 中 F(x)＝f(x)f(－x)，则 F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)，
即函数 F(x)＝f(x)f(－x)为偶函数，∴A 错误；
B 中 F(x)＝f(x)|f(－x)|，F(－x)＝f(－x)|f(x)|，此时 F(x)与F(－ x)的关系不能确定，即函数 F(x)＝f(x)|f(－x)|的奇偶性不确定，∴B 错误；
C 中 F(x)＝f(x)－f(－x)，F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，即
函数 F(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数，∴C 错误；
D 中 F(x)＝f(x)＋f(－x)，F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，即函
数 F(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数，∴D 正确.
(3)(2015 年北京)下列函数中为偶函数的是(
B.y＝x2cs xD.y＝2－x
A.y＝x2sin xC.y＝|ln x|答案：B
(4)下列函数为奇函数的是(
【规律方法】判断函数奇偶性的方法：①定义法：第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数.第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断，即若有 f(－x)＝－f(x)
②图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断.分段函数奇
偶性的判断常用图象法；
③复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”；
④抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，
通过合理、灵活的变形配凑来判断.
根据函数的奇偶性求参数的值(范围)
偶函数，则 a＝________.
(2)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
【规律方法】已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常用待定系数法：先利用f(x)±f(－x)＝0 得到关于待求参数的恒等式，再利用恒等式的性质列方程求解.
函数奇偶性与周期性的综合应用
例 3：(1)(2017 年山东)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，________.解析：由 f(x＋4)＝f(x－2)，得 T＝6, f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6.答案：6
且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝
(2)(2018 年新课标Ⅱ)已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1－x)＝f(1＋x).若 f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…
解析：f(1－x)＝f(1＋x)⇒f(2－x)＝f(x)⇒f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝f(x)，f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，f(0)＝0，f(1)＝2，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2.答案：C
解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，则 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数.又∵f(x)为定义在 R 上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，∴f(6)＝f(4＋2)＝f(2)＝－f(0)＝0，f(－7)＝f(－8＋1)＝f(1)＝21－1＝1，
【规律方法】本题考查函数的奇偶性与周期性，属于基础题.在涉及函数求值问题中，可利用周期性f(x)＝f(x＋T)，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间，再利用奇偶性转化到已知区间上，再由函数式求值即可.
难点突破⊙函数对称性质的判断及应用
③函数 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称.
∴f(x)为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故③正确.答案：C
1.在讨论函数的奇偶性时，应首先求函数的定义域，观察其定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数不具备奇偶性，为非奇非偶函数；只有定义域关于原点对称，才有必要利用定义进一步研究其奇偶性；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，反之也是.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性；分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上奇偶性.
2.函数的周期性与对称性性质总结：
(1)周期性：对任意的 x∈D，都有 f(x＋T)＝f(x)，则 T 叫做
函数 f(x)的周期.
(2)比较周期性与对称性：
(3)如何计算一般形式的周期和对称(这是一个函数自身的
(4)两个函数的对称关系：