浙江省金华市金东区2021-2022学年八年级下学期期末检测数学试题(word版含答案)

这是一份浙江省金华市金东区2021-2022学年八年级下学期期末检测数学试题(word版含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省金华市金东区2021-2022学年八年级下学期期末检测
数学试题（附答案详细解析）
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请选出一个符合题意的正确选项填涂在答题卷内，不选、多选、错选均不给分）
1．（3分）要使二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
2．（3分）下列方程有两个相等的实数解的是（　　）
A．x2+5x﹣6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+9＝0 D．x2+6x﹣9＝0
3．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班50名同学的视力检查数据如下表：
视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
2
3
6
9
12
10
5
3
则视力的众数是（　　）
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
4．（3分）二次函数y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
5．（3分）添加下列一个条件，能使▱ABCD成为菱形的是（　　）


A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠BAD＝90° D．AB＝BC
6．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则下面所列的方程中正确的是（　　）
A．560（1﹣x）2＝315 B．560（1+x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315
7．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别为AO、AD的中点，若EF＝4，AB＝8，则∠ACB的度数为（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°
8．（3分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
9．（3分）若p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则p2+2p﹣q的值是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．13
10．（3分）如图，在矩形ABCO中，点D在BC边上，连结AD，把△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上的点E处，已知B（10，8），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点D，则k的值为（　　）

A．20 B．30 C．40 D．48
二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算﹣32的结果是　 　．
12．（4分）数据1，2，2，2，3的方差是 　 　．
13．（4分）一个多边形的内角和等于其外角和2倍，那么这个多边形的边数是　 　．
14．（4分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+1的值为 　 　．
15．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当y≥5时，自变量x的取值范围是 　 　．
16．（4分）如图，矩形ABCD中，点E，F，G分别在CD，AD，BC边上，CE＝2，DE＝1，∠BE平分∠FBC，∠BEF＝∠BEG＝45°，则线段DF的长为 　 　，线段BC的长为 　 　．

三、解答题（本大题共有8小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）×；
（2）．
18．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（2x+1）2＝（x﹣1）2．
19．（6分）尊老爱幼是中华民族的传统美德，菜商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要达到平均每天1280元，销售单价应降低多少元？
20．（8分）已知点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC＝12，∠BAC＝90°，求▱AECF的周长．

21．（8分）甲、乙两位同学参加数学综合素质测试，各项成绩如下（单位：分）

数与代数
空间与图形
统计与概率
综合与实践
学生甲
90
93
89
90
学生乙
94
92
94
86
（1）分别计算甲、乙成绩的中位数；
（2）如果数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按3：3：2：2计算，那么甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分？
22．（10分）如图，正方形ABCD，边长为2，点E，F分别是AB，CD的中点，连结CE，AF，过点D作DG⊥AF，垂足为G，延长DG交CE于点H．
（1）求DG的长．
（2）求GH的长．
（3）求EH的长．

23．（10分）如图，直线y＝x﹣3交x轴于点B，交y轴于点A，抛物线y＝ax2+4x+c经过点A，B，顶点为点C．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标．
（2）将抛物线y＝ax2+4x+c向下平移m个单位长度，点C的对应点为D，连结AD，BD，若S△ABD＝2，求m的值．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，BA＝3，BC＝5，有一反比例函数图象刚好过点B．
（1）分别求出过点B的反比例函数和过A，C两点的一次函数的表达式．
（2）动点P在射线CA（不包括C点）上，过点P作直线l⊥x轴，交反比例函数图象于点D．是否存在这样的点Q，使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


浙江省金华市金东区2021-2022学年八年级下学期期末检测
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请选出一个符合题意的正确选项填涂在答题卷内，不选、多选、错选均不给分）
1．（3分）要使二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
【分析】直接利用二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x+2≥0，
解得：x≥﹣2，
则实数x的取值范围是：x≥﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2．（3分）下列方程有两个相等的实数解的是（　　）
A．x2+5x﹣6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+9＝0 D．x2+6x﹣9＝0
【分析】先分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义分别进行判断．
【解答】解：A、Δ＝52﹣4×（﹣6）×1＝49＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、Δ＝（﹣5）2﹣4×1×6＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C、Δ＝（﹣6）2﹣4×9×1＝0，则方程有两个相等的实数根，所以C选项符合题意；
D、Δ＝62﹣4×（﹣9）×1＞0，则方程两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
3．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班50名同学的视力检查数据如下表：
视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
2
3
6
9
12
10
5
3
则视力的众数是（　　）
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：由表知，视力为4.7的人数最多，有12人，
所以视力的众数为4.7，
故选：C．
【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
4．（3分）二次函数y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
【分析】根据二次函数顶点式，直接可得顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数为y＝2（x+1）2+3，
∴顶点坐标为：（﹣1，3），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质﹣顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的顶点式．
5．（3分）添加下列一个条件，能使▱ABCD成为菱形的是（　　）


A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠BAD＝90° D．AB＝BC
【分析】菱形的判定方法有三种：
①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
所以可添加AB＝BC．
【解答】解：AB＝BC或AC⊥BD等．
故选：D．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，熟练地掌握菱形的判定定理是解决问题的关键．
6．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则下面所列的方程中正确的是（　　）
A．560（1﹣x）2＝315 B．560（1+x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x）元，第二次后的价格是560（1﹣x）2元，据此即可列方程求解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560（1﹣x）2＝315，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
7．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别为AO、AD的中点，若EF＝4，AB＝8，则∠ACB的度数为（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°
【分析】由矩形的性质和三角形中位线定理可证OD＝OC＝8＝CD，可得△COD是等边三角形，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD，∠BCD＝90°，
∴AO＝OB＝OC＝OD，
∵E、F分别为AO、AD的中点，
∴OD＝2EF＝8，
∴OD＝OC＝8＝CD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACB＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
8．（3分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上时．
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，
∴图象在二、四象限，在每一支上，y随x的增大而增大，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＜y2，
∴或，
解得a＞1或a＜﹣1，
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＜y2，
∴a﹣1＞0，a+1＜0，
解得：a＜﹣1或a＞1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当k＜0时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大．
9．（3分）若p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则p2+2p﹣q的值是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．13
【分析】根据题意把x＝p代入方程求出p2+3p的值，并利用根与系数的关系求出p+q的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴p2+3p﹣9＝0，即p2+3p＝9，p+q＝﹣3，
则原式＝p2+3p﹣p﹣q
＝（p2+3p）﹣（p+q）
＝9﹣（﹣3）
＝9+3
＝12．
故选：C．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
10．（3分）如图，在矩形ABCO中，点D在BC边上，连结AD，把△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上的点E处，已知B（10，8），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点D，则k的值为（　　）

A．20 B．30 C．40 D．48
【分析】根据翻折变换的性质，可得AE＝AB＝5，DE＝BD；然后设点D的坐标是（10，b），在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CD的长度，进而求出k的值．
【解答】解：∵△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，点B（10，8），
∴AE＝AB＝10，DE＝BD，
∵AO＝8，AE＝10，
∴OE＝＝6，CE＝10﹣6＝4，
设点D的坐标是（10，b），
则CD＝b，DE＝8﹣b，
∵CD2+CE2＝DE2，
∴b2+42＝（8﹣b）2，
解得b＝3，
∴点D的坐标是（10，3），
∵反比例函数的图象经过点D，
∴k＝10×3＝30，
故选：B．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，轴对称的性质，求得点D的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算﹣32的结果是　﹣9　．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则求出答案．
【解答】解：﹣32＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
12．（4分）数据1，2，2，2，3的方差是 　　．
【分析】先计算出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式列式计算即可．
【解答】解：∵这组数据的平均数为＝2，
∴这组数据的方差为×[（2﹣1）2+3×（2﹣2）2+（2﹣3）2]＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义，并熟记方差的计算公式．
13．（4分）一个多边形的内角和等于其外角和2倍，那么这个多边形的边数是　6　．
【分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
14．（4分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+1的值为 　4　．
【分析】由题意可知：2m2﹣3m＝4，然后将2m2﹣3m＝4整体代入原式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝3（2m2﹣3m）+1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
15．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当y≥5时，自变量x的取值范围是 　x≥4或x≤﹣2　．
【分析】由y＝5求得对应的函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x的值，然后根据二次函数y＝x2﹣2x﹣3的性质即可得到结论．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
当y＝5时，则x2﹣2x﹣3＝5，即x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x＝4或x＝﹣2，
∴当y≥5时，自变量x的取值范围是x≥4或x≤﹣2，
故答案为：x≥4或x≤﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，明确二次函数y＝x2﹣2x﹣3的性质是解题的关键．
16．（4分）如图，矩形ABCD中，点E，F，G分别在CD，AD，BC边上，CE＝2，DE＝1，∠BE平分∠FBC，∠BEF＝∠BEG＝45°，则线段DF的长为 　2　，线段BC的长为 　7　．

【分析】根据∠BE平分∠FBC可得∠FBE＝∠GBE，由于∠BEF＝∠BEG＝45°，则可判定△BEF≌△BEG，根据全等三角形的性质可得EF＝GE，进一步可判定△DEF≌△CGE，则DF＝CE＝2，CG＝1，然后利用勾股定理求出BC即可．
【解答】解：∵∠BE平分∠FBC，
∴∠FBE＝∠GBE，
∵∠BEF＝∠BEG＝45°，BE＝BE，
∴△BEF≌△BEG（ASA），
∴EF＝GE，BF＝BG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D，AD＝BC，
∵∠BEF＝∠BEG＝45°，
∴∠FEG＝90°，
∴∠GEC+∠DEF＝90°，
∵∠DFE+∠DEF＝90°，
∴∠GEC＝∠DFE，
∴△DEF≌△CGE（AAS），
∴DF＝CE＝2，CG＝DE＝1，
设AD＝BC＝x，则AF＝x﹣2，BG＝x﹣1，
∵BF＝BG，
∴AB2+AF2＝BG2，
即32+（x﹣2）2＝（x﹣1）2，
解得x＝7，
∴BC＝7．
故答案为：2；7．

【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
三、解答题（本大题共有8小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）×；
（2）．
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答；
（2）利用分母有理化，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）×
＝
＝3；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（2x+1）2＝（x﹣1）2．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先移项得到（2x+1）2﹣（x﹣1）2＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
（2）（2x+1）2﹣（x﹣1）2＝0，
（2x+1+x﹣1）（2x+1﹣x+1）＝0，
2x+1+x﹣1＝0或2x+1﹣x+1＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
19．（6分）尊老爱幼是中华民族的传统美德，菜商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要达到平均每天1280元，销售单价应降低多少元？
【分析】设销售单价应降低x元，根据商店销售这款商品的利润要达到平均每天1280元列一元二次方程，求解即可．
【解答】解：设销售单价应降低x元，
根据题意，得（25﹣15﹣x）（80+）＝1280，
解得x1＝2或x2＝6，
答：销售单价应降低2元或6元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立一元二次方程是解题的关键．
20．（8分）已知点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC＝12，∠BAC＝90°，求▱AECF的周长．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AF＝CE，即可得出结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质得到AE＝CE＝BC＝6，再证平行四边形AECF是菱形，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点，
∴AF＝AD，CE＝BC，
∴AF＝CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵BC＝12，∠BAC＝90°，E是BC的中点．
∴AE＝CE＝BC＝CE＝6，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴▱AECF的周长＝4×6＝24．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21．（8分）甲、乙两位同学参加数学综合素质测试，各项成绩如下（单位：分）

数与代数
空间与图形
统计与概率
综合与实践
学生甲
90
93
89
90
学生乙
94
92
94
86
（1）分别计算甲、乙成绩的中位数；
（2）如果数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按3：3：2：2计算，那么甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分？
【分析】（1）将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数就是这组数据的中位数进行分析；
（2）数学综合素质成绩＝数与代数成绩×+空间与图形成绩×+统计与概率成绩×+综合与实践成绩×，依此分别进行计算即可求解．
【解答】解：（1）甲的成绩从小到大的顺序排列为：89，90，90，93，中位数为90；
乙的成绩从小到大的顺序排列为：86，92，94，94，中位数为（92+94）÷2＝93．
答：甲成绩的中位数是90，乙成绩的中位数是93；

（2）3+3+2+2＝10
甲90×+93×+89×+90×
＝27+27.9+17.8+18
＝90.7（分）
乙94×+92×+94×+86×
＝28.2+27.6+18.8+17.2
＝91.8（分）
答：甲的数学综合素质成绩为90.7分，乙的数学综合素质成绩为91.8分．
【点评】此题考查了中位数和加权平均数，用到的知识点是中位数和加权平均数，掌握它们的计算公式是本题的关键．
22．（10分）如图，正方形ABCD，边长为2，点E，F分别是AB，CD的中点，连结CE，AF，过点D作DG⊥AF，垂足为G，延长DG交CE于点H．
（1）求DG的长．
（2）求GH的长．
（3）求EH的长．

【分析】（1）由勾股定理可求AF的长，由面积法可求解；
（2）先证四边形AECF是平行四边形，可得AF＝CE＝，AF∥CE，可证GF是△DHC的中位线，即可求解；
（3）由三角形中位线定理可得CH的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是AB，CD的中点，
∴AB＝AD＝CD＝2，AE＝BE＝CF＝DF＝1，
∴AF＝＝＝，
∵S△ADF＝×AD×DF＝×AF×DG，
∴DG＝；
（2）∵AE＝CF＝1，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE＝，AF∥CE，
∵点F是CD的中点，
∴GF是△DHC的中位线，
∴点G是DH的中点，
∴DG＝GH＝；
（3）在Rt△DGF中，GF＝＝＝，
∵GF是△DHC的中位线，
∴CH＝2GF＝，
∴EH＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．（10分）如图，直线y＝x﹣3交x轴于点B，交y轴于点A，抛物线y＝ax2+4x+c经过点A，B，顶点为点C．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标．
（2）将抛物线y＝ax2+4x+c向下平移m个单位长度，点C的对应点为D，连结AD，BD，若S△ABD＝2，求m的值．

【分析】（1）先求出点B，点C的坐标，代入解析式可求解；
（2）求得平移后的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1﹣m，进一步求得对称轴与直线AB的交点，然后根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程组即可．
【解答】解：（1）直线y＝x﹣3交x轴于点B，交y轴于点A，
∴点B（3，0），点A（0，﹣3），
∵抛物线y＝ax2+4x+c经过点A，B，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴C（2，1）；
（2）将抛物线y＝ax2+4x+c向下平移m个单位长度得到y＝﹣（x﹣2）2+1﹣m，
把x＝2代入y＝x﹣3得y＝﹣1，
∴AB与对称轴的交点为（2，﹣1），
∵平移后的抛物线的顶点为（2，1﹣m），
∴S△ABD＝2，
∴|1﹣m+1|×3＝2，
∴m＝或m＝．
∴m的值为或．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，求得抛物线的解析式是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，BA＝3，BC＝5，有一反比例函数图象刚好过点B．
（1）分别求出过点B的反比例函数和过A，C两点的一次函数的表达式．
（2）动点P在射线CA（不包括C点）上，过点P作直线l⊥x轴，交反比例函数图象于点D．是否存在这样的点Q，使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据题意分别求出A点，B点和C点的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据函数解析式设出P点和D点的坐标，若以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形则点Q在直线BA上，且PD＝DB＝BQ，据此等量关系列方程求解即可．
【解答】解：（1）解：（1）由题意知，A（5，0），B（5，3），C（0，3），
设过点B的反比例函数解析式为y＝，
代入B点坐标得，3＝，
解得k＝15，
∴过点B的反比例函数的解析式为y＝，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
代入A点和C点坐标得，，
解得，
∴过A，C两点的一次函数的表达式为y＝﹣x+3；
（2）存在，
设P（m，﹣m+3），则D（m，），
若以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形则点Q在直线BA上，且PD＝DB＝BQ，
∴﹣（﹣m+3）＝，
整理得，
解得m＝或，
当m＝时，
PD＝﹣（﹣m+3）＝＝BQ，
∴此时Q（5，3﹣），
即Q（5，﹣）；
当m＝时，
PD＝﹣（﹣m+3）＝＝BQ，
∴Q此时（5，3﹣），
即Q（5，﹣）；
综上所述，若以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形则Q点的坐标为（5，﹣）或（5，﹣）．
【点评】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，菱形的性质等知识是解题的关键．