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福建省龙岩市长汀县2021-2022学年七年级下学期期末质量检查 数学试卷(word版含答案)
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这是一份福建省龙岩市长汀县2021-2022学年七年级下学期期末质量检查 数学试卷(word版含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省龙岩市长汀县2021-2022学年七年级下学期期末质量检查 数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）在实数，，0，1中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．1
2．（4分）的值是（ ）
A．9 B．3 C．﹣3 D．±3
3．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）以下调查中，最适合用来全面调查的是（ ）
A．了解全班学生的身高情况
B．了解全国中学生的心理健康状况
C．调查汀江流域水质情况
D．调查春节联欢晚会收视率
5．（4分）点M（a，a+3）向右平移1个单位后与x轴上点N重合，则点N的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣3，0） D．（﹣4，0）
6．（4分）满足不等式3（x+2）＞2x的最小负整数是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣5
7．（4分）在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（2，1），经过点A的直线l∥x轴，C是直线l上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（2，0） C．（2，﹣1） D．（2，3）
8．（4分）已知x＝3﹣k，y＝k+2，则y与x的关系是（ ）
A．x+y＝1 B．x﹣y＝1 C．x+y＝5 D．x﹣y＝5
9．（4分）某种商品每件的进价为120元，商场按进价提高50%标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打_______折（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
10．（4分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．10 B．89 C．165 D．294
二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）
11．（4分）比较大小： 4．
12．（4分）已知点A（﹣1，b+2）在坐标轴上，则b＝ ．
13．（4分）是二元一次方程2x+ay＝3的一个解，则a的值为 ．
14．（4分）质检部门为了检测某品牌服装的质量，从同一批次共2000件产品中随机抽取50件进行检测，检测出次品1件，由此估计这一批产品中的次品件数是 件．
15．（4分）已知a，b都是有理数，观察表中的运算，则m＝ ．
a，b的运算
a+b
a﹣b
（a+2b）3
运算的结果
0
4
m
16．（4分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为点A2，点A2的友好点为点A3，点A3的友好点为点A4，……以此类推，当点A1的坐标为（2，1）时，点A2022的坐标为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）解方程组：．
18．（8分）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．
19．（8分）如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，完成下列问题：
（1）请写出三角形ABC各顶点的坐标；
（2）求出三角形ABC的面积；
（3）若把三角形ABC向上平移2个单位，在向右平移2个单位得到三角形A′B′C′，在图中画出平移以后的图形．
20．（8分）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连接BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．
（1）求证：∠DEF＝∠EBG；
（2）若∠EBG＝∠A，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．
21．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．
例如：点P（2，3）的一对“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）．
（1）点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是 与 ；
（2）若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为 ；
（3）若点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标．
22．（10分）2022年3月23日下午，中国空间站“天宫课堂”再度开课，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富演示了太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．某校学生全员观看了太空授课直播，为了了解学生心中“最受启发的实验”的情况，随机抽取了部分学生（每人只选择一个实验）进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
最受启发的实验
频数（人）
频率
A．“冰雪”实验
6
0.15
B．液桥演示实验
C．水油分离实验
D．太空抛物实验
0.35
根据以上信息，回答下列问题：
（1）被调查的学生中，认为最受启发的实验是A的学生人数为 人，认为最受启发的实验是C的学生人数占被调查学生总人数的百分比为 %；
（2）本次调查的样本容量为 ，样本中认为最受启发的实验是D的学生人数为 人；
（3）若该校共有1200名学生，请根据调查结果，估计认为最受启发的实验是B的学生人数．
23．（10分）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．现有以下两款：
已知购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元；
（1）请问冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？
（2）北京奥运官方特许零售店开始销售的第一天4个小时内全部售罄，于是从厂家紧急调配24000个商品，拟租用甲、乙两种车共6辆，一次性将商品送到指定地点，若每辆甲种车的租金为400元可装载4500个商品，每辆乙种车的租金为280元可装载3000个商品，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
24．（12分）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE＝90°，点E在线段AB上，∠FCG＝90°，点F在直线AD上，∠AHG＝90°．∠ECF＝60°．
（1）求证：∠B＝∠D．
（2）如图，当点F在线段AD上时，求∠BCD的度数；
（3）在点C运动过程中，点C（点C不与点B、H重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，请求出∠BAF的度数．
25．（14分）在平面直角坐标系中，如果点p（a，b）满足a+1＞b且b+1＞a，则称点p为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”．
（1）判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称；p1（1，0），，．
（2）如果点N（2x+3，2）不是“自大点”，求出x的取值范围．
（3）如图，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下（y轴负方向）平移，设运动时间为t秒（t＞0），当正方形成为“自大忘形”时，求t的取值范围．
福建省龙岩市长汀县2021-2022学年七年级下学期期末质量检查 数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）在实数，，0，1中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．1
【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
【解答】解：∵﹣﹣＜0＜1，
∴最大的数是1，
故选：D．
【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．（4分）的值是（ ）
A．9 B．3 C．﹣3 D．±3
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：＝3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用第二象限内点的符号特点进而得出答案．
【解答】解：点（﹣3，2）所在的象限在第二象限．
故选：B．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．
4．（4分）以下调查中，最适合用来全面调查的是（ ）
A．了解全班学生的身高情况
B．了解全国中学生的心理健康状况
C．调查汀江流域水质情况
D．调查春节联欢晚会收视率
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解全班学生的身高情况，适合全面调查，故本选项符合题意；
B、了解全国中学生的心理健康状况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C、调查汀江流域水质情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D、调查春节联欢晚会收视率，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．（4分）点M（a，a+3）向右平移1个单位后与x轴上点N重合，则点N的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣3，0） D．（﹣4，0）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点N的坐标．
【解答】解：点M（a，a+3）向右平移1个单位，得到点N的坐标是（a+1，a+3），
∴a+3＝0，
∴a＝﹣3，
∴a+1＝﹣3+1＝﹣2，
∴N（﹣2，0），
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6．（4分）满足不等式3（x+2）＞2x的最小负整数是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣5
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项得到其解集，继而得出答案．
【解答】解：去括号，得：3x+6＞2x，
移项，得：3x﹣2x＞﹣6，
合并同类项，得：x＞﹣6，
∴不等式的最小负整数为﹣5，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
7．（4分）在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（2，1），经过点A的直线l∥x轴，C是直线l上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（2，0） C．（2，﹣1） D．（2，3）
【分析】根据经过点A的直线l∥x轴，可知点C的纵坐标与点A的纵坐标相等，可设点C的坐标（x，3），根据点到直线垂线段最短，当BC⊥a时，点C的横坐标与点B的横坐标相等，即可得出答案．
【解答】解：如图所示，
∵a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，点A（0，3），
∴设点C（x，3），
∵当BC⊥直线l时，BC的长度最短，点B（2，1），
∴x＝2，
∴点C的坐标为（2，3）．
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确垂线段最短．
8．（4分）已知x＝3﹣k，y＝k+2，则y与x的关系是（ ）
A．x+y＝1 B．x﹣y＝1 C．x+y＝5 D．x﹣y＝5
【分析】已知两等式消去k即可得到y与x的关系式．
【解答】解：联立得：，
①+②得：x+y＝5．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程，利用了消元的思想，消去k是解本题的关键．
9．（4分）某种商品每件的进价为120元，商场按进价提高50%标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打_______折（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【分析】根据利润率不低于5%和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：设打x折，
由题意可得：120（1+50%）×﹣120≥120×5%，
解得x≥7，
即至多打7折，
故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等关系，列出相应的不等式．
10．（4分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．10 B．89 C．165 D．294
【分析】根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为50，右边第2位的计数单位为51，右边第3位的计数单位为52，右边第4位的计数单位为53……依此类推，可求出结果．
【解答】解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，
故选：D．
【点评】本题考查用数字表示事件，理解“逢五进一”的计数规则是正确计算的前提．
二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）
11．（4分）比较大小： ＜ 4．
【分析】先把4写成，再进行比较即可．
【解答】解：∵4＝，＜，
∴＜4；
故答案为：4．
【点评】此题考查了实数的大小比较，把4写成是本题的关键，是一道基础题．
12．（4分）已知点A（﹣1，b+2）在坐标轴上，则b＝ ﹣2 ．
【分析】根据点在坐标轴上的坐标特点解答即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，b+2）在坐标轴上，横坐标是﹣1，
∴一定不在y轴上，当点在x轴上时，纵坐标是0，即b+2＝0，
解得：b＝﹣2．故填﹣2．
【点评】本题主要考查了坐标轴上的点的坐标的特点，即点在x上时，纵坐标为0；在y轴上时，横坐标等于0．
13．（4分）是二元一次方程2x+ay＝3的一个解，则a的值为 ．
【分析】首先把代入二元一次方程2x+ay＝3，然后根据解一元一次方程的方法，求出a的值即可．
【解答】解：∵是二元一次方程2x+ay＝3的一个解，
∴2+3a＝3，
解得：a＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
14．（4分）质检部门为了检测某品牌服装的质量，从同一批次共2000件产品中随机抽取50件进行检测，检测出次品1件，由此估计这一批产品中的次品件数是 40 件．
【分析】先求出次品所占的百分比，再根据共2000件产品，直接相乘得出答案即可．
【解答】解：∵随机抽取50件进行检测，检测出次品1件，
∴次品所占的百分比是：，
∴这一批产品中的次品件数是：2000×＝40（件），
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键．
15．（4分）已知a，b都是有理数，观察表中的运算，则m＝ ﹣8 ．
a，b的运算
a+b
a﹣b
（a+2b）3
运算的结果
0
4
m
【分析】根据表格得出方程组，求出a、b的值，再求出（a+2b）3即可．
【解答】解：由表可知：，
①+②，得2a＝4，
解得：a＝2，
把a＝2代入①，得2+b＝0，
解得：b＝﹣2，
所以m＝（a+2b）3
＝[2+2×（﹣2）]3
＝（2﹣4）3
＝（﹣2）3
＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和求代数式的值，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
16．（4分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为点A2，点A2的友好点为点A3，点A3的友好点为点A4，……以此类推，当点A1的坐标为（2，1）时，点A2022的坐标为 （0，﹣3） ．
【分析】根据友好点的定义及点A1的坐标为（2，1），顺次写出几个友好点的坐标，可发现循环规律，据此可解．
【解答】解：观察，发现规律：A1（2，1），A2（0，﹣3），A3（﹣4，﹣1），A4（﹣2，3），A5（2，1），…，
∴A4n+1（2，1），A4n+2（0，﹣3），A4n+3（﹣4，﹣1），A4n+4（﹣2，3）（n为自然数）．
∵2022＝505×4+2，
∴点A2022的坐标为（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）．
【点评】本题考查了规律型的点的坐标，从已知条件得出循环规律：每4个点为一个循环是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）解方程组：．
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
由②得：x＝5﹣2y③，
把③代入①得：3（5﹣2y）﹣y＝8，
解得：y＝1，
把y＝1代入③得：x＝5﹣2＝3，
则原方程组的解是．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．（8分）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣3，
∴原不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
19．（8分）如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，完成下列问题：
（1）请写出三角形ABC各顶点的坐标；
（2）求出三角形ABC的面积；
（3）若把三角形ABC向上平移2个单位，在向右平移2个单位得到三角形A′B′C′，在图中画出平移以后的图形．
【分析】（1）利用点的坐标表示方法求解；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形ABC的面积；
（3）利用点平移的坐标变换规律得到点A′、B′、C′的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）A（﹣1，﹣1），B（4，2），C（1，3）；
（2）△ABC的面积＝5×4﹣×3×1﹣×5×3﹣×4×2＝7；
（3）如图，△A′B′C′为所求．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
20．（8分）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连接BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．
（1）求证：∠DEF＝∠EBG；
（2）若∠EBG＝∠A，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据互相垂直的意义，以及同角或等角的余角或补角相等，得出结论；
（2）根据角平分线、以及同角或等角的余角或补角相等，得出∠A＝∠AEF，利用内错角相等两直线平行，得出结论．
【解答】证明：（1）∵EB⊥EF，
∴∠FEB＝90°，
又∵∠DEF+∠BEG＝180°﹣90°＝90°，∠EBG+∠BEG＝90°，
∴∠DEF＝∠EBG，
（2）AB∥EF，理由如下：
∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF＝∠AED，
∵∠EBG＝∠A，∠DEF＝∠EBG，
∴∠A＝∠DEF，
又∵∠DEF＝∠AEF
∴∠A＝∠AEF，
∴AB∥EF．
【点评】本题考查角平分线、互相垂直的意义，同角（等角）的余角（补角）相等，以及平行线的性质和判定，等量代换在证明过程中起到非常重要的作用．
21．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．
例如：点P（2，3）的一对“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）．
（1）点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是 （1，3） 与 （3，1） ；
（2）若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为 ﹣4 ；
（3）若点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标．
【分析】（1）根据新定义求出a，b，即可得出结论；
（2）根据新定义，求出点A的一对“相伴点”，进而得出结论；
（3）设出点B的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵Q（4，﹣1），
∴a＝4+（﹣1）＝3，b﹣（﹣1）＝1，
∴点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是（1，3）与（3，1），
故答案为：（1，3），（3，1）；
（2）∵点A（8，y），
∴a＝8+y，b＝﹣y，
∴点A（8，y）的一对“相伴点”的坐标是（8+y，﹣y）和（﹣y，8+y），
∵点A（8，y）的一对“相伴点”重合，
∴8+y＝﹣y，
∴y＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（3）设点B（x，y），
∵点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），
∴或，
∴或，
∴B（6，﹣7）或（6，1）．
【点评】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．
22．（10分）2022年3月23日下午，中国空间站“天宫课堂”再度开课，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富演示了太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．某校学生全员观看了太空授课直播，为了了解学生心中“最受启发的实验”的情况，随机抽取了部分学生（每人只选择一个实验）进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
最受启发的实验
频数（人）
频率
A．“冰雪”实验
6
0.15
B．液桥演示实验
C．水油分离实验
D．太空抛物实验
0.35
根据以上信息，回答下列问题：
（1）被调查的学生中，认为最受启发的实验是A的学生人数为 6 人，认为最受启发的实验是C的学生人数占被调查学生总人数的百分比为 30 %；
（2）本次调查的样本容量为 40 ，样本中认为最受启发的实验是D的学生人数为 14 人；
（3）若该校共有1200名学生，请根据调查结果，估计认为最受启发的实验是B的学生人数．
【分析】（1）由频数分布表可得认为最受启发的实验是A的学生人数，由扇形图可得认为最受启发的实验是C的学生人数占被调查学生总人数的百分比；
（2）由A组的学生人数及其频率可得本次调查的样本容量，用总人数乘频率可得样本中认为最受启发的实验是D的学生人数；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：由题意可知，被调查的学生中，认为最受启发的实验是A的学生人数为6人，认为最受启发的实验是C的学生人数占被调查学生总人数的百分比为30%，
故答案为：6；30；
（2）本次调查的样本容量为：6÷0.15＝40；
样本中认为最受启发的实验是D的学生人数为：40×0.35＝14（人），
故答案为：40；14；
（3）样本中认为最受启发的实验是B的学生人数为：40﹣6﹣14﹣40×30%＝8（人），
1200×＝240（人），
答：估计该校认为最受启发的实验是B的学生人数为240人．
【点评】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图表中得到必要的信息，求出本次调查的样本容量是解决问题的关键．
23．（10分）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．现有以下两款：
已知购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元；
（1）请问冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？
（2）北京奥运官方特许零售店开始销售的第一天4个小时内全部售罄，于是从厂家紧急调配24000个商品，拟租用甲、乙两种车共6辆，一次性将商品送到指定地点，若每辆甲种车的租金为400元可装载4500个商品，每辆乙种车的租金为280元可装载3000个商品，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【分析】（1）设1个冰墩墩的售价为x元，1个雪容融的售价为y元，根据“购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元”，列出方程组求解即可；
（2）设租用甲种车x辆，则租用乙种车（6﹣a）辆，总租金为w元，根据题意求出w与a的关系式，并根据题意求出a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设1个冰墩墩的售价为x元，1个雪容融的售价为y元，根据题意，得：
，
解得，
答：1个冰墩墩的售价为120元，1个雪容融的售价为100元；
（2）设租用甲种车a辆，则租用乙种车（6﹣a）辆，总租金为w元，根据题意，得：
w＝400a+280（6﹣a）＝120a+1680，
由题意，得4500a+3000（6﹣a）≥24000，
解得a≥4，
∵120＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝4时，w有最小值为2160，
此时6﹣a＝2，
即当租用甲种车4辆，租用乙种车2辆，总租金最低，最低费用为2160元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
24．（12分）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE＝90°，点E在线段AB上，∠FCG＝90°，点F在直线AD上，∠AHG＝90°．∠ECF＝60°．
（1）求证：∠B＝∠D．
（2）如图，当点F在线段AD上时，求∠BCD的度数；
（3）在点C运动过程中，点C（点C不与点B、H重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，请求出∠BAF的度数．
【分析】（1）由AD∥BC，得∠D＝∠DCG，由AB∥DC，得∠DCG＝∠B，故∠B＝∠D；
（2）由∠ECF＝60°，∠DCE＝90°，得∠FCD＝∠DCE﹣∠ECF＝30°，即可得∠BCD＝∠FCD+∠BCF＝120°；
（3）分两种情况：当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上，可得∠BAF＝∠B＝60°；当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上，可得∠BAF＝120°．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCG，
∵AB∥DC，
∴∠DCG＝∠B，
∴∠B＝∠D；
（2）解：∵∠ECF＝60°，∠DCE＝90°，
∴∠FCD＝∠DCE﹣∠ECF＝30°，
又∵∠BCF＝90°，
∴∠BCD＝∠FCD+∠BCF＝30°+90°＝120°；
（3）解：当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上，如图：
∵∠ECF＝60°，∠DCE＝90°，
∴∠FCD＝∠DCE﹣∠ECF＝30°，
又∵∠BCF＝90°，
∴∠DCG＝60°，
∴∠B＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝60°；
当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上，如图：
∵∠B＝60°，AD∥BC，
∴∠B+∠BAF＝180°，
∴∠BAF＝180°﹣60°＝120°；
综上所述，∠BAF的度数为60°或120°．
【点评】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用．
25．（14分）在平面直角坐标系中，如果点p（a，b）满足a+1＞b且b+1＞a，则称点p为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”．
（1）判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称；p1（1，0），，．
（2）如果点N（2x+3，2）不是“自大点”，求出x的取值范围．
（3）如图，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下（y轴负方向）平移，设运动时间为t秒（t＞0），当正方形成为“自大忘形”时，求t的取值范围．
【分析】（1）利用“自大点”的定义解答即可；
（2）利用“自大点”的定义列出不等式组解答即可；
（3）用t表示出平移后的正方形的四个顶点的坐标，利用（2）中的方法求得平移后的正方形的三个顶点不是“自大点”时的t的范围即可得出结论．
【解答】解：（1）P2；理由：
∵点P（a，b）满足a+1＞b且b+1＞a，则称点P为“自大点”，
∴a，b满足﹣1＜b﹣a＜1，
∵P1（1，0），0﹣1＝﹣1，
∴P1（1，0）不是“自大点”；
∵，，
∴是“自大点”；
∵，，
∴不是“自大点”，
综上，三个点中点P2是“自大点”；
（2）如果点N（2x+3，2）是“自大点”，
∴，
解得：﹣1＜x＜0，
∴当x≤﹣1或x≥0时，点N（2x+3，2）不是“自大点”，
∴x的取值范围是x≤﹣1或x≥0；
（3）∵正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），
∴平移之后的坐标分别为（0，6﹣t），B（0，4﹣t），C（2，4﹣t），D（2，6﹣t），
当A点平移后的点是“自大点时”，﹣1＜6﹣t＜1，
解得：5＜t＜7，
故A点平移后的点不是“自大点时”，0＜t≤5或t≥7，
同理，当B点和D点平移后的点不是“自大点时”，0＜t≤3或t≥5，
同理，当C点平移后的点不是“自大点时”，0＜t≤1或t≥3，
∴当平移后的正方形边界及其内部的所有点都不是“自大点”时，0＜t≤1或者t≥7或t＝3或5．
∴当正方形成为“自大忘形”时，t的取值范围为：0＜t≤1或者t≥7或者t＝3或5．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，正方形的性质，本题是新定义型，准确理解并熟练应用新定义是解题的关键．
福建省龙岩市长汀县2021-2022学年七年级下学期期末质量检查 数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）在实数，，0，1中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．1
2．（4分）的值是（ ）
A．9 B．3 C．﹣3 D．±3
3．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）以下调查中，最适合用来全面调查的是（ ）
A．了解全班学生的身高情况
B．了解全国中学生的心理健康状况
C．调查汀江流域水质情况
D．调查春节联欢晚会收视率
5．（4分）点M（a，a+3）向右平移1个单位后与x轴上点N重合，则点N的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣3，0） D．（﹣4，0）
6．（4分）满足不等式3（x+2）＞2x的最小负整数是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣5
7．（4分）在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（2，1），经过点A的直线l∥x轴，C是直线l上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（2，0） C．（2，﹣1） D．（2，3）
8．（4分）已知x＝3﹣k，y＝k+2，则y与x的关系是（ ）
A．x+y＝1 B．x﹣y＝1 C．x+y＝5 D．x﹣y＝5
9．（4分）某种商品每件的进价为120元，商场按进价提高50%标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打_______折（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
10．（4分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．10 B．89 C．165 D．294
二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）
11．（4分）比较大小： 4．
12．（4分）已知点A（﹣1，b+2）在坐标轴上，则b＝ ．
13．（4分）是二元一次方程2x+ay＝3的一个解，则a的值为 ．
14．（4分）质检部门为了检测某品牌服装的质量，从同一批次共2000件产品中随机抽取50件进行检测，检测出次品1件，由此估计这一批产品中的次品件数是 件．
15．（4分）已知a，b都是有理数，观察表中的运算，则m＝ ．
a，b的运算
a+b
a﹣b
（a+2b）3
运算的结果
0
4
m
16．（4分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为点A2，点A2的友好点为点A3，点A3的友好点为点A4，……以此类推，当点A1的坐标为（2，1）时，点A2022的坐标为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）解方程组：．
18．（8分）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．
19．（8分）如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，完成下列问题：
（1）请写出三角形ABC各顶点的坐标；
（2）求出三角形ABC的面积；
（3）若把三角形ABC向上平移2个单位，在向右平移2个单位得到三角形A′B′C′，在图中画出平移以后的图形．
20．（8分）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连接BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．
（1）求证：∠DEF＝∠EBG；
（2）若∠EBG＝∠A，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．
21．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．
例如：点P（2，3）的一对“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）．
（1）点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是 与 ；
（2）若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为 ；
（3）若点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标．
22．（10分）2022年3月23日下午，中国空间站“天宫课堂”再度开课，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富演示了太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．某校学生全员观看了太空授课直播，为了了解学生心中“最受启发的实验”的情况，随机抽取了部分学生（每人只选择一个实验）进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
最受启发的实验
频数（人）
频率
A．“冰雪”实验
6
0.15
B．液桥演示实验
C．水油分离实验
D．太空抛物实验
0.35
根据以上信息，回答下列问题：
（1）被调查的学生中，认为最受启发的实验是A的学生人数为 人，认为最受启发的实验是C的学生人数占被调查学生总人数的百分比为 %；
（2）本次调查的样本容量为 ，样本中认为最受启发的实验是D的学生人数为 人；
（3）若该校共有1200名学生，请根据调查结果，估计认为最受启发的实验是B的学生人数．
23．（10分）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．现有以下两款：
已知购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元；
（1）请问冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？
（2）北京奥运官方特许零售店开始销售的第一天4个小时内全部售罄，于是从厂家紧急调配24000个商品，拟租用甲、乙两种车共6辆，一次性将商品送到指定地点，若每辆甲种车的租金为400元可装载4500个商品，每辆乙种车的租金为280元可装载3000个商品，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
24．（12分）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE＝90°，点E在线段AB上，∠FCG＝90°，点F在直线AD上，∠AHG＝90°．∠ECF＝60°．
（1）求证：∠B＝∠D．
（2）如图，当点F在线段AD上时，求∠BCD的度数；
（3）在点C运动过程中，点C（点C不与点B、H重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，请求出∠BAF的度数．
25．（14分）在平面直角坐标系中，如果点p（a，b）满足a+1＞b且b+1＞a，则称点p为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”．
（1）判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称；p1（1，0），，．
（2）如果点N（2x+3，2）不是“自大点”，求出x的取值范围．
（3）如图，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下（y轴负方向）平移，设运动时间为t秒（t＞0），当正方形成为“自大忘形”时，求t的取值范围．
福建省龙岩市长汀县2021-2022学年七年级下学期期末质量检查 数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）在实数，，0，1中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．1
【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
【解答】解：∵﹣﹣＜0＜1，
∴最大的数是1，
故选：D．
【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．（4分）的值是（ ）
A．9 B．3 C．﹣3 D．±3
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：＝3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用第二象限内点的符号特点进而得出答案．
【解答】解：点（﹣3，2）所在的象限在第二象限．
故选：B．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．
4．（4分）以下调查中，最适合用来全面调查的是（ ）
A．了解全班学生的身高情况
B．了解全国中学生的心理健康状况
C．调查汀江流域水质情况
D．调查春节联欢晚会收视率
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解全班学生的身高情况，适合全面调查，故本选项符合题意；
B、了解全国中学生的心理健康状况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C、调查汀江流域水质情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D、调查春节联欢晚会收视率，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．（4分）点M（a，a+3）向右平移1个单位后与x轴上点N重合，则点N的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣3，0） D．（﹣4，0）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点N的坐标．
【解答】解：点M（a，a+3）向右平移1个单位，得到点N的坐标是（a+1，a+3），
∴a+3＝0，
∴a＝﹣3，
∴a+1＝﹣3+1＝﹣2，
∴N（﹣2，0），
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6．（4分）满足不等式3（x+2）＞2x的最小负整数是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣5
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项得到其解集，继而得出答案．
【解答】解：去括号，得：3x+6＞2x，
移项，得：3x﹣2x＞﹣6，
合并同类项，得：x＞﹣6，
∴不等式的最小负整数为﹣5，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
7．（4分）在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（2，1），经过点A的直线l∥x轴，C是直线l上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（2，0） C．（2，﹣1） D．（2，3）
【分析】根据经过点A的直线l∥x轴，可知点C的纵坐标与点A的纵坐标相等，可设点C的坐标（x，3），根据点到直线垂线段最短，当BC⊥a时，点C的横坐标与点B的横坐标相等，即可得出答案．
【解答】解：如图所示，
∵a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，点A（0，3），
∴设点C（x，3），
∵当BC⊥直线l时，BC的长度最短，点B（2，1），
∴x＝2，
∴点C的坐标为（2，3）．
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确垂线段最短．
8．（4分）已知x＝3﹣k，y＝k+2，则y与x的关系是（ ）
A．x+y＝1 B．x﹣y＝1 C．x+y＝5 D．x﹣y＝5
【分析】已知两等式消去k即可得到y与x的关系式．
【解答】解：联立得：，
①+②得：x+y＝5．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程，利用了消元的思想，消去k是解本题的关键．
9．（4分）某种商品每件的进价为120元，商场按进价提高50%标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打_______折（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【分析】根据利润率不低于5%和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：设打x折，
由题意可得：120（1+50%）×﹣120≥120×5%，
解得x≥7，
即至多打7折，
故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等关系，列出相应的不等式．
10．（4分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．10 B．89 C．165 D．294
【分析】根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为50，右边第2位的计数单位为51，右边第3位的计数单位为52，右边第4位的计数单位为53……依此类推，可求出结果．
【解答】解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，
故选：D．
【点评】本题考查用数字表示事件，理解“逢五进一”的计数规则是正确计算的前提．
二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）
11．（4分）比较大小： ＜ 4．
【分析】先把4写成，再进行比较即可．
【解答】解：∵4＝，＜，
∴＜4；
故答案为：4．
【点评】此题考查了实数的大小比较，把4写成是本题的关键，是一道基础题．
12．（4分）已知点A（﹣1，b+2）在坐标轴上，则b＝ ﹣2 ．
【分析】根据点在坐标轴上的坐标特点解答即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，b+2）在坐标轴上，横坐标是﹣1，
∴一定不在y轴上，当点在x轴上时，纵坐标是0，即b+2＝0，
解得：b＝﹣2．故填﹣2．
【点评】本题主要考查了坐标轴上的点的坐标的特点，即点在x上时，纵坐标为0；在y轴上时，横坐标等于0．
13．（4分）是二元一次方程2x+ay＝3的一个解，则a的值为 ．
【分析】首先把代入二元一次方程2x+ay＝3，然后根据解一元一次方程的方法，求出a的值即可．
【解答】解：∵是二元一次方程2x+ay＝3的一个解，
∴2+3a＝3，
解得：a＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
14．（4分）质检部门为了检测某品牌服装的质量，从同一批次共2000件产品中随机抽取50件进行检测，检测出次品1件，由此估计这一批产品中的次品件数是 40 件．
【分析】先求出次品所占的百分比，再根据共2000件产品，直接相乘得出答案即可．
【解答】解：∵随机抽取50件进行检测，检测出次品1件，
∴次品所占的百分比是：，
∴这一批产品中的次品件数是：2000×＝40（件），
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键．
15．（4分）已知a，b都是有理数，观察表中的运算，则m＝ ﹣8 ．
a，b的运算
a+b
a﹣b
（a+2b）3
运算的结果
0
4
m
【分析】根据表格得出方程组，求出a、b的值，再求出（a+2b）3即可．
【解答】解：由表可知：，
①+②，得2a＝4，
解得：a＝2，
把a＝2代入①，得2+b＝0，
解得：b＝﹣2，
所以m＝（a+2b）3
＝[2+2×（﹣2）]3
＝（2﹣4）3
＝（﹣2）3
＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和求代数式的值，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
16．（4分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为点A2，点A2的友好点为点A3，点A3的友好点为点A4，……以此类推，当点A1的坐标为（2，1）时，点A2022的坐标为 （0，﹣3） ．
【分析】根据友好点的定义及点A1的坐标为（2，1），顺次写出几个友好点的坐标，可发现循环规律，据此可解．
【解答】解：观察，发现规律：A1（2，1），A2（0，﹣3），A3（﹣4，﹣1），A4（﹣2，3），A5（2，1），…，
∴A4n+1（2，1），A4n+2（0，﹣3），A4n+3（﹣4，﹣1），A4n+4（﹣2，3）（n为自然数）．
∵2022＝505×4+2，
∴点A2022的坐标为（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）．
【点评】本题考查了规律型的点的坐标，从已知条件得出循环规律：每4个点为一个循环是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）解方程组：．
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
由②得：x＝5﹣2y③，
把③代入①得：3（5﹣2y）﹣y＝8，
解得：y＝1，
把y＝1代入③得：x＝5﹣2＝3，
则原方程组的解是．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．（8分）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣3，
∴原不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
19．（8分）如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，完成下列问题：
（1）请写出三角形ABC各顶点的坐标；
（2）求出三角形ABC的面积；
（3）若把三角形ABC向上平移2个单位，在向右平移2个单位得到三角形A′B′C′，在图中画出平移以后的图形．
【分析】（1）利用点的坐标表示方法求解；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形ABC的面积；
（3）利用点平移的坐标变换规律得到点A′、B′、C′的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）A（﹣1，﹣1），B（4，2），C（1，3）；
（2）△ABC的面积＝5×4﹣×3×1﹣×5×3﹣×4×2＝7；
（3）如图，△A′B′C′为所求．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
20．（8分）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连接BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．
（1）求证：∠DEF＝∠EBG；
（2）若∠EBG＝∠A，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据互相垂直的意义，以及同角或等角的余角或补角相等，得出结论；
（2）根据角平分线、以及同角或等角的余角或补角相等，得出∠A＝∠AEF，利用内错角相等两直线平行，得出结论．
【解答】证明：（1）∵EB⊥EF，
∴∠FEB＝90°，
又∵∠DEF+∠BEG＝180°﹣90°＝90°，∠EBG+∠BEG＝90°，
∴∠DEF＝∠EBG，
（2）AB∥EF，理由如下：
∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF＝∠AED，
∵∠EBG＝∠A，∠DEF＝∠EBG，
∴∠A＝∠DEF，
又∵∠DEF＝∠AEF
∴∠A＝∠AEF，
∴AB∥EF．
【点评】本题考查角平分线、互相垂直的意义，同角（等角）的余角（补角）相等，以及平行线的性质和判定，等量代换在证明过程中起到非常重要的作用．
21．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．
例如：点P（2，3）的一对“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）．
（1）点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是 （1，3） 与 （3，1） ；
（2）若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为 ﹣4 ；
（3）若点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标．
【分析】（1）根据新定义求出a，b，即可得出结论；
（2）根据新定义，求出点A的一对“相伴点”，进而得出结论；
（3）设出点B的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵Q（4，﹣1），
∴a＝4+（﹣1）＝3，b﹣（﹣1）＝1，
∴点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是（1，3）与（3，1），
故答案为：（1，3），（3，1）；
（2）∵点A（8，y），
∴a＝8+y，b＝﹣y，
∴点A（8，y）的一对“相伴点”的坐标是（8+y，﹣y）和（﹣y，8+y），
∵点A（8，y）的一对“相伴点”重合，
∴8+y＝﹣y，
∴y＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（3）设点B（x，y），
∵点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），
∴或，
∴或，
∴B（6，﹣7）或（6，1）．
【点评】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．
22．（10分）2022年3月23日下午，中国空间站“天宫课堂”再度开课，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富演示了太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．某校学生全员观看了太空授课直播，为了了解学生心中“最受启发的实验”的情况，随机抽取了部分学生（每人只选择一个实验）进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
最受启发的实验
频数（人）
频率
A．“冰雪”实验
6
0.15
B．液桥演示实验
C．水油分离实验
D．太空抛物实验
0.35
根据以上信息，回答下列问题：
（1）被调查的学生中，认为最受启发的实验是A的学生人数为 6 人，认为最受启发的实验是C的学生人数占被调查学生总人数的百分比为 30 %；
（2）本次调查的样本容量为 40 ，样本中认为最受启发的实验是D的学生人数为 14 人；
（3）若该校共有1200名学生，请根据调查结果，估计认为最受启发的实验是B的学生人数．
【分析】（1）由频数分布表可得认为最受启发的实验是A的学生人数，由扇形图可得认为最受启发的实验是C的学生人数占被调查学生总人数的百分比；
（2）由A组的学生人数及其频率可得本次调查的样本容量，用总人数乘频率可得样本中认为最受启发的实验是D的学生人数；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：由题意可知，被调查的学生中，认为最受启发的实验是A的学生人数为6人，认为最受启发的实验是C的学生人数占被调查学生总人数的百分比为30%，
故答案为：6；30；
（2）本次调查的样本容量为：6÷0.15＝40；
样本中认为最受启发的实验是D的学生人数为：40×0.35＝14（人），
故答案为：40；14；
（3）样本中认为最受启发的实验是B的学生人数为：40﹣6﹣14﹣40×30%＝8（人），
1200×＝240（人），
答：估计该校认为最受启发的实验是B的学生人数为240人．
【点评】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图表中得到必要的信息，求出本次调查的样本容量是解决问题的关键．
23．（10分）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．现有以下两款：
已知购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元；
（1）请问冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？
（2）北京奥运官方特许零售店开始销售的第一天4个小时内全部售罄，于是从厂家紧急调配24000个商品，拟租用甲、乙两种车共6辆，一次性将商品送到指定地点，若每辆甲种车的租金为400元可装载4500个商品，每辆乙种车的租金为280元可装载3000个商品，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【分析】（1）设1个冰墩墩的售价为x元，1个雪容融的售价为y元，根据“购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元”，列出方程组求解即可；
（2）设租用甲种车x辆，则租用乙种车（6﹣a）辆，总租金为w元，根据题意求出w与a的关系式，并根据题意求出a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设1个冰墩墩的售价为x元，1个雪容融的售价为y元，根据题意，得：
，
解得，
答：1个冰墩墩的售价为120元，1个雪容融的售价为100元；
（2）设租用甲种车a辆，则租用乙种车（6﹣a）辆，总租金为w元，根据题意，得：
w＝400a+280（6﹣a）＝120a+1680，
由题意，得4500a+3000（6﹣a）≥24000，
解得a≥4，
∵120＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝4时，w有最小值为2160，
此时6﹣a＝2，
即当租用甲种车4辆，租用乙种车2辆，总租金最低，最低费用为2160元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
24．（12分）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE＝90°，点E在线段AB上，∠FCG＝90°，点F在直线AD上，∠AHG＝90°．∠ECF＝60°．
（1）求证：∠B＝∠D．
（2）如图，当点F在线段AD上时，求∠BCD的度数；
（3）在点C运动过程中，点C（点C不与点B、H重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，请求出∠BAF的度数．
【分析】（1）由AD∥BC，得∠D＝∠DCG，由AB∥DC，得∠DCG＝∠B，故∠B＝∠D；
（2）由∠ECF＝60°，∠DCE＝90°，得∠FCD＝∠DCE﹣∠ECF＝30°，即可得∠BCD＝∠FCD+∠BCF＝120°；
（3）分两种情况：当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上，可得∠BAF＝∠B＝60°；当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上，可得∠BAF＝120°．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCG，
∵AB∥DC，
∴∠DCG＝∠B，
∴∠B＝∠D；
（2）解：∵∠ECF＝60°，∠DCE＝90°，
∴∠FCD＝∠DCE﹣∠ECF＝30°，
又∵∠BCF＝90°，
∴∠BCD＝∠FCD+∠BCF＝30°+90°＝120°；
（3）解：当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上，如图：
∵∠ECF＝60°，∠DCE＝90°，
∴∠FCD＝∠DCE﹣∠ECF＝30°，
又∵∠BCF＝90°，
∴∠DCG＝60°，
∴∠B＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝60°；
当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上，如图：
∵∠B＝60°，AD∥BC，
∴∠B+∠BAF＝180°，
∴∠BAF＝180°﹣60°＝120°；
综上所述，∠BAF的度数为60°或120°．
【点评】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用．
25．（14分）在平面直角坐标系中，如果点p（a，b）满足a+1＞b且b+1＞a，则称点p为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”．
（1）判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称；p1（1，0），，．
（2）如果点N（2x+3，2）不是“自大点”，求出x的取值范围．
（3）如图，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下（y轴负方向）平移，设运动时间为t秒（t＞0），当正方形成为“自大忘形”时，求t的取值范围．
【分析】（1）利用“自大点”的定义解答即可；
（2）利用“自大点”的定义列出不等式组解答即可；
（3）用t表示出平移后的正方形的四个顶点的坐标，利用（2）中的方法求得平移后的正方形的三个顶点不是“自大点”时的t的范围即可得出结论．
【解答】解：（1）P2；理由：
∵点P（a，b）满足a+1＞b且b+1＞a，则称点P为“自大点”，
∴a，b满足﹣1＜b﹣a＜1，
∵P1（1，0），0﹣1＝﹣1，
∴P1（1，0）不是“自大点”；
∵，，
∴是“自大点”；
∵，，
∴不是“自大点”，
综上，三个点中点P2是“自大点”；
（2）如果点N（2x+3，2）是“自大点”，
∴，
解得：﹣1＜x＜0，
∴当x≤﹣1或x≥0时，点N（2x+3，2）不是“自大点”，
∴x的取值范围是x≤﹣1或x≥0；
（3）∵正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），
∴平移之后的坐标分别为（0，6﹣t），B（0，4﹣t），C（2，4﹣t），D（2，6﹣t），
当A点平移后的点是“自大点时”，﹣1＜6﹣t＜1，
解得：5＜t＜7，
故A点平移后的点不是“自大点时”，0＜t≤5或t≥7，
同理，当B点和D点平移后的点不是“自大点时”，0＜t≤3或t≥5，
同理，当C点平移后的点不是“自大点时”，0＜t≤1或t≥3，
∴当平移后的正方形边界及其内部的所有点都不是“自大点”时，0＜t≤1或者t≥7或t＝3或5．
∴当正方形成为“自大忘形”时，t的取值范围为：0＜t≤1或者t≥7或者t＝3或5．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，正方形的性质，本题是新定义型，准确理解并熟练应用新定义是解题的关键．
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