2023年高考数学一轮复习高考解答题专项三数列含解析北师大版文

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高考解答题专项三　数列1.(2021山东滨州一模)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=2,b2=4,an=2log2bn.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn},记数列{cn}的前n项和为Sn,求S100.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,因为b2=4,所以a2=2log2b2=4,所以d=a2-a1=2.所以an=2+(n-1)×2=2n.又an=2log2bn,即2n=2log2bn,所以n=log2bn,所以bn=2n.(2)由(1)得bn=2n=2×2n-1=,即bn是数列{an}中的第2n-1项.设数列{an}的前n项和为Pn,数列{bn}的前n项和为Qn,因为b7==a64,b8==a128,所以数列{cn}的前100项是由数列{an}的前107项去掉数列{bn}的前7项后构成的,所以S100=P107-Q7==11302.2.(2021广东汕头三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列是首项为,公差为的等差数列,若[x]表示不超过x的最大整数,如[0.5]=0,[lg 499]=2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=[lg an],求数列{bn}的前2 021项的和.解:(1)数列是首项为,公差为的等差数列,所以+(n-1)×,得Sn=,当n=1时,a1=S1=,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,又a1=也适合上式,所以an=.(2)由(1)得bn=[lgan]=lg,当n=1时,-1<lga1<0;当n=2,3,4,…,19时,0≤lgan<1;当n=20,21,22,…,199时,1≤lgan<2;当n=200,201,202,…,1999时,2≤lgan<3;当n=2000,2001,…,2021时,3≤lgan<4.故数列{bn}的前2021项和为[lga1]+[lga2]+[lga3]+…+[lga2021]=-1+0×18+1×180+2×1800+3×22=3845.3.(2021四川成都七中高三月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=3,且S5=4a3+5.(1)求{an}的通项公式;(2)若+…+对n∈N*都成立,求实数m的取值范围.解:(1)(方法1)设数列{an}的公差为d,则解得故{an}的通项公式为an=2n-1.(方法2)S5==5a3,又S5=4a3+5,则a3=5.∴公差为a3-a2=2,故{an}的通项公式为an=a2+(n-2)×2=2n-1.(2)由(1)得,∴1-++…+=1-<,由题设不等式恒成立,有,解得1<m≤3,∴所求实数m的取值范围是(1,3].4.(2021湖南郴州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列是以1为公差的等差数列.(1)求数列的前n项和Tn;(2)设等比数列{cn}的首项为2,公比为q(q>0),其前n项和为Pn,若存在正整数m,使得是Sm与P3的等比中项,求q的值.解:(1)由题设可得+n-1=n,即Sn=n2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,又a1=1也适合上式,∴an=2n-1,∴,∴Tn=1-+…+=1-=.(2)由(1)可知Sn=n2,由S3=Sm·P3得9=m2(2+2q+2q2),∴=2+2q+2q2,∵q>0,∴>2,又m∈N+,∴m=1或2,当m=1时,2q2+2q+2=9,解得q=(舍负);当m=2时,2q2+2q+2=,解得q=(舍负).∴q=.5.Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q>0.(1)求an及Sn.(2)是否存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意可得解得所以an=3n-1,Sn=.(2)假设存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列,因为S1+λ=λ+1,S2+λ=λ+4,S3+λ=λ+13,所以(λ+4)2=(λ+1)(λ+13),解得λ=,此时Sn+×3n,则=3,故存在常数λ=,使得数列是等比数列.6.(2021浙江杭州二中高三月考)已知等比数列{an}的公比为λ(λ>1),a1=1,数列{bn}满足bn+1-bn=an+1-λ,b1=.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)规定:[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.2]=-2,[2.1]=2.若λ=2,cn=,记Tn=c1+c2+c3+…+cn(n≥2),求的值,并指出相应n的取值范围.解:(1)由题意得an=λn-1(λ>1),则bn+1-bn=λn-λ(λ>1),当n≥2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=(λn-1-λ)+(λn-2-λ)+…+(λ1-λ)+=(λn-1+λn-2+…+λ1)-(n-1)λ+-nλ+λ-1,又b1=符合上式,因此bn=-nλ+λ-1.(2)由(1)知,当λ=2时,bn=2n-2n+1,则cn=>0.当n=2时,T2=c1+c2=,此时==3;当n=3时,T3=c1+c2+c3=,此时=+2=2.当n≥3时,Tn≥T3,因为cn=(n≥2),所以Tn<1+33+4+…+n+1=1+3×=1+1-n-1<,因此T3≤Tn<,即Tn∈,令x=Tn-1,则x∈,=Tn-1+=x+,利用对勾函数的单调性,得x+∈,A其中A=+2,从而=2.综上,当n=2时,=3;当n≥3时,=2.