2023年高考数学一轮复习单元质检卷十一概率含解析北师大版文

这是一份2023年高考数学一轮复习单元质检卷十一概率含解析北师大版文，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

单元质检卷十一　概率
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.在区间[-1,4]内取一个数x,则2x-x2≥14的概率是(　　)
A.12 B.13 C.25 D.35
答案:D
解析:因为2x-x2≥14,所以x2-x-2≤0,解得x∈[-1,2],所以所求概率P=2-(-1)4-(-1)=35.故选D.
2.(2021河北邯郸二模)某商场有三层楼,最初规划一层为生活用品区,二层为服装区,三层为餐饮区,招商工作结束后,共有100家商家入驻,各楼层的商铺种类如表所示,若从所有商铺中随机抽取一家,该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为(　　)
商铺类型
生活用品店
服装店
餐饮店
一层
25
7
3
二层
4
27
4
三层
6
1
23
A.0.75 B.0.6
C.0.4 D.0.25
答案:D
解析:100家商铺中与最初规划一致的有25+27+23=75家,故不一致的有100-75=25家,
所以从所有商铺中随机抽取一家,该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为25100=0.25.
3.(2021黑龙江齐齐哈尔一模)《周髀算经》中提出了“方属地,圆属天”,就是人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想.现将铜钱抽象成如图所示的图形,其中圆的半径为r,正方形的边长为a(0
A.1-a2πr2 B.a2πr2
C.ar D.1-ar
答案:A
解析:圆形钱币的半径为r,面积为S圆=πr2.正方形边长为a,面积为S正方形=a2,在圆形内随机取一点,此点取自阴影部分的概率是P=S圆-S正方形S圆=πr2-a2πr2=1-a2πr2.
4.(2021山西太原二模)从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数,分别记为m,n,则mn为整数的概率为(　　)
A.25 B.14 C.15 D.425
答案:B
解析:从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数组成的(m,n)的所有情况为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),共20种,mn为整数包含的基本事件(m,n)有5个,分别为(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(4,2),共5个,则mn为整数的概率为P=520=14.
5.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏,两人都随机出拳,则一次游戏两人平局的概率为(　　)
A.13 B.23 C.14 D.29
答案:A
解析:甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏,所有可能出现的结果列表如下:
乙
甲
锤
剪子
包袱
锤
(锤,锤)
(锤,剪子)
(锤,包袱)
剪子
(剪子,锤)
(剪子,剪子)
(剪子,包袱)
包袱
(包袱,锤)
(包袱,剪子)
(包袱,包袱)
由表格可知,共有9种等可能情况.其中平局的有3种:(锤,锤),(剪子,剪子),(包袱,包袱).设A为“甲和乙平局”,则P(A)=39=13,故选A.
6.(2021安徽淮北一模)在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球,分别标有数字1,2,3,4.现每次有放回地从中任意取出一个小球,直到标有偶数的球都取到过就停止.小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率,利用计算机软件产生随机数,每1组中有4个数字,分别表示每次摸球的结果,经随机模拟产生了以下21组随机数,由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为(　　)
1314　1234　2333　1224　3322　1413　3124
4321　2341　2413　1224　2143　4312　2412
1413　4331　2234　4422　3241　4331　4234
A.27 B.13 C.821 D.521
答案:A
解析:在21组随机数中,代表“恰好在第4次停止摸球”的随机数是1234,1224,3124,1224,4312,2234,共6组,所以恰好在第4次停止摸球的概率P=621=27.故选A.
7.刘徽是魏晋期间伟大的数学家,他是中国古典数学理论的奠基者之一.他全面证明了《九章算术》中的方法和公式,指出并纠正了其中的错误,更是擅长用代数方法解决几何问题.如图在圆的直径CD上任取一点E,过点E的弦AB和CD垂直,则AB的长不超过半径的概率是(　　)

A.1-32 B.13 C.14 D.1-34
答案:A
解析:设圆的半径为1,则有|AB|=212-|OE|2≤1,解得|OE|≥32,又点E在直径CD上,所以所求的概率为2|CE||CD|=2×(1-32)2=1-32.
8.(2021广东惠州高三调研)不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球,其中2个白球、3个黄球,现从箱子中随机摸出2个球,则这2个球颜色不同的概率为(　　)
A.310 B.25 C.35 D.710
答案:C
解析:将2个白球分别记为白球1,白球2,将3个黄球分别记为黄球1,黄球2,黄球3.从该箱子中随机摸出2个球,所有情况是(白球1,白球2),(白球1,黄球1),(白球1,黄球2),(白球1,黄球3),(白球2,黄球1),(白球2,黄球2),(白球2,黄球3),(黄球1,黄球2),(黄球1,黄球3),(黄球2,黄球3),共10种,摸出的这2个球颜色不同的情况有(白球1,黄球1),(白球1,黄球2),(白球1,黄球3),(白球2,黄球1),(白球2,黄球2),(白球2,黄球3),共6种,故所求概率为610=35,故选C.
9.(2021甘肃一模)圆x2+y2=4上任意一点M到直线3x+4y-15=0的距离大于2的概率为(　　)
A.16 B.13 C.23 D.56
答案:C
解析:圆x2+y2=4的圆心O(0,0)到直线3x+4y-15=0的距离为d=|OC|=|0+0-15|9+16=3,
如图所示,AB上的点到直线3x+4y-15=0的距离小于或等于2,

所以OD=3-2=1,OA=2,所以∠AOD=π3,∠AOB=2π3,
所以圆上任意一点M到直线3x+4y-15=0的距离大于2的概率为P=1-2π3×22π×2=23.故选C.
10.(2021全国甲,文10)将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(　　)
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8
答案:C
解析:将3个1和2个0随机排成一行,共有11100,00111,01110,11010,11001,10110,10011,10101,01101,01011,10种排法,2个0不相邻的排法共有01110,11010,10110,10101,01101,01011,6种排法,故所求的概率为610=0.6,故选C.
11.(2021吉林高三月考)若数列{an}满足a1=1,a2=1,an+2=an+an+1,则称数列{an}为斐波那契数列.斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线,自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案.作图规则是在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为π2的扇形,连起来的弧线就是斐波那契螺旋线,如图所示的5个正方形的边长分别为a1,a2,…,a5,在长方形ABCD内任取一点,则该点不在任何一个扇形内的概率为(　　)

A.1-103π156 B.1-π4
C.1-7π16 D.1-39π160
答案:D
解析:由题意可得,数列{an}的前5项依次为1,1,2,3,5,
∴长方形ABCD的面积为5×8=40.4个扇形的面积之和为π4×(12+22+32+52)=39π4.
∴所求概率P=1-39π160.故选D.
12.我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2021年全国高中数学联赛(初赛),他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的中位数是81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实数a,b满足a,G,b成等差数列,且x,G,y成等比数列,则1a+4b的最小值为(　　)

A.49 B.2 C.94 D.9
答案:C
解析:甲班学生成绩的中位数是80+x=81,得x=1.
由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+(0+2+y+1+3+6)=598+y,
乙班学生的平均分是86,则总分为86×7=602,所以y=4.
若正实数a,b满足a,G,b成等差数列,且x,G,y成等比数列,则xy=G2,2G=a+b,
即有a+b=4,a>0,b>0,
则1a+4b=14(a+b)1a+4b=141+4+ba+4ab≥145+2ba·4ab=14×9=94,当且仅当b=2a=83时,等号成立,即1a+4b的最小值为94.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2021河南焦作三模)某中学为了加强艺术教育,促进学生全面发展,要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课,某班有50名学生,选择音乐的有21人,选择美术的有39人,从全班学生中随机抽取一人,那么这个人两种兴趣班都选择的概率是　　　　.
答案:15
解析:由题意,两种兴趣班都选择的学生人数为21+39-50=10,从全班学生中随机抽取一人,这个人两种兴趣班都选择的概率是P=1050=15.
14.在区间[-2,2]上随机抽取一个数x,则事件“-1≤ln(x+1)≤1”发生的概率为　　　. 
答案:e2-14e
解析:由不等式-1≤ln(x+1)≤1,得1e-1≤x≤e-1,
所以事件“-1≤ln(x+1)≤1”发生的概率为(e-1)-(1e-1)4=e2-14e.
15.从标有数字1,2,3的三个红球和标有数字2,3的两个白球中任取两个球,则取得两球的数字和颜色都不相同的概率为　　　　. 
答案:25
解析:从这五个球中任取两个球的基本事件有(红1,红2),(红1,红3),(红1,白2),(红1,白3),(红2,红3),(红2,白2),(红2,白3),(红3,白2),(红3,白3),(白2,白3),共10个基本事件,其中两球的数字和颜色都不相同的基本事件有(红1,白2),(红1,白3),(红2,白3),(红3,白2),共4个基本事件,所以取得两球的数字和颜色都不相同的概率为P=410=25.
16.在满足不等式组x-y+1≥0,x+y-3≤0,y≥0的点集中随机取一点M(x0,y0),设事件A为“y0<2x0”,那么事件A发生的概率是　　　　. 
答案:34
解析:如图所示,不等式组x-y+1≥0,x+y-3≤0,y≥0表示的平面区域为△ABC且A(1,2),B(-1,0),C(3,0),

显然直线l:y=2x过点A且与x轴交于点O,
∴所求概率P=S△AOCS△ABC=|OC||BC|=34.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)2019年,河北等8省公布了高考改革综合方案,将采取“3+1+2”模式,即语文、数学、英语必考,然后考生先在物理、历史中选择1门,再在思想政治、地理、化学、生物学中选择2门.为了更好进行规划,甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析,其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.

(1)若甲同学随机选择3门功课,求他选到物理、地理两门功课的概率;
(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科?并说明理由.
解:(1)记物理、历史分别为A1,A2,思想政治、地理、化学、生物学分别为B1,B2,B3,B4,
由题意可知考生选择的情形有{A1,B1,B2},{A1,B1,B3},{A1,B1,B4},{A1,B2,B3},{A1,B2,B4},{A1,B3,B4},{A2,B1,B2},{A2,B1,B3},{A2,B1,B4},{A2,B2,B3},{A2,B2,B4},{A2,B3,B4},共12种.
他选到物理、地理两门功课的情形有{A1,B1,B2},{A1,B2,B3},{A1,B2,B4},共3种.
所以甲同学选到物理、地理两门功课的概率为312=14.
(2)物理成绩的平均分为x物理=76+82+82+85+87+90+937=85(分),
历史成绩的平均分为x历史=69+76+80+82+94+96+987=85(分),
由茎叶图可知物理成绩的方差s物理2小于历史成绩的方差s历史2.
故从平均分来看,选择物理、历史学科均可以;
从成绩的稳定性来看,应选择物理学科;
从最高分的情况来看,应选择历史学科.
18.(12分)(2021广西南宁一模)在某地区的教育成果展示会上,其下辖的一个教育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位:个)有如下统计表:
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
6
学生人
数y/个
66
67
70
71
72
74
(1)根据表中数据,建立y关于x的线性回归方程;
(2)根据线性回归方程预测2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数).
附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a=y-bx.
参考数据:∑i=16(xi-x)(yi-y)=28.
解:(1)x=1+2+3+4+5+66=3.5,
y=66+67+70+71+72+746=70,
∑i=16(xi-x)2=17.5,∑i=16(xi-x)(yi-y)=28,
则b=2817.5=1.6,a=y-bx=70-1.6×3.5=64.4,
故y关于x的线性回归方程为y=1.6x+64.4.
(2)由(1)可得,当年份为2021时,年份代码x=7,
此时y=1.6×7+64.4=75.6,保留整数为76.
所以预测2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为76.
19.(12分)(2021湖北武汉一模)有关研究表明,正确佩戴安全头盔,规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低,对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月,“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展.行动期间,公安交管部门将加强执法管理,依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔,汽车驾乘人员不使用安全带的行为,助推养成安全习惯.该行动开展一段时间后,某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查,在随机调查的1 000名骑行人员中,记录其年龄和是否佩戴头盔情况,得到如图的统计图表:


(1)估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
(2)根据所给的数据,完成下面的列联表:
年龄
佩戴头盔
没有佩戴头盔
[20,40)


[40,70]


(3)根据(2)中的列联表,判断是否有95%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关?
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
P(χ2>k)
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
解:(1)该市电动自行车骑乘人员的平均年龄为25×0.25+35×0.35+45×0.2+55×0.15+65×0.05=39.
(2)2×2列联表如下:
年龄
佩戴头盔
没有佩戴头盔
[20,40)
540
60
[40,70]
340
60
(3)χ2=1000×(60×540-60×340)2600×400×880×120=12522≈5.682>3.841,
所以有95%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关.
20.(12分)(2021河南新乡三模)青少年近视问题已经成为影响青少年健康的一个重要问题.某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响,随机抽取了200名青少年,调查他们每天使用电子产品的时间(单位:分钟),根据调查数据按(0,30],(30,60],(60,90],(90,120],(120,150],[150,180]分成6组,得到频数分布表如下:
时间/分钟
(0,
30]
(30,
60]
(60,
90]
(90,
120]
(120,
150]
[150,
180]
频数
12
38
72
46
22
10
(1)根据上表数据,求该地青少年每天使用电子产品时间的中位数;
(2)若每天使用电子产品的时间超过60分钟,就叫长时间使用电子产品.完成下面的2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为是否患近视与每天长时间使用电子产品有关.
是否长时间
使用电子产品
否
是
合计
患近视人数

100

未患近视人数


80
合计


200
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
P(χ2>k)
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
解:(1)因为12+38=50<100,12+38+72=122>100,
所以该地青少年每天使用电子产品时间的中位数在(60,90]内.设该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为x,则x-6090-60×72200+12+38200=0.5,
解得x=4856,即该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为4856.
(2)由题意可得如下的2×2列联表
是否长时间使用电子产品
否
是
合计
患近视人数
20
100
120
未患近视人数
30
50
80
合计
50
150
200
因为χ2=200×(20×50-100×30)2120×80×50×150=1009≈11.111>6.635,
所以有99%的把握认为是否患近视与每天长时间使用电子产品有关.
21.(12分)近期某市组织高一年级全体学生参加了某项技能操作比赛,等级分为1至10分,有关部门随机调阅了A,B两所学校各60名学生的成绩,得到样本数据如下:
A校样本数据条形图

B校样本数据统计表
成绩/分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数/个
0
0
0
9
12
21
9
6
3
0
(1)计算两所学校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较并评价;
(2)从A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样的方法抽取6人,从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,求这2人成绩之和不小于15分的概率.
解:(1)由A校样本数据的条形图可知:成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有:6人、15人、21人、12人、3人、3人.
A校样本的平均成绩为xA=4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×360=6(分),
A校样本的方差为sA2=6×4+15×1+12×1+3×4+3×960=1.5.
由B校样本数据统计表可知:
B校样本的平均成绩为xB=4×9+5×12+6×21+7×9+8×6+9×360=6(分),
B校样本的方差为sB2=9×4+12×1+9×1+6×4+3×960=1.8.
因为xA=xB,所以两校学生的成绩平均分相同.
又因为sA2 (2)依题意,A校成绩为7分的学生应抽取的人数为612+3+3×12=4,设为a,b,c,d;
成绩为8分的学生应抽取的人数为612+3+3×3=1,设为e;
成绩为9分的学生应抽取的人数为612+3+3×3=1,设为f.
所以所有基本事件有:ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15个,
其中满足条件的基本事件有:ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef,共9个,
所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,这2人成绩之和不小于15分的概率为915=35.
22.(12分)某市房管局为了了解该市市民2020年1月至2021年1月期间购买二手房情况,首先随机抽取其中200名购房者,并对其购房面积m(单位:平方米,60≤m≤130)进行了一次调查统计,制成了如图1所示的频率分布直方图,接着调查了该市2020年1月至2021年1月期间当月在售二手房均价y(单位:万元/平方米),制成了如图2所示的散点图(图中月份代码1—13分别对应2020年1月至2021年1月).

图1

图2
(1)试估计该市市民的平均购房面积m(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)现采用分层抽样的方法从购房面积位于[110,130]的40位市民中随机取4人,再从这4人中随机抽取2人,求这2人的购房面积恰好有一人在[120,130]的概率;
(3)根据散点图选择y=a+bx和y=c+dln x两个模型进行拟合,经过数据处理得到两个回归方程,分别为y=0.936 9+0.028 5x和y=0.955 4+0.030 6ln x,并得到一些统计量的值,如表所示:
统计量
y=0.9369+0.0285x
y=0.9554+0.0306lnx
∑i=113(yi-y)2
0.000 591
0.000 164
∑i=113(yi-y)2
0.006 050
请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好,并用拟合效果更好的模型预测2021年6月份的二手房购房均价(精确到0.001).
参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10,ln 17≈2.83,ln 19≈2.94,2≈1.41,3≈1.73,17≈4.12,19≈4.36.
参考公式:相关指数R2=1-∑i=1n(yi-y)2∑i=1n(yi-y)2.
解:(1)m=65×0.05+75×0.1+85×0.2+95×0.25+105×0.2+115×0.15+125×0.05=96.
(2)设从位于[110,120)的市民中抽取x人,从位于[120,130]的市民中抽取y人,由分层抽样可知440=x30=y10,解得x=3,y=1,
在抽取的4人中,记3名位于[110,120)的市民为A1,A2,A3,1名位于[120,130]的市民为B,
从这4人中随机抽取2人,共有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B),(A2,A3),(A2,B),(A3,B),故基本事件总数n=6,
其中恰有一个在[120,130]的情况共有3种,设C表示事件“这2人的购房面积恰好有一人在[120,130]”,则P(C)=36=12.
(3)设模型y=0.9369+0.0285x和y=0.9554+0.0306lnx的相关指数分别为R12,R22,则R12=1-0.0005910.00605,R22=1-0.0001640.00605,∴R12 ∴模型y=0.9554+0.0306lnx的拟合效果更好.
2021年6月份对应的x=18.
∴y=0.9554+0.0306ln18=0.9554+0.0306(ln2+2ln3)≈1.044(万元/平方米).