2022年上海市中考数学试卷（回忆版）（含解析）

2022年上海市中考数学试卷（回忆版）

一、选择题（本大题共6小题，共24分）

1. 的相反数为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 已知反比例函数，且在各自象限内，随的增大而增大，则下列点可能经过这个函数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

5. 下列说法正确的是(    )

A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题

6. 有一个正边形旋转后与自身重合，则为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共48分）

7. 计算：______．
8. 已知，则______．
9. 解方程组：的结果为______．
10. 已知有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
11. 甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为______．
12. 某公司月份的营业额为万，月份的营业额为万，已知、月的增长率相同，则增长率为______．
13. 为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图如图所示每组数据含最小值，不含最大值小时人，小时人，小时人，小时人，小时人，若共有名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于小时的人数是______．

14. 已知直线过第一象限且函数值随着的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：______．
15. 如图所示，在▱中，，交于点，，，则______．

16. 如图所示，小区内有个圆形花坛，点在弦上，，，，则这个花坛的面积为______结果保留

17. 如图，在中，，，为中点，在线段上，，则______．

18. 定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______．

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19. 计算：．
20. 解关于的不等式组：．
21. 一个一次函数的截距为，且经过点．
    求这个一次函数的解析式；
    点，在某个反比例函数上，点横坐标为，将点向上平移个单位得到点，求的值．
22. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长．
    如图所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为，求灯杆的高度．用含，，的代数式表示
    我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着方向移动米至的位置，此时测得其影长为米，求灯杆的高度．
     

23. 如图所示，在等腰三角形中，，点，在线段上，点在线段上，且，．
    求证：；
    ．

24. 在平面直角坐标系中，抛物线过点，．
    求抛物线的解析式；
    平移抛物线，平移后的顶点为．
    如果，设直线，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求的取值范围；
    点在原抛物线上，新抛物线交轴于点，且，求点的坐标．
25. 如图，在▱中，是线段中点，联结交于点，联结．
    如果．
    求证：▱为菱形；
    若，，求线段的长；
    分别以，为半径，点，为圆心作圆，两圆交于点，，点恰好在射线上，如果，求的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数．
故选：．
根据相反数的定义解答即可，只有符号不同的两个数是相反数．
本题考查了相反数的定义，若互为相反数，则，反之若，则、互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式以及平方差公式即可作出判断．
本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为反比例函数，且在各自象限内，随的增大而增大，
所以，
A.，故本选项不符合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的性质判断即可．
本题主要考查反比例函数的性质：当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，在每一个象限，随的增大而增大．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为计算了点单的总额和不计算外卖费的总额只相差外卖费，其余数据的波动幅度相同，
所以两种情况计算出的数据一样的是方差，
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．
 

5.【答案】 

【解析】解：、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，
B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

6.【答案】 

【解析】解：正边形旋转后不能与自身重合，不合题意；
B.正边形旋转后不能与自身重合，不合题意；
C.正边形旋转后能与自身重合，符合题意；
D.正边形旋转后不能与自身重合，不合题意；
故选：．
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．直接利用旋转图形的性质，结合正多边形中心角相等进而得出答案．
此题主要考查了旋转对称图形，正确把握正多边形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查合并同类项．根据同类项与合并同类项法则计算．
【解答】
解：．
故答案为：  

8.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
故答案为：．
把代入函数关系式即可求得．
本题考查了函数的关系式，解题的关键是对函数关系式进行正确的理解．
 

9.【答案】 

【解析】解：，且，
，
可得方程组，
解得：．
故答案为：．
由可知，再根据计算出，然后与联立计算即可．
本题考查了高次方程组的解法，根据题干寻找解题方向及熟练掌握常见公式如平方差公式等是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
由根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中分到甲和乙的结果有种，
分到甲和乙的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中分到甲和乙的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

12.【答案】 

【解析】解：设平均每月的增长率为，
由题意得，
解得，不合题意，舍去
所以平均每月的增长率为．
故答案为：．
设平均每月的增长率为，根据月份的营业额为万元，月份的营业额为万元，表示出月的营业额，即可列出方程解答．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：人，
故该学校六年级学生阅读时间不低于小时的人数是人．
故答案为：．
用乘样本中阅读时间不低于小时的学生所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：直线过第一象限且函数值随着的增大而减小，
，，
符合条件的函数关系式可以为：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
根据一次函数的性质，写出符合条件的函数关系式即可．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数的图象在第一、二、四象限，随自变量的值增大而减小是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为四边形为平行四边形，
所以，
所以．
故答案为：．
根据平行四边形的性质分析即可．
本题考查了平面向量与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的有关性质和平面向量的有关知识是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于，
，过圆心，是弦，
，
，
在中，，
在中，，
，
故答案为：．
根据垂径定理，勾股定理求出，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．
本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．
 

17.【答案】 

【解析】解：为中点，
．
当时，．
故答案是：．
利用平行线截线段成比例解答．
本题主要考查了平行线分线段成比例，平行于三角形的一边，并且和其他两边或两边的延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，当过点，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大，
过点分别作弦、、的垂线，垂足分别为、、，连接，
，
，
，，，
，
由，
设，则，
，
解得，
即，
在中，，
故答案为：．
根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．
本题考查圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，掌握圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提，画出符合题意的图形是正确解答的关键．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】先根据绝对值的性质，负整数指数幂的法则，分母有理化的法则，二次根式的性质进行化简，然后计算加减．
本题考查了实数的运算，解题的关键掌握分数指数幂的运算法则，将分数指数幂转化为二次根式形式．
 

20.【答案】解：，
由得，，
，
解得，
由得，，
，
，
解得，
所以不等式组的解集为：． 

【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

21.【答案】解：设一次函数的解析式为：，
，
解得：，
一次函数的解析式为：．
点，在某个反比例函数上，点横坐标为，
，
，
是直角三角形，且，，
根据勾股定理得：，
． 

【解析】理解截距得概念，再利用待定系数法求解；
数形结合，求两个点之间得距离，再利用三角函数得定义求解．
本题考查了待定系数法的应用，结合三角函数的定义求解是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图：

由题意得：
米，米，，，
在中，米，
米，
灯杆的高度为米；
由题意得：
米，米，，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
米，
，
米，
灯杆的高度为米． 

【解析】根据题意可得米，米，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答；
根据题意得：米，米，，然后证明字模型相似三角形∽，从而可得，再证明字模型相似三角形∽，从而可得，进而可得，最后求出的长，从而求出的长．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，数学常识，中心投影，列代数式，平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
≌，
，，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
即． 

【解析】根据等腰三角形的性质得到，利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解；
利用全等三角形的性质，结合题意证明∽，∽，根据相似三角形的性质即可得解．
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：将，代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为．
，
抛物线的顶点坐标为，
即点是原抛物线的顶点，
平移后的抛物线顶点为，
抛物线向右平移了个单位，
，
，
平移后的抛物线的对称轴为直线，开口向上，
在的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为轴，开口向上，
；
把代入，
，
，
由题意得，新抛物线的解析式为，
，
，
，，，
，
如图，过点作轴于，则，

，，
，，
，
，
，
点的坐标为或． 

【解析】根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
根据三角形面积求出平移后的抛物线的对称轴为直线，开口向上，由二次函数的性质可得出答案；
，证出，由等腰三角形的性质求出，由直角三角形的性质可求出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，连接交于点，

四边形是平行四边形，
，
，，
≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
▱为菱形；
解：，
是的中线，
为的中点，
是的中线，
点是的重心，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
，
解得负值舍去，
，
；
解：如图，

与相交于，，
，
由知点是的重心，
又在直线上，
是的中线，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证明：如图，连接交于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，由菱形的判定可得出结论；
由重心的性质得出，设，则，由勾股定理得出，求出的值，则可得出答案；
由相交两圆的性质得出，由知点是的重心，由重心的性质及勾股定理得出答案．
本题是圆的综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形重心的性质，菱形的判定，相交两圆的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．