山东省济南市历城区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)

2021-2022学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 下列图标是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在方格中有两个涂有阴影的图形、，中的图形平移后位置如所示，以下对图形的平移方法叙述正确的是(    )

A. 向右平移个单位，向下平移个单位
B. 向右平移个单位，向下平移个单位
C. 向右平移个单位，向下平移个单位
D. 向右平移个单位，向下平移个单位

7. 下列说法正确的是(    )

A. 三条边相等的四边形是菱形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 连接矩形各边中点所得四边形是正方形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

8. 某口罩厂平均每天可生产万只口罩，厂家引进新技术，经过连续两次增速后，平均每天可生产万只．若两次的增长率都为，则可得方程(    )

A.  B.
C.  D.

9. 已知关于的分式方程有增根，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，直线经过点则关于的不等式解集为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在中，，点是斜边的中点，平分，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 因式分解：______．
14. 已知正多边形中，每一个内角都是它相邻外角的倍，则该正多边形是正______边形．
15. 如图，用圆规以直角顶点为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于、两点，若再以为圆心，以为半径画弧，与弧交于点，则等于______．

16. 某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去张贺卡，则该学习小组______有名成员．
17. 如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点，，是网格线的交点，则______

18. 如图，矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使与点重合，则折痕的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 解不等式：，并在数轴上表示其解集．
    
    解不等式组，并写出该不等式组的所有非负整数解．
20. 化简：．
    先化简，再求值：，再从，，，四个数中选一个合适的数作为的值代入求值．
21. 解方程：
    ．
    ．
22. 已知：如图，是平行四边形的对角线，过点作，交于点，过点作，交于点求证：．

23. 如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
    与关于坐标原点成中心对称，则的坐标为______．
    的面积为______．
    将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______．

24. 为创建“书香校园”，学校图书室计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的倍，用元单独购买甲图书比用元单独购买乙图书要少本．
    甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
    如果学校图书室计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的倍多本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
25. 如图，在中，，，动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题：
    当为何值时，点在的垂直平分线上？
    在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

26. 阅读下列材料：
    数学课上老师出示了这样一个问题：如图，等腰的直角顶点在正方形的边上，斜边交于点，连接请探索、、的数量关系．
    某学习小组的同学经过探索，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将旋转到位置，然后通过证明≌来探索数量关系．
    问题解决请你根据他们的想法写出、、的数量关系是______．
    学以致用如图，若等腰的直角顶点在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交的延长线于点，连接，猜想线段，，满足怎样的数量关系？并证明你的结论．
    思维拓展等腰直角中，，为内部一点，若则的最小值______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、左边不是多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故选：．
利用因式分解的定义判断即可．
此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得到，，，推出，根据平分，能证出，根据等腰三角形的判定得到，根据，代入即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出和的长度．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
所以可以取．
故选：．
先根据根的判别式的意义得到，再解不等式得到的取值范围，然后利用的取值范围对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图可知，，且，
，，，，
关系式不成立的是选项C．
故选：．
根据数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．
本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用了两个负数相比较，绝对值大的反而小．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据图形平移前后对应点的位置变化可知，需要向右平移个单位，向下平移个单位．
故选：．
根据平移前后图形中某一个对应顶点的位置变化情况进行判断即可．
本题主要考查了图形的平移，平移由平移方向和平移距离决定，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．
 

7.【答案】 

【解析】解：、四条边相等的四边形是菱形，说法不正确，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确，符合题意；
C、连接矩形各边中点所得四边形是菱形，说法不正确，不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，说法不正确，不符合题意．
故选：．
利用菱形、矩形、平行四边形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了平行四边形及特殊平行四边形的判定方法，解题的关键是了解有关的判定定理，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
利用经过连续两次增速后每天的产量原产量增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
分式方程有增根，
，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故选：．
把分式方程化成整式方程得，由分式方程有增根得出，把代入，即可求出的值．
本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图中可以看出，当时，，
故选：．
一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值小于的自变量的取值范围．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：，点是斜边的中点，
，
平分，
，
是的中位线，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用三角形的中位线定理进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及三角形的中位线定理是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，在上取一点，使，连接，过点作于，
由旋转知，，，
，
，
，
，
≌，
，
要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点，
当点和点重合时，最小，
即：点与点重合，最小，最小值为，
在中，，，
，
，
，
在中，，，
，
故线段长度最小值是，
故选：．
在上取一点，使，连接，过点作于，由旋转的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，当点和点重合时，最小，由直角三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，找出点和点重合时，最小，最小值为的长度是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
直接提公因式即可．
此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
 

14.【答案】十 

【解析】解：设多边形的每个外角为，则其内角为：，
，
解得：，
即这个多边形是：．
故答案为：十．
一个多边形的每个内角度数都是其外角度数的倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角和的度数，依据多边形的外角和公式即可求解．
本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于也考查了等边三角形的判定．
利用基本作图得到，则可判断为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，然后利用互余计算的度数．
【解答】
解：由作法得，
为等边三角形，
，
．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：设这个小组有名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．
设这个小组有名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，由该小组新年互送新年贺卡共张，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：延长交格点于，连接，

则，，
，
，
．
故答案为：．
延长交格点于，连接，根据勾股定理和逆定理证明，根据三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图所示，过作于，则，
设，则，
中，，
，
解得，
，，
由折叠可得，，
，
，
，
，
，
中，，
故答案为：．
过作于，则，设，则；在中，由勾股定理可求得的值，进而得到的长，中，再根据勾股定理即可得出的长．
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的综合运用，解题时常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

19.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：．
该不等式的解集在数轴上表示如图所示，

，
解不等式得：；
解不等式得：．
原不等式组的解集为：．
原不等式组的非负整数解为：，，，． 

【解析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为这一步骤解不等式即可．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
本题考查了不等式组的解法，熟练掌握不等式组的解题步骤是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式



．
原式

，
由分式有意义的条件可知：不能取，，
故，
原式
． 

【解析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

21.【答案】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根；
，
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，解一元二次方程配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
又，，
，
在与中，
，
≌．
． 

【解析】由平行四边形的性质可得，，由“”可证≌，可得．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：，
．
故答案为：．
的面积为：．
故答案为：．
根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对对称点的垂直平分线的交点就是旋转中心．
所以旋转中心的坐标为：．
故答案为：．
根据关于原点成中心对称的点的特征求救；
利用割补法求三角形的面积；
利用作图观察求解．
本题考查了函数图象与坐标的关系，结合三角形的面积，中心对称来求解是解题的关键．
 

24.【答案】解：设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根，
则，
答：甲图书每本价格是元，乙图书每本价格为元；

设购买甲图书本数为，则购买乙图书的本数为：，
故，
解得：，
故，
答：该图书馆最多可以购买本乙图书． 

【解析】利用用元单独购买甲图书比用元单独购买乙图书要少本得出等式求出答案；
根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出图书的价格是解题关键．
 

25.【答案】解：若点在线段的垂直平分线上，则，
，，
，
解得：，
答：当时，点在线段的垂直平分线上；
若，
则是直角三角形，
，
，
，
，
，
若，
则是直角三角形，
，
，
，
，
．
当或时，是直角三角形． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质得到，则可得出方程求出即可；
分两种情形：或分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定与性质是解题的关键．
 

26.【答案】  

【解析】证明：如图，将绕点顺时针旋转到，
，，，，
，
点，点，点三点共线，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，
；
故答案为：；
解：，理由如下：
如图，将绕点顺时针旋转到，

，，，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
；
解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，过点作，交的延长线于，

，，，，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点四点共线时，有最小值为的长，
，，
，，
，
的最小值为．
故答案为：．
由旋转的性质可得，，，，由“”可证≌，可得，可得结论；
由旋转的性质可得，，，由“”可证≌，可得，可得结论；
由旋转的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，当点，点，点，点四点共线时，有最小值为的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．