2022年吉林省长春七十二中学中考数学最后一模试卷含解析

这是一份2022年吉林省长春七十二中学中考数学最后一模试卷含解析，共19页。试卷主要包含了已知，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．济南市某天的气温：-5~8℃，则当天最高与最低的温差为（ ）
A．13 B．3 C．-13 D．-3
2．已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）个．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，已知△ABC中，∠A=75°，则∠1+∠2=( )

A．335°° B．255° C．155° D．150°
4．已知xa=2，xb=3，则x3a﹣2b等于（　　）
A． B．﹣1 C．17 D．72
5．如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（　　）

A．﹣2 B．0 C．1 D．4
6．已知：a、b是不等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如果向北走6km记作+6km，那么向南走8km记作（　　）
A．+8km B．﹣8km C．+14km D．﹣2km
8．下列运算正确的是（　　）
A．a12÷a4=a3 B．a4•a2=a8 C．（﹣a2）3=a6 D．a•（a3）2=a7
9．已知一次函数 y=kx+b 的大致图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+kb+1=0 的根的情况是( )

A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个根是 0
10．下列关于x的方程一定有实数解的是( )
A． B．
C． D．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．计算：（3+1）（3﹣1）=　 　．
12．在△ABC中，若∠A，∠B满足|cosA－|＋(sinB－)2＝0，则∠C＝_________．
13．若关于x的方程有增根，则m的值是 ▲
14．有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是 ．
15．如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接，则下列结论：①，②，③为等边三角形，④当时，.请将正确结论的序号填在横线上__.

16．关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+2=0有实数根，则k的取值范围是_____．
17．如图，直线l1∥l2∥l3，等边△ABC的顶点B、C分别在直线l2、l3上，若边BC与直线l3的夹角∠1=25°，则边AB与直线l1的夹角∠2=________．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）
19．（5分）某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表，请根据图表中提供的信息解答下列问题：
AQI指数
质量等级
天数（天）
0-50
优
m
51-100
良
44
101-150
轻度污染
n
151-200
中度污染
4
201-300
重度污染
2
300以上
严重污染
2

（1）统计表中m= ，n= ，扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占 %；
（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少？
20．（8分）列方程解应用题：
某商场用8万元购进一批新款衬衫，上架后很快销售一空，商场又紧急购进第二批这种衬衫，数量是第一次的2倍，但进价涨了4元/件，结果共用去17.6万元．该商场第一批购进衬衫多少件？商场销售这种衬衫时，每件定价都是58元，剩至150件时按八折出售，全部售完．售完这两批衬衫，商场共盈利多少元？
21．（10分）我们知道中，如果，，那么当时，的面积最大为6；
(1)若四边形中，，且，直接写出满足什么位置关系时四边形面积最大？并直接写出最大面积.
(2)已知四边形中，，求为多少时，四边形面积最大？并求出最大面积是多少？
22．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）若∠B=30°，求证：以A，O，D，E为顶点的四边形是菱形；
（2）填空：若AC=6，AB=10，连接AD，则⊙O的半径为　　，AD的长为　 　．

23．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx(a＜0）过点E(10,0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A(t,0)，当t=2时，AD=1．求抛物线的函数表达式．当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

24．（14分）网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，消费者在网店购买某种商品后，对其有
“好评”、“中评”、“差评”三种评价，假设这三种评价是等可能的．

（1）小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并列出了两幅不完整的统计图．
利用图中所提供的信息解决以下问题：
①小明一共统计了 个评价；
②请将图1补充完整；
③图2中“差评”所占的百分比是 ；
（2）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给“好评”的概率．



参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、A
【解析】
由题意可知，当天最高温与最低温的温差为8-（-5）=13℃，故选A.
2、B
【解析】
分析：根据已知画出图象，把x=−2代入得：4a−2b+c=0，把x=−1代入得：y=a−b+c>0，根据不等式的两边都乘以a(a<0)得：c>−2a，由4a−2b+c=0得而00.
详解：根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(−2,0)、(x1,0),且1
把x=−2代入得：4a−2b+c=0，∴①正确；
把x=−1代入得：y=a−b+c>0，如图A点，∴②错误；
∵(−2,0)、(x1,0),且1 ∴取符合条件1 ∴由一元二次方程根与系数的关系知
∴不等式的两边都乘以a(a<0)得：c>−2a，
∴2a+c>0，∴③正确；
④由4a−2b+c=0得
而0 ∴−1<2a−b<0
∴2a−b+1>0，
∴④正确.
所以①③④三项正确．
故选B.
点睛：属于二次函数综合题，考查二次函数图象与系数的关系, 二次函数图象上点的坐标特征, 抛物线与轴的交点，属于常考题型.
3、B
【解析】
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠A=105°．
∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°．
故选B．
点睛:本题考查了三角形、四边形内角和定理，掌握n边形内角和为（n﹣2）×180°（n≥3且n为整数）是解题的关键．
4、A
【解析】
∵xa=2,xb=3，
∴x3a−2b=(xa)3÷(xb)2=8÷9= ，
故选A.
5、C
【解析】
【分析】首先确定原点位置，进而可得C点对应的数．
【详解】∵点A、B表示的数互为相反数，AB=6
∴原点在线段AB的中点处，点B对应的数为3，点A对应的数为-3，
又∵BC=2，点C在点B的左边，
∴点C对应的数是1，
故选C．
【点睛】本题主要考查了数轴，关键是正确确定原点位置．
6、B
【解析】
∵2a=3b，∴ ，∴ ，∴A、C、D选项错误，B选项正确，
故选B.
7、B
【解析】
正负数的应用，先判断向北、向南是不是具有相反意义的量，再用正负数表示出来
【详解】
解：向北和向南互为相反意义的量．
若向北走6km记作+6km，
那么向南走8km记作﹣8km．
故选：B．
【点睛】
本题考查正负数在生活中的应用．注意用正负数表示的量必须是具有相反意义的量．
8、D
【解析】
分别根据同底数幂的除法、乘法和幂的乘方的运算法则逐一计算即可得．
【详解】
解：A、a12÷a4=a8，此选项错误；
B、a4•a2=a6，此选项错误；
C、（-a2）3=-a6，此选项错误；
D、a•（a3）2=a•a6=a7，此选项正确；
故选D．
【点睛】
本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、乘法和幂的乘方的运算法则．
9、A
【解析】
判断根的情况，只要看根的判别式△=b2−4ac的值的符号就可以了．
【详解】
∵一次函数y=kx+b的图像经过第一、三、四象限
∴k>0， b<0
∴△=b2−4ac=(-2)2-4（kb+1）=-4kb>0，
∴方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不等的实数根，故选A．
【点睛】
根的判别式
10、A
【解析】
根据一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根逐一判断即可得．
【详解】
A．x2-mx-1=0中△=m2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；
B．ax=3中当a=0时，方程无解，不符合题意；
C．由可解得不等式组无解，不符合题意；
D．有增根x=1，此方程无解，不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题主要考查方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、1．
【解析】
根据平方差公式计算即可．
【详解】
原式=（3）2-12
=18-1
=1
故答案为1．
【点睛】
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．
12、75°
【解析】
【分析】根据绝对值及偶次方的非负性，可得出cosA及sinB的值，从而得出∠A及∠B的度数，利用三角形的内角和定理可得出∠C的度数．
【详解】∵|cosA－|＋(sinB－)2＝0，
∴cosA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，
故答案为：75°.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出cosA及sinB的值，另外要求我们熟练掌握一些特殊角的三角函数值．
13、1．
【解析】
方程两边都乘以最简公分母（x－2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使
最简公分母等于1的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值：
方程两边都乘以（x－2）得，2－x－m=2（x－2）．
∵分式方程有增根，∴x－2=1，解得x=2．
∴2－2－m=2（2－2），解得m=1．
14、
【解析】
试题分析：这四个数中，奇数为1和3，则P（抽出的数字是奇数）=2÷4=．
考点：概率的计算．
15、①③④
【解析】
①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①；
②先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②；
③先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③；
④当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，进而判断④．
【详解】
①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM=BC，PN=BC，
∴PM=PN，正确；
②在△ABM与△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴，错误；
③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM=180°-60°-30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，正确；
④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∵P为BC中点，可得BC=PB=PC，故④正确．
所以正确的选项有：①③④
故答案为①③④
【点睛】
本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．
16、k≤．
【解析】
分k=1及k≠1两种情况考虑：当k=1时，通过解一元一次方程可得出原方程有解，即k=1符合题意；等k≠1时，由△≥1即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．综上此题得解．
【详解】
当k=1时，原方程为-x+2=1，
解得：x=2，
∴k=1符合题意；
当k≠1时，有△=[-（2k+1）]2-4k（k+2）≥1，
解得：k≤且k≠1．
综上：k的取值范围是k≤．
故答案为：k≤．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，分k=1及k≠1两种情况考虑是解题的关键．
17、
【解析】
试题分析：如图：

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵直线l1∥l2∥l3，∠1=25°，
∴∠1=∠3=25°．
∴∠4=60°-25°=35°，
∴∠2=∠4=35°．
考点：1．平行线的性质；2．等边三角形的性质．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、﹣2＜x＜2．
【解析】
分别解不等式，进而得出不等式组的解集．
【详解】

解①得：x＜2
解②得：x＞﹣2．
故不等式组的解集为：﹣2＜x＜2．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次不等式组，正确掌握不等式组的解法是解题的关键．
19、 (1)m=20,n=8；55;(2) 答案见解析.
【解析】
（1）由A占25%，即可求得m的值，继而求得n的值，然后求得空气质量等级为“良”的天数占的百分比；
（2）首先由（1）补全统计图，然后利用样本估计总体的知识求解即可求得答案.
【详解】
（1）∵m=80×25%=20，n=80-20-44-4-2-2=8，
∴空气质量等级为“良”的天数占：×100%=55%.
故答案为20，8,55；
（2）估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：365×（25%+55%）=292（天），
答：估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天；
补全统计图：

【点睛】
此题考查了条形图与扇形图的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20、（1）2000件；（2）90260元．
【解析】
（1）设该商场第一批购进衬衫x件，则第二批购进衬衫2x件，根据单价=总价÷数量结合第二批比第一批的进价涨了4元/件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）用（1）的结论×2可求出第二批购进该种衬衫的数量，再利用总利润=销售收入-成本，即可得出结论．
【详解】
解：（1）设该商场第一批购进衬衫x件，则第二批购进衬衫2x件，
根据题意得：-=4，
解得：x=2000，
经检验，x=2000是所列分式方程的解，且符合题意．
答：商场第一批购进衬衫2000件．
（2）2000×2=4000（件），
（2000+4000-150）×58+150×58×0.8-80000-176000=90260（元）．
答：售完这两批衬衫，商场共盈利90260元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．
21、 (1)当，时有最大值1；(2)当时，面积有最大值32.
【解析】
（1）由题意当AD∥BC，BD⊥AD时，四边形ABCD的面积最大，由此即可解决问题．
（2）设BD=x，由题意：当AD∥BC，BD⊥AD时，四边形ABCD的面积最大，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】
(1) 由题意当AD∥BC，BD⊥AD时，四边形ABCD的面积最大，
最大面积为×6×（16-6）=1．
故当，时有最大值1；
(2)当，时有最大值，
设, 由题意：当AD∥BC，BD⊥AD时，四边形ABCD的面积最大，








∴抛物线开口向下
∴当 时，面积有最大值32.
【点睛】
本题考查三角形的面积，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题．
22、 (1) 见解析；（2）
【解析】
(1) 先通过证明△AOE为等边三角形, 得出AE=OD, 再根据“同位角相等, 两直线平行” 证明AE//OD, 从而证得四边形AODE是平行四边形, 再根据 “一组邻边相等的平行四边形为菱形” 即可得证．
(2) 利用在Rt△OBD中，sin∠B==可得出半径长度，在Rt△ＯＤＢ中BD=，可求得ＢＤ的长，由CD=CB﹣BD可得ＣＤ的长，在ＲＴ△ＡＣＤ中，AD=，即可求出AD长度．
【详解】
解：（1）证明：
连接OE、ED、OD，
在Rt△ABC中，∵∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OE，∴△AEO是等边三角形，
∴AE=OE=AO
∵OD=OA，
∴AE=OD
∵BC是圆O的切线，OD是半径，
∴∠ODB=90°，又∵∠C=90°
∴AC∥OD，又∵AE=OD
∴四边形AODE是平行四边形，
∵OD=OA
∴四边形AODE是菱形．
（2）
在Rt△ABC中，∵AC=6，AB=10，
∴sin∠B==，BC=8
∵BC是圆O的切线，OD是半径，
∴∠ODB=90°，
在Rt△OBD中，sin∠B==，
∴OB=OD
∵AO+OB=AB=10，
∴OD+OD=10
∴OD=
∴OB=OD=
∴BD=
=5
∴CD=CB﹣BD=3
∴AD=
=
=3．
【点睛】
本题主要考查圆中的计算问题、 菱形以及相似三角形的判定与性质
23、（1）；（2）当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）抛物线向右平移的距离是1个单位．
【解析】
（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标（2，1）代入计算可得；
（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，据此知AB=10-2t，再由x=t时AD=，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；
（3）由t=2得出点A、B、C、D及对角线交点P的坐标，由直线GH平分矩形的面积知直线GH必过点P，根据AB∥CD知线段OD平移后得到的线段是GH，由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是△OBD中位线，据此可得．
【详解】
（1）设抛物线解析式为，
当时，，
点的坐标为，
将点坐标代入解析式得，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）由抛物线的对称性得，
，
当时，，
矩形的周长
，
，
，
，
当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
（3）如图，

当时，点、、、的坐标分别为、、、，
矩形对角线的交点的坐标为，
直线平分矩形的面积，
点是和的中点，
，
由平移知，
是的中位线，
，
所以抛物线向右平移的距离是1个单位．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．
24、（1）①150；②作图见解析；③13.3%；（2）．
【解析】
（1）①用“中评”、“差评”的人数除以二者的百分比之和即可得总人数；②用总人数减去“中评”、“差评”的人数可得“好评”的人数，补全条形图即可；③根据“差评”的人数÷总人数×100%即可得“差评”所占的百分比；
（2）可通过列表表示出甲、乙对商品评价的所有可能结果数，根据概率公式即可计算出两人中至少有一个给“好评”的概率．
【详解】
①小明统计的评价一共有：（40+20）÷（1-60%=150（个）；
②“好评”一共有150×60%=90（个），补全条形图如图1：

③图2中“差评”所占的百分比是：×100%=13.3%；
（2）列表如下：

好
中
差
好
好，好
好，中
好，差
中
中，好
中，中
中，差
差
差，好
差，中
差，差
由表可知，一共有9种等可能结果，其中至少有一个给“好评”的有5种，
∴两人中至少有一个给“好评”的概率是．
考点：扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．