3.1函数的概念与性质 人教B版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）
展开3.1函数的概念与性质人教 B版（2019）高中数学必修第一册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
- 已知函数，则下列说法正确的是
A. 函数为奇函数
B. 函数的值域为
C. 当时，函数的图象关于直线对称
D. 函数的增区间为，减区间为
- 关于函数，下列说法错误的是 ( )
A. 的图像关于轴对称
B. 在上单调递增，在上单调递减
C. 的值域为
D. 不等式的解集为
- 若函数，则的值域为( )
A. B. C. D.
- 设函数，则下列结论正确的是( )
A. 的值域为 B. 是偶函数
C. D. 是单调函数
- 历史上第一个给出函数一般定义的是世纪德国数学家狄利克雷，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在年给出了著名函数：其中为有理数集，为无理数集，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：其中，且，以下对说法错误的是( )
A. 任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期
B. 当时，的值域为； 当时，的值域为
C. 为偶函数
D. 在实数集的任何区间上都不具有单调性
- 若函数，则的值域为( )
A. B. C. D.
- 设函数，则下列结论错误的是( )
A. 函数的值域为 B. 函数是奇函数
C. 是偶函数 D. 在定义域上是单调函数
- 下列各组函数的图象相同的是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
- 下列说法正确的序号是 ( )
A. 偶函数的定义域为，则
B. 一次函数满足，则函数的解析式为
C. 奇函数在上单调递增，且最大值为，最小值为，则
D. 若集合中至多有一个元素，则
- 下列说法正确的是( )
A. 已知集合，若，则
B. 若函数是偶函数，则实数的值为
C. 已知函数的定义域为，则的定义域为
D. 已知单调函数，对任意的都有，则
- 对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是
A. 函数是偶函数 B. 方程有两个解
C. 函数在单调递减 D. 函数有最大值为，无最小值
- 下列说法中正确的是( )
A. 满足的实数的取值范围为
B. 表示与中的较小者，则函数的最大值为
C. 若函数的单调递增区间是，则
D. 定义域为，满足对任意，，则为偶函数．
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围是_______________．
- 是定义在上的奇函数，且满足以下两个条件：对任意的都有，当时，，且，则函数在上的最大值为 ．
- 已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围是_______________．
- 定义在上的函数满足，当时，，则函数满足 ．
； 是奇函数；在上有最大值； 的解集为．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
- 已知是定义在上的偶函数，当时，．
用分段函数形式写出的解析式；
写出的单调区间；
求出函数的最值．
- 设函数满足．
求函数的解析式；
当时，记函数，求函数在区间上的值域．
- 已知定义在上的函数，满足对任意的，，都有当时，且．
求的值；
判断并证明函数在上的奇偶性；
在区间上，求的最值．
- 已知是定义在上的奇函数，且当时，．
求的值；
求函数的解析式；
直接写出函数的单调递增区间．
- 已知是定义在上的奇函数，且当时，．
求函数在上的解析式．
若对所有，恒成立，求实数的取值范围．
- 已知是定义在上的奇函数．当时，是二次函数，且的图形过和．
试求的解析式；
的值域．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性与单调性，考查函数值域，函数对称性，属中档题．
依题意，根据奇偶性定义可判断为偶函数，A错误，不妨设，此时，，
结合基本不等式可判定，计算，判断，由函数的增区间为，减区间为，根据复合函数单调性可判断．
【解答】
解： 由，
可知函数为偶函数；
不妨设，此时，
由当且仅当时取“”，
由，可得，可知函数的值域为；
由，，
可知当时，函数的图象不关于直线对称；由函数的增区间为，减区间为，
可知函数的增区间为，减区间为．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的奇偶性，值域，复合函数的单调性，属于中档题．
由函数奇偶性可判断，根据复数函数性质判断，，根据函数奇偶性与单调性即可判断．
【解答】
解：由题意可知，函数定义域为，且，即函数为偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；
令，易知函数在单调递增，在上单调递增，在上单调递减，由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，
故B正确；
又的值域为，则函数的值域为，故 C正确；
，若，则，故D错误．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性、分段函数的值域以及复合函数，属于中档题．
先根据函数在对应区间上的单调性得出第一段上的范围，再利用二次函数在闭区间上的值域以及复合函数的方法得出第二段上的范围，最后求这两个范围的并集即得．
【解答】
解：当时，函数单调递增，
且当时，，，所以此时；
当时，令，该二次函数的对称轴是：，开口向下，
因为，所以，，
所以，故，
所以分段函数的值域为：，即为
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是分段函数与应用，函数的值域及函数的性质．属于基础题．
根据已知函数的解析式，结合函数单调性、奇偶性的定义以及函数值域，判断各选项．
【解答】
解：函数，
函数值域为，故A不正确；
当为有理数时，为有理数，，
当为无理数时，为无理数，，故函数为偶函数，即B正确；
，，则，故 C不正确；
，，，．
显然函数不是单调函数，故D不正确．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：对于，设为非零有理数，若为有理数，则为有理数，若为无理数，则为无理数，
故，设为无理数，若为有理数，则为无理数，若为无理数，则可能为有理数，
也可能为无理数，不满足，
故任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期，故A正确；
对于，当时，，当时，，的值域为，故B错误；
对于，若为有理数，则为有理数，有；
若为无理数，则为无理数，有，函数为偶函数，故C正确；
对于，实数集的任何区间上，函数值在与之间转换，函数没有单调性，故D正确．
故选：．
由周期函数的定义判断；由分段函数解析式求得函数值域判断；由偶函数的定义判断；由函数解析式及实数的稠密性判断．
本题考查函数的性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性、分段函数的值域以及复合函数，属于中档题．
先根据函数在对应区间上的单调性得出第一段上的范围，再利用二次函数在闭区间上的值域以及复合函数的方法得出第二段上的范围，最后求这两个范围的并集即得．
【解答】
解：当时，函数单调递增，
且当时，，，所以此时；
当时，令，该二次函数的对称轴是：，开口向下，
因为，所以，，
所以，故，
所以分段函数的值域为：，即为
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数，函数的单调性、奇偶性，指数函数及其性质，函数图象的应用．
根据指数函数及其性质画出的图象，根据图象逐一判断．
【解答】
解：画出的图象如图，
可知时，；时，，则函数的值域为，A正确；
B.若，则，，，则，
同理，当时，也有，所以函数是奇函数，B正确；
C.因为，所以是偶函数，C正确；
D.由图知，在定义域上不是单调函数，D错误．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的概念，是中档题．
两个函数图象相同，则要求对应法则相同，定义域相同、值域相同，逐项判断即可得．
【解答】
解：对于，函数的定义域为，值域为，
而 的定义域为，值域为，故A不合题意；
对于，函数的定义域为，值域为，
而 ，则与的定义域、值域均相同，解析式相同，故B符合题意；
对于，函数的定义域为，但的定义域为，定义域不同，故
不合题意；
对于，两个函数的解析式不同，故D不合题意；
综上，故答案为．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的解析式、函数的奇偶性和单调性以及集合中的元素，属于基础题．
根据题意，逐项分析各选项中的问题，即可求解．
【解答】
解：、偶函数的定义域为，
，解得，
故A正确
B、设一次函数，
则，
，
，
解得或，
函数的解析式为或，
故B不正确
C、奇函数在上单调递增，且最大值为，最小值为，
，，
，，
，
故C正确
D、集合中至多有一个元素，
方程至多有一个解，
当时，方程只有一个解，符合题意，
当时，由方程至多有一个解，
可得，解得，
或，
故D不正确．
故选AC．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合中元素的性质、元素与集合的关系、函数定义域、函数的解析式、复合函数、函数的单调性与单调区间、函数的奇偶性，属于中档题．
利用元素与集合的关系得出或者，再利用集合元素的性质验证即可判定选项；利用奇偶性的定义求出的值即可判定选项；利用复合函数定义域的求解即可判定选项；利用换元法求出函数的解析式即可判定选项
【解答】
解：选项，已知集合，，
则或者，
当时，不满足集合元素的互异性，故舍去这种情况；
当时，时由以上分析知不成立，
当时集合元素为，符合题意，故最终，故A错误；
选项，函数是偶函数，根据偶函数的定义得到，
代入函数表达式得到，
化简得到，故B正确；
选项，函数的定义域为，由，得函数的定义域为，故C正确；
选项，设，，且，
则，，
是单调函数，，
则，故D正确．
故选BCD．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的解析式及函数的性质，属于中档题．
依题意，，根据函数图象逐项进行判断即可推出结论．
【解答】
解：由题意可得，
作出函数图象，如下图所示，
所以该函数的图象关于轴对称，是偶函数，故A选项正确，
方程有两个解和，故B选项正确，
由图象可知，函数在上单调递增，故C选项错误，
当时，函数取得最大值为，无最小值，故D选项正确，
故选ABD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的单调性与奇偶性，指数函数的性质，以及函数的最值等知识，属于中档题
A.利用指数函数的单调性即可得解；表示与中的较小者，可用分段函数表示，再求的最大值；的单调递增区间是，即时，，得出的取值范围；由题意，可求出，与的关系，从而判定的奇偶性．
【解答】
解：．，利用是单调递减函数，可得，故A正确
B.表示与中的较小者，
的最大值为，故B错误
C.的单调递增区间是，
当时，， ，即不一定等于，
故C错误
D. 定义域为，
满足对任意，，
令，，，；
令，，，；
可令，，则，即，
是偶函数，故D正确．
故选AD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了分段函数值域问题，考查了二次函数性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．
由题意，令，，分类讨论即可得到答案．
【解答】
解：由题意，令，，
当时，在上为增函数，则值域为，
对于开口向下，对称轴，且在上为增函数，
则有，即值域为，
要使函数的值域为，则有，解得；
当时，，均为常数函数，显然不符合题意；
当时，函数在上为减函数，
则函数值域为，
对于开口向上，且在上为减函数，则，
即值域为，
要使得函数的值域为，则使，与矛盾，不符合题意，舍去．
综上可得实数的取值范围是
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抽象函数的应用，利用条件证明函数的单调性是解决本题的关键，属于中档题．
利用条件证明函数的单调性，然后利用单调性和奇偶性的关系，求函数的最值即可．
【解答】
解：是定义在上的奇函数，
设，则，
因为，所以，所以，即函数在上单调递减，
函数在上也单调递减，
因为，所以，，
所以函数的最小值为，函数的最大值为．
故答案为
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了分段函数值域问题，考查了二次函数性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．
由题意，令，，分类讨论即可得到答案．
【解答】
解：由题意，令，，
当时，在上为增函数，则值域为，
对于开口向下，对称轴，且在上为增函数，
则有，即值域为，
要使函数的值域为，则有，解得；
当时，，均为常数函数，显然不符合题意；
当时，函数在上为减函数，
则函数值域为，
对于开口向上，且在上为减函数，则，
即值域为，
要使得函数的值域为，则使，与矛盾，不符合题意，舍去．
综上可得实数的取值范围是
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抽象函数的单调性及奇偶性，考查赋值法的运用及转化能力．
令，则可得令，可得，故函数为奇函数运用定义法及结合已知条件，可得函数为上的减函数，则在上的最大值为，等价于，由此得出正确选项．
【解答】
解：令，则，故，选项正确
令，则，则，即，故函数为奇函数，选项正确
设，则，由题意可得，，即，
即，故函数为上的减函数，
在上的最大值为，选项错误
等价于，又为上的减函数，故，解得，选项正确．
故选：．
17.【答案】解：是定义在上的偶函数，
当时，，
当时，设，则，
．
即时，．
故；
当时，，
对称轴为，
增区间为，减区间为；
当时，，
对称轴为，
增区间为，减区间为．
综上，的增区间为，，减区间为，．
由知，当时，，
，无最大值；
当时，，
，无最大值．
综上，函数的最小值为，无最大值．
【解析】本题考查函数的解析式、单调区间和最值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
只需求出时的表达式即可．设，则，利用已知表达式可求出，再根据与关系即可求解．
当时，，对称轴为，当时，，对称轴为，由此能求出的单调区间．
利用二次函数的性质和分类讨论思想即可求出函数的最值．
18.【答案】解：法一：设，则，
，
．
法二：，
，
为偶函数，
的图像关于轴对称．
又当时， ，由，
设，则
．
，
，，，
，
，
在单调递减，
同理可得单调递增，
，
又，
，
当时，函数在区间上的值域为．
【解析】本题考查了有关函数的性质综合题，用换元法求解析式，用定义法证明函数的奇偶性和单调性，必须遵循证明的步骤，考查了分析问题和解决问题能力．属中档题．
根据整体思想，则，代入即可得到答案；
先把解析式化简后判断出单调性，再利用定义法证明：在区间上取值作差变形判断符号下结论，因解析式由分式，故变形时必须用通分．根据题意判断出函数的奇偶性，根据函数的单调性，即可求出函数在区间上的值域．
19.【答案】解：令，得，．
的定义域关于原点对称，
令，得，
即对于定义域内的任意一个，都有，
是奇函数．
任取实数、且，这时，，
，
时，，，
，
在上是减函数．
故的最大值为，最小值为．
而，．
在区间上的最大值为，最小值为．
【解析】本题考查了抽象函数的单调性与奇偶性、求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
令，可得．
令，得，即可得出奇偶性．
任取实数、且，可得
，利用时，，即可得出在上的单调性，进而得出最值．
20.【答案】解：由题意可知，，
则
当时，，则，
函数为奇函数，故，
且函数定义域为，则，
故
当时，是开口向上的抛物线，
对称轴为，所以单调递增区间为；
当时，是开口向下的抛物线，
对称轴为，所以单调递增区间为；
综上，函数的单调递增区间为．
【解析】本题考查了函数奇偶性的性质的应用，利用函数奇偶性的定义将变量进行转化是解决本题的关键，考查转化思想，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
根据题意求出的值；
设，则，由条件和奇函数的性质求出的表达式，且，再用分段函数表示出来即可．
根据分段函数与二次函数性质求解函数单调区间．
21.【答案】解：函数为定义域上的奇函数，
所以，
当时，，
所以．
根据题意得，函数为减函数，
所以的最小值为，
要使对所有，恒成立，
即对所有恒成立，
令，
则，即
，
实数的取值范围是．
【解析】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，函数的解析式，不等式恒成立问题，求出函数的最值，利用构造函数法进行转化求解是解决本题的关键，属于中档题．
根据函数的奇偶性求对称区间上的解析式可得；
求出的最小值，结合不等式恒成立，转化为以为变量，构造新函数，进行求解即可．
22.【答案】解：当时，设，
是奇函数，，又的图形过和，
解得，，即，
当时，，则，即，
当时，，
当时，，当时，，
又为奇函数，的值域为
【解析】本题考查换元法的应用，函数的奇偶性以及函数的解析式的求法二次函数的闭区间上的最值的求法，考查计算能力．
设，利用奇函数，即可求出的值，再将点的坐标代入，即可求出解析式。
为二次函数，根据函数的奇偶性以及单调性求解值域．
