2.1等式 人教B版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）

2.1等式人教  B版（2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）

1. 已知关于的一元二次方程有一个正根和一个负根，且正根不大于，负根大于，则的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知，并且是方程的两根，则实数，，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，若有个零点，则实数的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，若满足条件的有两个，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若实数系一元二次方程在复数集内的根为，，则有，所以，韦达定理，类比此方法求解如下问题：设实数系一元三次方程在复数集内的根为，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若关于的方程的两个根均为正实数，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

8. 多选若关于的一元二次方程有实数根，，且，则下列结论中正确的有(    )

A. 当时，， B.
C. 当时， D. 当时，

9. 多选关于的方程有四个不同的实数解，则实数的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 多选若不等式的解集是，则以下结论正确的有(    )

A.
B.
C. 的解集为
D.

11. 下列选项中，正确的是(    )

A. 函数且的图象恒过定点
B. 若不等式的解集为，则
C. 若，，则，
D. 函数有且仅有个零点

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

12. 已知函数，满足不等式的解集为，且为偶函数，则实数______．
13. 若关于的方程的两根为，，且满足，，则实数的取值范围是          ．
14. 已知方程的两个根都在内，则实数的取值范围为          ．
15. 已知直线与抛物线交于，两点且线段的中点在直线上，若为坐标原点，则的面积为_______________________．

四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

16. 已知函数．

如果函数的一个零点为，求的值

当函数有两个不相等的零点时，求的取值范围

当函数有两个零点，且其中一个大于，一个小于时，求的取值范围．

17. 已知函数，且．

判断函数的奇偶性并证明

若函数在区间上单调递减，且值域为，求实数的取值范围．

18. 已知关于的二次方程．

若方程有两个根，其中一个根在区间内，另一个根在区间内，求的取值范围

若方程两根均在区间内，求的取值范围．

19. 已知函数若不等式对一切恒成立．

求实数的最小值

若函数的一个零点比大，另一个零点比小，求实数的取值范围．

20. 已知不等式的解集是．

若，求的取值范围

若，求不等式的解集．

21. 已知关于的方程在复数范围内的两根为、．

若，求、．

若，求的值；

22. 已知，关于的一元二次方程和求方程和的根都是整数的充要条件．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

将一元二次方程整理得，设，，则原一元二次方程的解为二次函数的图象与直线的交点的横坐标，

易知直线恒过点，二次函数的图象必经过原点，如图，

原一元二次方程的负根大于，正根不大于，

得

故选A．
 

2.【答案】 

【解析】设，则，是的两个零点函数的图象可以看成的图象向下平移个单位得到，且，，如图所示．，选项是正确的．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

解：一元二次方程有两个实数根，，

且，

令，

则由题意可得

解得，又 ，可得．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是分段函数，函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
可令，转化为一元二次方程根的分布问题求解即可．

【解答】

解：因为，即
令，当，或时，与图象有个交点，
当时，与图象有个交点，
显然不是的零点，
若是的零点，则，此时的零点为或，
因为与都与图象有个交点，此时有个零点，不符合题意，
所以的零点所在区间分别为，
令，则，解得．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查余弦定理的应用，一元二次方程的根与系数的关系，属于中档题．
由题意利用余弦定理化简得，再由，满足条件的有两个，可得二次方程有两个不等的正根，列不等式组解得即可．
【解答】
解：  ，
由余弦定理得，
化简得，
又，，
满足条件的有两个，
二次方程有两个不等的正根，
，解得，
的取值范围是．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查方程的根与系数的关系，考查推理能力与计算能力，是中档题．
由，展开后利用系数相等，即可得解．
解：因为实数系一元三次方程在复数集内的根为，，，
所以，
由对应系数相等，得，，所以，，
所以．  

7.【答案】 

【解析】略
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

 选项A中，当时，方程为，解得，，所以中结论正确

选项B中，将一元二次方程整理可得，则，解得，所以中结论正确

当时，因为方程有两个不等实根，所以函数的图象与直线有两个不同的交点，作出函数的图象，如图，可得，所以中结论正确，中结论不正确故选ABD．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

解：对于方程，当时，只有一个解，因此要使方程有四个不同的解，则，，
此时方程可变为 作出函数的图象，如图所示，

则，即 ，选项B，，符合题意．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

不等式的解集是，故，故A正确，是方程的两个根，，故B正确，是方程的两个根，，，

当，，

故，

解得，C错误

根据对称轴和可推出

代入选项中的式子可得，故D正确．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查指数函数图像过定点问题，一元二次不等式与对应方程的关系，全称量词命题的否定，函数零点存在性定理，属于中档题．
求出定点坐标可判断选项；
根据根与系数的关系可判断选项；
利用存在量词命题的否定可判断选项；
利用函数的单调性结合零点存在定理可判断选项．
【解答】
解：对于选项，因为，故函数的图象过定点，错；
对于选项，若不等式的解集为，
则关于的二次方程的两根分别为、，所以，，可得，错；
对于选项，由存在量词命题的否定可知，，，对；
对于选项，因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，
因为，，由零点存在定理可知，函数有且仅有个零点，对．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，二次函数和一元二次不等式与相应函数和方程的关系，属于中档题．
利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系得且，是的两根，再利用一元二次方程的根与系数的关系得，再利用二次函数的性质得，最后计算得结论．
【解答】
解：因为不等式的解集为，
所以且，是的两根，
因此由韦达定理得：，
又因为，
而，所以函数是二次函数．
又因为为偶函数，所以，即，
因此，解得．
故答案为：  

13.【答案】 

【解析】解：依题意，得二次函数的大致图象如图所示，

当时，，
当时，，
当时，，

解得  ．

故实数的取值范围是

14.【答案】 

【解析】因为方程的两个根都在内，

所以

解得

所以的取值范围为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法、韦达定理、三角形面积公式、向量的数量积公式的应用等，属于中档题．
由点差法求出，设直线方程为，联立抛物线方程和求出，可得直线过，再由结合韦达定理即可求解．
【解答】
解：设，是中点，
则满足
两式作差得，
即，
又，故．
设过直线方程为，
联立，消去化简整理可得
，则有，

又，即，
解得或，

因为异号，故，
则，直线方程为，则直线过，

．
即的面积为．

16.【答案】解析：因为函数的一个零点为，所以，解得．

当函数有两个不相等的零点时，，且，解得，且，故的取值范围为且．

当函数有两个零点，且其中一个大于，一个小于时，有两种情况：若，则有，解得 若，则有，解得综上可得， ．

【解析】略
 

17.【答案】解析为奇函数．

证明：由题意得，解得或，即函数的定义域为或，关于原点对称，

又，所以函数为奇函数．

根据题意，设，．

易知在区间上，为增函数，

若函数在区间上单调递减，

则在上单调递减，故

若函数的值域为，

则，，即

则、为方程的两个不等的实数根，且，

设，则有解得，即实数的取值范围是

【解析】略
 

18.【答案】解析由题意得，二次函数的图象与轴的交点分别在区间和内，则故，即实数的取值范围是

由题意得，二次函数的图象与轴的交点在区间内，则 ，即实数的取值范围是

【解析】略
 

19.【答案】解函数对一切恒成立，

即对一切恒成立，

设，，

则当且仅当时等号成立，

所以，即，所以的最小值为．

若函数的一个零点比大，另一个零点比小，由二次函数的图象可知，

当时，，即．

【解析】略
 

20.【答案】，，解得，

即的取值范围为．

，

且，是方程的两个根，

由根与系数的关系得解得，

不等式，化为，即，

对于方程，，它有两个实数根，解得，，

不等式的解集为 ．

【解析】略
 

21.【答案】解：由题意得，，

，
，．

已知关于的方程的一根为，

所以，

所以，，解得．

【解析】本题考查复数范围内方程的根及一元二次方程的根与系数的关系，属于中档题．
将的值进行代入，求出方程判别式，解方程即可；
将代入方程，将复数化为一般形式，利用复数相等可求得实数的值．
 

22.【答案】解由方程都是一元二次方程，知

方程有实数根的充要条件是

解得，且

方程有实数根的充要条件是

解得，且

所以或，

而，故或．

当时，方程为，无整数根

当时，

方程为，

方程为，均有整数根．

从而，方程和的根都是整数

反之，方程和的根都是整数故方程和的根都是整数的充要条件为，

【解析】略