2021-2022学年广东省深圳市南山区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省深圳市南山区八年级（下）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 对称美在生活中处处可见，下列是历届冬奥会的会徽，其中是中心对称图形的(    )

A.  B.
C.  D.

2. 如图，在平行四边形中，，为重足，如果，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

3. 如图，，，据此可以证明≌，证明的依据是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 关于的不等式的解集为，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，，，将沿方向向右平移得到，若四边形的面积为，则平移距离是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列式子中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，直线经过点，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
   步骤：以为圆心，以为半径画弧；
   步骤：以为圆心，以为半径画弧，交弧于点；
   步骤：连接、，再连接，与的延长线交于点．
   下列叙述正确的是(    )

A. 平分
B. 垂直平分线段
C.
D.

10. 如图，四边形中．，，为的平分线，，、分别是、的中点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 当 ______ 时，分式有意义．
12. 因式分解：______．
13. 如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______．

14. 如图，、、、是五边形的个外角，若，则______．

15. 对于任意两个非零实数、，定义新运算“”如下：，例如：若，则的值为______．

三．解答题（本题共7小题，共55分）

16. 解不等式：；
    解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．

17. 计算时，小明、小亮两位同学的解法如下：

判断：小明、小亮两位同学的解题过程有无错误？若无误，请直接跳到下一问；若有误，则找出现先出错的式子：______填序号．
请任选一种自己喜欢的解法，完成解答．

18. 如图，在正方形网格中建立直角坐标系，每个小正方形的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标依次为：，，．
    将以点为旋转中心旋转，得到，点、的对应点分别为点、请在网格图中画出．
    将平移至，其中点、、的对应点分别为点、、，且点的坐标为，请在图中画出平移后的．
    在第、小题基础上，若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为______直接写出答案

19. 如图，在四边形中．，的平分线交于点，与的延长线交于点，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，，求平行四边形面积．

20. 我们学习了一元一次不等式组的解法，请阅读学习一元二次不等式的解题思想方法，并以此解决后面的问题．
    课题学习：如何解一元二次不等式？
    例题：解一元二次不等式．
    解：将分解因式
    
    
    根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，
    则有：或
    解不等式组得：
    解不等式组得：
    的解集为或即：一元二次不等式的解集为或．
    课题总结：解一元二次不等式的过程，体现了数学的化归思想及分类讨论思想．
    问题解决：
    解一元二次不等式；
    类比一元二次不等式的解题思想方法，直接写出分式不等式的解集为：______．
21. 南山荔枝，中国国家地理标志产品，品种多样，其中糯米糍是最受大家喜爱的品种．某水果店上午购进了一批总价为元的糯米糍，很快销售一空．下午，水果店老板又补购了元的糯米糍，单价每斤比上午便宜了元，并且下午的补货量恰好是的上午的一半．
    糯米糍上午的进价是多少元斤？
    上午和下午按相同的价格出售，若售完总利润率不低于，则销售单价至少为多少元斤？
22. 如图是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿射线方向以的速度运动，当不与点重合时，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接、，设点运动了，
    
    点的运动过程中，线段与的数量关系是______，请以图情形为例当点在线段上时，点与点不重合，说明理由，
    当时，如图，周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由．
    当点在射线上运动时，是否存在以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出此时的值______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质可得，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
和均为直角三角形．
，
≌．
依据图形可得到，然后依据全等三角形的判定定理进行判断即可．
考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
D、右边不是整式的积的形式含有分式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故选：．
利用因式分解的定义判断即可．
此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
 

5.【答案】 

【解析】解：关于的不等式的解集为，
，
解得，
故选：．
根据不等式的解集为，知，解之即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
沿向右平移得到，
，，
四边形为平行四边形，
四边形的面积等于，
，即，
，
即平移距离等于．
故选：．
先根据含度的直角三角形的性质得到，再根据平移的性质得，，于是可判断四边形为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到的方程，则可计算出，即得平移距离．
本题考查了含角的直角三角形的性质，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的判定与性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意．
B、，故B不符合题意．
C、，故C不符合题意．
D、，故D不符合题意．
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：观察图象知：当时，，
故选：．
结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作图可知，，，
垂直平分线段，
故选：．
根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，．
，
，
，
为的平分线，
，
，
，
连接并延长交于，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是的中点，
．
故选：．
根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，连接并延长交于，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论．
此题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，解得：．
故答案是：．
分式有意义，则分母不等于，据此即可得到关于的不等式求得的范围．
本题考查了分式的定义，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
直接运用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，平分，，，
，
，
，
故答案为：．
根据角平分线的性质得出，再代入求出即可．
本题考查了角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
．
故答案为：．
直接利用多边形外角和为，进而得出的外角，根据邻补角的定义得出答案．
此题主要考查了多边形的外角和的性质，正确得出的邻补角的度数是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
则；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】依次移项、合并同类项、系数化为可得答案；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：中应为：，
故选．
选第一种解法，
．
逐步分析两位同学的做法，找出出错的式子．
任选其一，利用通分，化简即可解出答案．
本题考查了分式的加减法运算规则，关键在于对于能判断并正确运算．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；
由点与关于点对称，点与关于对称，
则旋转中心的坐标为，
故答案为：．
根据旋转的性质，可画出．
根据平移的性质，可画出．
根据旋转的性质，旋转中心在对应点连线的垂直平分线上可得答案．
本题主要考查了作图旋转变换，平移变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

19.【答案】证明：平分，
，
，
，

，
，
四边形是平行四边形，
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积．
故平行四边形面积为． 

【解析】由角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可证，即可得结论；
由等腰三角形的性质可求，可得，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用平行四边形的判定是本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
解得；解得，
故答案为：或；
分式不等式，
或，
解得；解无解．
故分式不等式的解集为．
故答案为：．
利用因式分解法得到，把原不等式可转化为或，然后解两个不等式组即可；
利用分式的性质，把原不等式可转化为或，然后解两个不等式组即可．
此题考查了不等式组的解法，利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘除，同号得正，异号得负的取符号法则．
 

21.【答案】解：设糯米糍上午的进价为元斤，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
答：糯米糍上午的进价为元斤；
设销售单价为元斤，
上午的进货量为斤，下午的进货量为斤，
根据题意，得，
解得，
答：销售单价至少为元斤． 

【解析】设糯米糍上午的进价为元斤，根据“下午的补货量恰好是的上午的一半”列分式方程，求解即可；
设销售单价为元斤，根据“售完总利润率不低于”列一元一次不等式，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用等，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
 

22.【答案】  或 

【解析】解：，理由如下：
将线段绕点逆时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
存在，当时，
由知，，
，
由知，是等边三角形，
，
，
由垂线段最短可知，当时，的周长最小，
此时，，
的最小周长；
存在，当点与点重合时，，，不能构成三角形，
当点与点重合时，不符合题意，
当时，由旋转可知，，，
，
由可知，是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，不存在直角三角形．
如图，当时，由旋转的性质可知，，
又由知，
，
而，
，
只能，
从而，
，
，
，
综上所述：当或时，以、、为顶点的三角形是直角三角形，
故答案为：或．
由旋转的性质得到，，进而证得≌，即可得到结论；
当时，由旋转的性质得到，于是得到，根据等边三角形的性质得到，由垂线段最短得到当时，的周长最小，于是得到结论；
存在，当点与点重合时，，，不能构成三角形，当时，由旋转的性质得到，，求得，根据等边三角形的性质得到，求得，求得，于是得到；当
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．