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2020年四川省泸州市中考数学试卷
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这是一份2020年四川省泸州市中考数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题．，填空题．等内容，欢迎下载使用。
2020年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（3分）2的倒数是（ ）
A．12 B．-12 C．2 D．﹣2
2．（3分）将867000用科学记数法表示为（ ）
A．867×103 B．8.67×104 C．8.67×105 D．8.67×106
3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到的对应点A'的坐标为（ ）
A．（2，7） B．（﹣6，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣1）
5．（3分）下列正多边形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．x3﹣x2＝x C．x2•x3＝x6 D．（x3）2＝x6
7．（3分）如图，⊙O中，AB=AC，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
8．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：
课外阅读时间（小时）
0.5
1
1.5
2
人数
2
3
4
1
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（ ）
A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25 和4
9．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
10．（3分）已知关于x的分式方程mx-1+2=-31-x的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN=GNMG=5-12，后人把5-12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（ ）
A．10﹣45 B．35-5 C．5-252 D．20﹣85
12．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13．（3分）函数y=x-2的自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）若xa+1y3与12x4y3是同类项，则a的值是 ．
15．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为 ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（6分）计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cos60°+（13）﹣1．
18．（6分）如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．
19．（6分）化简：（x+2x+1）÷x2-1x．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油1L所行使的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
（1）求n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数；
（3）从被抽取的耗油1L所行使路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．
21．（7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=32x+b的图象与反比例函数y=12x的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
23．（8分）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．
（1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．
①求直线BD的解析式；
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．
2020年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（3分）2的倒数是（ ）
A．12 B．-12 C．2 D．﹣2
【解答】解：2的倒数是12．
故选：A．
2．（3分）将867000用科学记数法表示为（ ）
A．867×103 B．8.67×104 C．8.67×105 D．8.67×106
【解答】解：867000＝8.67×105，
故选：C．
3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．
故选：B．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到的对应点A'的坐标为（ ）
A．（2，7） B．（﹣6，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：∵将点A（﹣2，3）先向右平移4个单位，
∴点A的对应点A′的坐标是（﹣2+4，3），即（2，3）．
故选：C．
5．（3分）下列正多边形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．正方形是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．正五边形不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．正六边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．正八边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
6．（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．x3﹣x2＝x C．x2•x3＝x6 D．（x3）2＝x6
【解答】解：A．x2与x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．x3与﹣x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．x2•x3＝x5，故本选项不合题意；
D．（x3）2＝x6，故本选项符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图，⊙O中，AB=AC，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．
故选：C．
8．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：
课外阅读时间（小时）
0.5
1
1.5
2
人数
2
3
4
1
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（ ）
A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25 和4
【解答】解：10名学生的每天阅读时间的平均数为0.5×2+1×3+1.4×4+2×12+3+4+1=1.2；
学生平均每天阅读时间出现次数最多的是1.5小时，共出现4次，因此众数是1.5；
故选：A．
9．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；
B、矩形的对角线互相相等，不是垂直，原命题是假命题；
C、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题；
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，是真命题；
故选：B．
10．（3分）已知关于x的分式方程mx-1+2=-31-x的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：去分母，得：m+2（x﹣1）＝3，
移项、合并，得：x=5-m2，
∵分式方程的解为非负数，
∴5﹣m≥0且5-m2≠1，
解得：m≤5且m≠3，
∴正整数解有1，2，4，5共4个，
故选：B．
11．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN=GNMG=5-12，后人把5-12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（ ）
A．10﹣45 B．35-5 C．5-252 D．20﹣85
【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH=12BC＝2，
在Rt△ABH中，AH=32-22=5，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE=5-12BC＝2（5-1）＝25-2，
∴HE＝BE﹣BH＝25-2﹣2＝25-4，
∴DE＝2HE＝45-8
∴S△ADE=12×（45-8）×5=10﹣45．
故选：A．
12．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点，
∴（﹣2b）2﹣4×1×（2b2﹣4c）≥0，即b2﹣4c≤0 ①，
由抛物线的对称轴x=--2b2=b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），
b=1-b+2b+c2，即，c＝b﹣1 ②，
②代入①得，b2﹣4（b﹣1）≤0，即（b﹣2）2≤0，因此b＝2，
c＝b﹣1＝2﹣1＝1，
∴b+c＝2+1＝3，
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13．（3分）函数y=x-2的自变量x的取值范围是 x≥2 ．
【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
14．（3分）若xa+1y3与12x4y3是同类项，则a的值是 3 ．
【解答】解：∵xa+1y3与12x4y3是同类项，
∴a+1＝4，
解得a＝3，
故答案为：3．
15．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是 2 ．
【解答】解：根据题意得则x1+x2＝4，x1x2＝﹣7
所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2
故答案为2．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为 43 ．
【解答】解：延长CE、DA交于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF＝3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF=AB2+AF2=42+32=5，
∵AD∥BC，
∴∠Q＝∠ECB，
∵E为AB的中点，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
在△QAE和△CBE中
∠QEA=∠BEC∠Q=∠ECBAE=BE
∴△QAE≌△CBE（AAS），
∴AQ＝BC＝6，
即QF＝6+3＝9，
∵AD∥BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴FMBM=QFBC=96，
∵BF＝5，
∴BM＝2，FM＝3，
延长BF和CD，交于W，如图2，
同理AB＝DM＝4，CW＝8，BF＝FM＝5，
∵AB∥CD，
∴△BNE∽△WND，
∴BNNF=BEDW，
∴BN5-BN+5=24，
解得：BN=103，
∴MN＝BN﹣BM=103-2=43，
故答案为：43．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（6分）计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cos60°+（13）﹣1．
【解答】解：原式＝5﹣1+2×12+3
＝5﹣1+1+3
＝8．
18．（6分）如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB＝AD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴BC＝CD．
19．（6分）化简：（x+2x+1）÷x2-1x．
【解答】解：原式=2x+2x×x(x+1)(x-1)=2(x+1)x×x(x+1)(x-1)=2x-1．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油1L所行使的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
（1）求n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数；
（3）从被抽取的耗油1L所行使路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．
【解答】解：（1）12÷30%＝40，即n＝40，
B组的车辆为：40﹣2﹣16﹣12﹣2＝8（辆），
补全频数分布直方图如图：
（2）600×2+840=150（辆），
即估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数为150辆；
（3）设行使路程在12≤x＜12.5范围内的2辆车记为为A、B，行使路程在14≤x＜14.5范围内的2辆车记为C、D，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2辆汽车来自同一范围的结果有4个，
∴抽取的2辆汽车来自同一范围的概率为412=13．
21．（7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？
【解答】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，
根据题意得30x+20（30﹣x）＝800，
解得x＝20，
则30﹣x＝10，
答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，
根据题意得 30﹣x≤3x，解得x≥7.5，
w＝30x+20（30﹣x）＝10x+600，
∵10＞0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝8时，w有最小值为：w＝10×8+600＝680．
答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=32x+b的图象与反比例函数y=12x的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）如图，
∵点A（a，6）在反比例函数y=12x的图象上，
∴6a＝12，
∴a＝2，
∴A（2，6），
把A（2，6）代入一次函数y=32x+b中得：32×2+b=6，
∴b＝3，
∴该一次函数的解析式为：y=32x+3；
（2）由y=32x+3y=12x得：x1=-4y1=-3，x2=2y2=6，
∴B（﹣4，﹣3），
当x＝0时，y＝3，即OC＝3，
∴△AOB的面积＝S△ACO+S△BCO=12×3×2+12×3×4=9．
23．（8分）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）．
【解答】解：过点C、D分别作CM⊥EF，DN⊥EF，垂足为M、N，
在Rt△AMC中，∵∠BAC＝45°，
∴AM＝MC，
在Rt△BMC中，∵∠ABC＝37°，tan∠ABC=CMBM，
∴BM=CMtan37°=43CM，
∵AB＝70＝AM+BM＝CM+43CM，
∴CM＝30＝DN，
在Rt△BDN中，∵∠DBN＝60°，
∴BN=DNtan60°=303=103，
∴CD＝MN＝MB+BN=43×30+103=40+103，
答：C，D两点间的距离为（40+103）米，
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．
（1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠AGD＝∠ABD，
∴∠AGD＝∠C；
（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BCAC=CDBC，
∴6AC=46，
∴AC＝9，
∴AB=AC2-BC2=35，
∵CE＝2AE，
∴AE＝3，CE＝6，
∵FH⊥AB，
∴FH∥BC，
∴△AHE∽△ABC，
∴AHAB=EHBC=AEAC，
∴AH35=EH6=39，
∴AH=5，EH＝2，
连接AF，BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AEH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠FAH＝∠BFH，
∴△AFH∽△FBH，
∴FHAH=BHFH，
∴FH5=25FH，
∴FH=10，
∴EF=10-2．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．
①求直线BD的解析式；
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）中，得﹣8a＝4，
∴a=-12，
∴抛物线的解析式为y=-12（x+2）（x﹣4）=-12x2+x+4；
（2）①如图1，
设直线AC的解析式为y＝kx+b'，
将点A（﹣2，0），C（0，4），代入y＝kx+b'中，得-2k+b'=0b'=4，
∴k=2b'=4，
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
过点E作EF⊥x轴于F，
∴OD∥EF，
∴△BOD∽△BFE，
∴OBBF=BDBE，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∵BD＝5DE，
∴BDBE=BDBD+DE=5DE5DE+BE=56，
∴BF=BEBD×OB=65×4=245，
∴OF＝BF﹣OB=245-4=45，
将x=-45代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×（-45）+4=125，
∴E（-45，125），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
∴4m+n=0-45m+n=125，
∴m=-12n=2，
∴直线BD的解析式为y=-12x+2；
②Ⅰ、当点R在直线l右侧时，
∵抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣2，0）和B（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点Q（1，1），
如图2，设点P（x，-12x2+x+4）（1＜x＜4），
过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H，
∴PG＝x﹣1，GQ=-12x2+x+4﹣1=-12x2+x+3，
∵PG⊥l，
∴∠PGQ＝90°，
∴∠GPQ+∠PQG＝90°，
∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°，
∴∠PQG+∠RQH＝90°，
∴∠GPQ＝∠HQR，
∴△PQG≌△QRH（AAS），
∴RH＝GQ=-12x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，
∴R（-12x2+x+4，2﹣x），
由①知，直线BD的解析式为y=-12x+2，
∴-12（-12x2+x+4）+2＝2﹣x，
∴x＝2或x＝4（舍），
当x＝2时，y=-12x2+x+4=-12×4+2+4＝4，
∴P（2，4），
Ⅱ、当点R在直线l左侧时，记作R'，
设点P'（x，-12x2+x+4）（1＜x＜4），
过点P'作P'G'⊥l于G'，过点R'作R'H'⊥l于H，
∴P'G'＝x﹣1，G'Q=-12x2+x+4﹣1=-12x2+x+3，
同Ⅰ的方法得，△P'QG'≌△QR'H'（AAS），
∴R'H'＝G'Q=-12x2+x+3，QH'＝P'G'＝x﹣1，
∴R'（12x2﹣x﹣2，x），
由①知，直线BD的解析式为y=-12x+2，
∴-12（12x2﹣x﹣2）+2＝x，
∴x＝﹣1+13或x＝﹣1-13（舍），
当x＝﹣1+13时，y=-12x2+x+4＝213-4，
∴P'（﹣1+13，213-4），
即满足条件的点P的坐标为（2，4）或（﹣1+13，213-4）．
2020年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（3分）2的倒数是（ ）
A．12 B．-12 C．2 D．﹣2
2．（3分）将867000用科学记数法表示为（ ）
A．867×103 B．8.67×104 C．8.67×105 D．8.67×106
3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到的对应点A'的坐标为（ ）
A．（2，7） B．（﹣6，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣1）
5．（3分）下列正多边形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．x3﹣x2＝x C．x2•x3＝x6 D．（x3）2＝x6
7．（3分）如图，⊙O中，AB=AC，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
8．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：
课外阅读时间（小时）
0.5
1
1.5
2
人数
2
3
4
1
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（ ）
A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25 和4
9．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
10．（3分）已知关于x的分式方程mx-1+2=-31-x的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN=GNMG=5-12，后人把5-12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（ ）
A．10﹣45 B．35-5 C．5-252 D．20﹣85
12．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13．（3分）函数y=x-2的自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）若xa+1y3与12x4y3是同类项，则a的值是 ．
15．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为 ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（6分）计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cos60°+（13）﹣1．
18．（6分）如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．
19．（6分）化简：（x+2x+1）÷x2-1x．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油1L所行使的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
（1）求n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数；
（3）从被抽取的耗油1L所行使路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．
21．（7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=32x+b的图象与反比例函数y=12x的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
23．（8分）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．
（1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．
①求直线BD的解析式；
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．
2020年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（3分）2的倒数是（ ）
A．12 B．-12 C．2 D．﹣2
【解答】解：2的倒数是12．
故选：A．
2．（3分）将867000用科学记数法表示为（ ）
A．867×103 B．8.67×104 C．8.67×105 D．8.67×106
【解答】解：867000＝8.67×105，
故选：C．
3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．
故选：B．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到的对应点A'的坐标为（ ）
A．（2，7） B．（﹣6，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：∵将点A（﹣2，3）先向右平移4个单位，
∴点A的对应点A′的坐标是（﹣2+4，3），即（2，3）．
故选：C．
5．（3分）下列正多边形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．正方形是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．正五边形不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．正六边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．正八边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
6．（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．x3﹣x2＝x C．x2•x3＝x6 D．（x3）2＝x6
【解答】解：A．x2与x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．x3与﹣x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．x2•x3＝x5，故本选项不合题意；
D．（x3）2＝x6，故本选项符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图，⊙O中，AB=AC，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．
故选：C．
8．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：
课外阅读时间（小时）
0.5
1
1.5
2
人数
2
3
4
1
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（ ）
A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25 和4
【解答】解：10名学生的每天阅读时间的平均数为0.5×2+1×3+1.4×4+2×12+3+4+1=1.2；
学生平均每天阅读时间出现次数最多的是1.5小时，共出现4次，因此众数是1.5；
故选：A．
9．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；
B、矩形的对角线互相相等，不是垂直，原命题是假命题；
C、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题；
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，是真命题；
故选：B．
10．（3分）已知关于x的分式方程mx-1+2=-31-x的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：去分母，得：m+2（x﹣1）＝3，
移项、合并，得：x=5-m2，
∵分式方程的解为非负数，
∴5﹣m≥0且5-m2≠1，
解得：m≤5且m≠3，
∴正整数解有1，2，4，5共4个，
故选：B．
11．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN=GNMG=5-12，后人把5-12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（ ）
A．10﹣45 B．35-5 C．5-252 D．20﹣85
【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH=12BC＝2，
在Rt△ABH中，AH=32-22=5，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE=5-12BC＝2（5-1）＝25-2，
∴HE＝BE﹣BH＝25-2﹣2＝25-4，
∴DE＝2HE＝45-8
∴S△ADE=12×（45-8）×5=10﹣45．
故选：A．
12．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点，
∴（﹣2b）2﹣4×1×（2b2﹣4c）≥0，即b2﹣4c≤0 ①，
由抛物线的对称轴x=--2b2=b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），
b=1-b+2b+c2，即，c＝b﹣1 ②，
②代入①得，b2﹣4（b﹣1）≤0，即（b﹣2）2≤0，因此b＝2，
c＝b﹣1＝2﹣1＝1，
∴b+c＝2+1＝3，
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13．（3分）函数y=x-2的自变量x的取值范围是 x≥2 ．
【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
14．（3分）若xa+1y3与12x4y3是同类项，则a的值是 3 ．
【解答】解：∵xa+1y3与12x4y3是同类项，
∴a+1＝4，
解得a＝3，
故答案为：3．
15．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是 2 ．
【解答】解：根据题意得则x1+x2＝4，x1x2＝﹣7
所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2
故答案为2．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为 43 ．
【解答】解：延长CE、DA交于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF＝3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF=AB2+AF2=42+32=5，
∵AD∥BC，
∴∠Q＝∠ECB，
∵E为AB的中点，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
在△QAE和△CBE中
∠QEA=∠BEC∠Q=∠ECBAE=BE
∴△QAE≌△CBE（AAS），
∴AQ＝BC＝6，
即QF＝6+3＝9，
∵AD∥BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴FMBM=QFBC=96，
∵BF＝5，
∴BM＝2，FM＝3，
延长BF和CD，交于W，如图2，
同理AB＝DM＝4，CW＝8，BF＝FM＝5，
∵AB∥CD，
∴△BNE∽△WND，
∴BNNF=BEDW，
∴BN5-BN+5=24，
解得：BN=103，
∴MN＝BN﹣BM=103-2=43，
故答案为：43．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（6分）计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cos60°+（13）﹣1．
【解答】解：原式＝5﹣1+2×12+3
＝5﹣1+1+3
＝8．
18．（6分）如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB＝AD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴BC＝CD．
19．（6分）化简：（x+2x+1）÷x2-1x．
【解答】解：原式=2x+2x×x(x+1)(x-1)=2(x+1)x×x(x+1)(x-1)=2x-1．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油1L所行使的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
（1）求n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数；
（3）从被抽取的耗油1L所行使路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．
【解答】解：（1）12÷30%＝40，即n＝40，
B组的车辆为：40﹣2﹣16﹣12﹣2＝8（辆），
补全频数分布直方图如图：
（2）600×2+840=150（辆），
即估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数为150辆；
（3）设行使路程在12≤x＜12.5范围内的2辆车记为为A、B，行使路程在14≤x＜14.5范围内的2辆车记为C、D，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2辆汽车来自同一范围的结果有4个，
∴抽取的2辆汽车来自同一范围的概率为412=13．
21．（7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？
【解答】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，
根据题意得30x+20（30﹣x）＝800，
解得x＝20，
则30﹣x＝10，
答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，
根据题意得 30﹣x≤3x，解得x≥7.5，
w＝30x+20（30﹣x）＝10x+600，
∵10＞0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝8时，w有最小值为：w＝10×8+600＝680．
答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=32x+b的图象与反比例函数y=12x的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）如图，
∵点A（a，6）在反比例函数y=12x的图象上，
∴6a＝12，
∴a＝2，
∴A（2，6），
把A（2，6）代入一次函数y=32x+b中得：32×2+b=6，
∴b＝3，
∴该一次函数的解析式为：y=32x+3；
（2）由y=32x+3y=12x得：x1=-4y1=-3，x2=2y2=6，
∴B（﹣4，﹣3），
当x＝0时，y＝3，即OC＝3，
∴△AOB的面积＝S△ACO+S△BCO=12×3×2+12×3×4=9．
23．（8分）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）．
【解答】解：过点C、D分别作CM⊥EF，DN⊥EF，垂足为M、N，
在Rt△AMC中，∵∠BAC＝45°，
∴AM＝MC，
在Rt△BMC中，∵∠ABC＝37°，tan∠ABC=CMBM，
∴BM=CMtan37°=43CM，
∵AB＝70＝AM+BM＝CM+43CM，
∴CM＝30＝DN，
在Rt△BDN中，∵∠DBN＝60°，
∴BN=DNtan60°=303=103，
∴CD＝MN＝MB+BN=43×30+103=40+103，
答：C，D两点间的距离为（40+103）米，
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．
（1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠AGD＝∠ABD，
∴∠AGD＝∠C；
（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BCAC=CDBC，
∴6AC=46，
∴AC＝9，
∴AB=AC2-BC2=35，
∵CE＝2AE，
∴AE＝3，CE＝6，
∵FH⊥AB，
∴FH∥BC，
∴△AHE∽△ABC，
∴AHAB=EHBC=AEAC，
∴AH35=EH6=39，
∴AH=5，EH＝2，
连接AF，BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AEH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠FAH＝∠BFH，
∴△AFH∽△FBH，
∴FHAH=BHFH，
∴FH5=25FH，
∴FH=10，
∴EF=10-2．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．
①求直线BD的解析式；
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）中，得﹣8a＝4，
∴a=-12，
∴抛物线的解析式为y=-12（x+2）（x﹣4）=-12x2+x+4；
（2）①如图1，
设直线AC的解析式为y＝kx+b'，
将点A（﹣2，0），C（0，4），代入y＝kx+b'中，得-2k+b'=0b'=4，
∴k=2b'=4，
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
过点E作EF⊥x轴于F，
∴OD∥EF，
∴△BOD∽△BFE，
∴OBBF=BDBE，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∵BD＝5DE，
∴BDBE=BDBD+DE=5DE5DE+BE=56，
∴BF=BEBD×OB=65×4=245，
∴OF＝BF﹣OB=245-4=45，
将x=-45代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×（-45）+4=125，
∴E（-45，125），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
∴4m+n=0-45m+n=125，
∴m=-12n=2，
∴直线BD的解析式为y=-12x+2；
②Ⅰ、当点R在直线l右侧时，
∵抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣2，0）和B（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点Q（1，1），
如图2，设点P（x，-12x2+x+4）（1＜x＜4），
过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H，
∴PG＝x﹣1，GQ=-12x2+x+4﹣1=-12x2+x+3，
∵PG⊥l，
∴∠PGQ＝90°，
∴∠GPQ+∠PQG＝90°，
∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°，
∴∠PQG+∠RQH＝90°，
∴∠GPQ＝∠HQR，
∴△PQG≌△QRH（AAS），
∴RH＝GQ=-12x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，
∴R（-12x2+x+4，2﹣x），
由①知，直线BD的解析式为y=-12x+2，
∴-12（-12x2+x+4）+2＝2﹣x，
∴x＝2或x＝4（舍），
当x＝2时，y=-12x2+x+4=-12×4+2+4＝4，
∴P（2，4），
Ⅱ、当点R在直线l左侧时，记作R'，
设点P'（x，-12x2+x+4）（1＜x＜4），
过点P'作P'G'⊥l于G'，过点R'作R'H'⊥l于H，
∴P'G'＝x﹣1，G'Q=-12x2+x+4﹣1=-12x2+x+3，
同Ⅰ的方法得，△P'QG'≌△QR'H'（AAS），
∴R'H'＝G'Q=-12x2+x+3，QH'＝P'G'＝x﹣1，
∴R'（12x2﹣x﹣2，x），
由①知，直线BD的解析式为y=-12x+2，
∴-12（12x2﹣x﹣2）+2＝x，
∴x＝﹣1+13或x＝﹣1-13（舍），
当x＝﹣1+13时，y=-12x2+x+4＝213-4，
∴P'（﹣1+13，213-4），
即满足条件的点P的坐标为（2，4）或（﹣1+13，213-4）．
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