长沙市周南中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题

长沙市周南中学2022年高二年级下学期

数学科期末考试试题

分量：150分    时量：120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点Z位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．利用独立性检验的方法调查高中生爱好某项运动与性别是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用列联表，计算可得，参照下表，得到的正确结论是（       ）

A．有99%的高中生爱好该项运动

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

D．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

4．函数为偶函数的一个充分条件是（       ）

A．  B．

C．  D．

5．已知点P（x，y）在直线上的运动，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

6．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（       ）

A．10 B．15 C．20 D．25

7．已知，则等于（       ）

A．1 B． C． D．

8．“熵”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为，其中i表示所有可能的微观态，表示微观态i出现的概率，为大于0的常数（称为玻尔兹曼常数）．则在以下四个系统中，混乱程度最高的是（       ）

A．  B．，

C．  D．，，

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（       ）

A．  B．若，则

C． D．若，，则

10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则（       ）

A． B． C． D．

11．已知函数，则下列结论中正确的是（       ）

A．的定义域是 B．是偶函数

C．在区间上是增函数 D．的图象关于直线对称

12．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（       ）

A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法

B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法

C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法

D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法

三、填空题（共20分．其中13~15题每题5分；16题第1空2分，第2空3分．）

13．随机变量，且，则p=________．

14．在的展开式中，其二项式系数和为64，则所有项的系数和为________．

15．记函数的导函数为．若，则________．

16．已知函数，当时，函数有________个零点；记函数的最大值为，则的最小值为_________．

四、解答题（共6个大题，满分70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（满分10分）已知数列（）满足：当n为奇数时，；当n为偶数时，．

（1）判断2023是否为数列（）中的项，并说明理由；

（2）若（），记数列的前n项和为 ，求．

18．（满分12分）已知△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AB=4．

（1）求AC；

（2）问线段BC上是否存在点D，使得AD=？如果存在，求线段BD的长；如果不存在，请说明理由．

19．（满分12分）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．

（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；

（2）若二面角A−EF−B是直二面角，求点B到平面GCF的距离．

20．（满分12分）“剧本杀”游戏，玩家通常在一间密闭的房间中，先由主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼或密室逃脱主题等．甲、乙、丙三个人组成团队参加某个“剧本杀”游戏，首先要解密码锁入局，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队入局，否则出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．

（1）求该团队能入局的概率；

（2）该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小？并说明理由．

21．（满分12分）已知F1（，0），F2（，0）为双曲线C的两个焦点，点P（2，）

在双曲线C上．

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点．

22．（满分12分）已知曲线在处的切线方程为．其中a、b均为实数．

（1）求的值；

（2）若是函数的极小值点，证明：．

 参考数据：，，，．