高中物理人教版 (2019)必修 第二册1 圆周运动教学设计

1．圆周运动

1．知道什么是匀速圆周运动，知道匀速圆周运动是变速运动。

2．理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算。

3．理解掌握v＝ωr和ω＝2πn等公式。

4．熟悉同轴转动和皮带传动的特点。

5．理解匀速圆周运动的多解问题。

1.线速度

(1)定义：物体做圆周运动通过的弧长与所用时间之比，v＝。

(2)意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢。

(3)方向：线速度是矢量，方向为物体做圆周运动时该点的切线方向，与半径垂直。

(4)匀速圆周运动

①定义：沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动。

②性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动，“匀速”是指速率不变。

2．角速度

(1)定义：物体做圆周运动转过的角度与所用时间之比，ω＝。

(2)意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。

(3)单位

①角的单位：弧度，符号是rad。

②角速度的单位：弧度每秒，符号是rad/s或s－1。

(4)匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。

3．周期

(1)周期T：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，单位：秒(s)。

(2)转速n：物体转动的圈数与所用时间之比，单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min)。

(3)周期和转速的关系：T＝(n单位是r/s)。

(4)周期和角速度的关系：T＝。

4．线速度与角速度的关系

(1)在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的乘积。

(2)公式：v＝ωr。

判一判

(1)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等。(　　)

(2)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同。(　　)

(3)匀速圆周运动是一种匀速运动。(　　)

提示：(1)√　做匀速圆周运动的物体，线速度大小处处相等，根据Δs＝vΔt，相等时间内通过的弧长相等。

(2)×　做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移大小相等，但方向可能不同。

(3)×　匀速圆周运动的线速度方向是时刻变化的，故是一种变速运动。

想一想

若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和分针的周期各是多少？角速度之比是多少？

提示：秒针的周期T秒＝1 min＝60 s，分针的周期T分＝1 h＝3600 s。

由ω＝ 得 ＝＝。

课堂任务　描述圆周运动的物理量及其关系

仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。

活动1：闹钟和手表谁对？为什么？

提示：都对。比较的内容不一样，闹钟比的是线速度，手表比的是角速度，线速度闹钟的大，角速度两者相等。

活动2：闹钟所说的线速度是怎么得出的？利用手表的数据可以算出什么物理量？

提示：闹钟所说的线速度是根据v＝计算出来的，Δs是秒针针尖在Δt时间转过的弧长。根据手表所说的秒针针尖转一周的时间可以计算其角速度，角速度ω＝，Δθ是秒针针尖在Δt时间转过的弧度。

活动3：线速度和角速度有什么关系？

提示：设物体做圆周运动的半径为r，Δt时间内转过的弧长为Δs，弧长对应的圆心角为Δθ(单位：rad)，则Δs＝rΔθ。而物体做圆周运动的线速度v＝，角速度ω＝，代入上式可得到：v＝rω。

活动4：讨论、交流、展示，得出结论。

1．描述圆周运动的物理量及其关系汇总

2．线速度与角速度的关系的理解

(1)线速度的大小描述了做圆周运动的物体沿着圆弧运动的快慢，角速度的大小描述了物体与圆心连线扫过角度的快慢。

(2)由v＝rω知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r。

3．对匀速圆周运动的理解

(1)“匀速”的含义：

①线速度v的大小不变，即速率不变。

②转动角速度ω不变。

(2)F合≠0，a≠0：由于匀速圆周运动是曲线运动，速度的方向时刻发生变化，故匀速圆周运动是变速运动，其合外力和加速度一定不为零。

例1　做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求该物体做圆周运动时，

(1)线速度的大小；

(2)角速度的大小；

(3)周期的大小。

(1)线速度、角速度、周期的定义式各是什么？

提示：v＝；ω＝；T＝。

(2)线速度、角速度、周期的关系式是什么？

提示：v＝ωr，T＝＝。

[规范解答]　(1)依据线速度的定义式v＝可得：

v＝＝ m/s＝10 m/s。

(2)依据v＝ωr得：ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s。

(3)依据ω＝得：T＝＝ s＝4π s。

[完美答案]　(1)10 m/s　(2)0.5 rad/s　(3)4π s

匀速圆周运动快慢的描述

物体在做匀速圆周运动时(设其轨道半径为r)，可以用线速度v、角速度ω、周期T、转速n来描述其运动的快慢。这些物理量之间的关系可以从它们的定义出发得到：v＝＝ωr＝2πnr，ω＝＝2πn。

　关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是(　　)

A．因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等，所以线速度恒定

B．如果物体在0.1 s内转过30°角，则角速度为300 rad/s

C．若半径r一定，则线速度与角速度成反比

D．若半径为r，周期为T，则线速度为v＝

答案　D

解析　物体做匀速圆周运动时，线速度大小恒定，方向沿圆周的切线方向，在不断地改变，故A错误；角速度ω＝＝ rad/s＝ rad/s，B错误；线速度与角速度的关系为v＝ωr，由该式可知，r一定时，v∝ω，C错误；由线速度的定义可得，在转动一周时有v＝，D正确。

课堂任务　同轴转动和皮带传动问题

仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。

活动1：图甲、乙中A、B两点分别有什么物理量是相同的？

提示：图甲A、B两点在自行车的同一条链条上，这决定了A、B两点的线速度大小是相等的。同一条链条上的所有点的线速度大小都一样。图乙的两个齿轮相同时间必定走过相同弧长，故图乙的A、B两点线速度大小相等。它们和图甲的A、B是类似的，同理还有皮带传动、摩擦小轮，由于边缘始终没有相对位移，相同时间必定走过相同弧长，我们可以总结为“同线的线速度相等”。

活动2：图甲中B、C两点有什么物理量是相同的？

提示：B、C的转轴相同，B转多少转，C一定同时转多少转，所以B、C角速度是相等的。我们称为“同轴转动”。

活动3：讨论、交流、展示，得出结论。

常见的传动装置及其特点

例2　如图所示的皮带传动装置，主动轮O1上两轮的半径分别为3r和r，从动轮O2的半径为2r，A、B、C分别为轮边缘上的三点，设皮带不打滑，求：

(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC＝________。

(2)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝________。

(1)A、B、C三点中，哪两点的角速度相等？哪两点的线速度大小相等？

提示：A、B两点的角速度相等，B、C两点的线速度大小相等。

(2)A、B两点的线速度与它们的半径成________；B、C 两点的角速度与它们的半径成________。

提示：正比　反比

[规范解答]　

(1)

⇒

(2)

⇒

[完美答案]　(1)3∶1∶1　(2)2∶2∶1

分析传动问题的关键

分析传动问题时，关键是要明确什么量相等，什么量不相等，在通常情况下，应抓住以下两个关键点：

(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr，与半径r成正比。

(2)链条和链条连接的轮子边缘线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝，与半径r成反比。

　一个圆环，以竖直直径AB为轴匀速转动，如图所示，求环上M、N两点的：

(1)角速度之比；

(2)线速度的大小之比。

答案　(1)1∶1　(2)∶1

解析　(1)M、N是同一环上的两点，它们与环具有相同的角速度，即ωM∶ωN＝1∶1。

(2)两点做圆周运动的半径之比rM∶rN＝sin60°∶sin30°＝∶1，故vM∶vN＝ωMrM∶ωNrN＝∶1。

课堂任务　圆周运动的周期性造成的多解问题

仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。

活动1：对准A点就能在最高点直接射中A点吗？

提示：不能，飞镖要做平抛运动，在竖直方向会向下运动。

活动2：飞镖射中A点时A点转动到哪个位置？

提示：A点做的是圆周运动，而飞镖在初速度所在竖直平面内做平抛运动，故射中A点时A点必定转到最低点的位置。

活动3：飞镖射中A点时A点一定转动半圈吗？

提示：不一定，飞镖射中A点时A点可能转动半圈，也可能是一圈半、两圈半……，总之是半圈的奇数倍。

活动4：讨论、交流、展示，得出结论。

圆周运动的周期性和多解性：匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。因匀速圆周运动具有周期性，使得一个事件可能在前一个周期中发生，也可能在后一个周期中发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的周期时，必须把各种可能都考虑进去。处理这类问题时，关键要把一个物体的运动时间t，与圆周运动的周期T建立起联系，这样才能较快地解决问题。

例3　如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上最高点A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是(　　)

A．dv＝L2g

B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2,3…)

C．v0＝ω

D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2,3…)

(1)飞镖击中A所需要的时间是多少？

提示：飞镖做平抛运动，飞镖击中A所需要的时间就是飞镖水平方向运动到A所在的竖直平面所需要的时间，即飞镖平抛时间：t＝。

(2)A被击中时，A转过的时间用角速度表示应该为多少？

提示：A被击中时，转过角度是半圈的奇数倍，即θ＝(2n＋1)π(n＝0,1,2,3…)，则A点转动的时间t＝。

[规范解答]　依题意飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝，平抛的时间t＝，则有＝(n＝0,1,2,3…)，B正确。平抛的竖直位移为d，则d＝gt2，联合t＝得dv＝L2g，A错误。d＝gt2联合t＝解得dω2＝gπ2·(2n＋1)2(n＝0,1,2,3…)，D错误。v0不是圆盘上A点的线速度，v0与ω不满足v＝ωr，C错误。

[完美答案]　B

解决圆周运动的多解问题的关键

(1)把一个物体的运动时间t，与圆周运动的周期T建立起联系。

(2)会利用运动规律列出两个运动的时间相等的表达式。

　如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度及圆盘转动的角速度ω的大小。

答案　R 　2nπ (n＝1,2,3…)

解析　设球在空中运动时间为t，此圆盘转过θ角，

则R＝vt，h＝gt2

故初速度v＝R，t＝，

由题意知θ＝n·2π(n＝1,2,3…)

又因为θ＝ωt，

则圆盘角速度ω＝＝2nπ (n＝1,2,3…)。

A组：合格性水平训练

1．(对匀速圆周运动的认识)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中不正确的是(　　)

A．相等的时间内通过的路程相等

B．相等的时间内通过的弧长相等

C．相等的时间内通过的位移相同

D．在任何相等的时间里，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等

答案　C

解析　匀速圆周运动是指线速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，A、B、D正确；相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，故C错误。

2．(角速度、周期和转速)(多选)一精准转动的机械钟表，下列说法正确的是(　　)

A．秒针转动的周期最长

B．时针转动的转速最小

C．秒针转动的角速度最大

D．秒针的角速度为 rad/s

答案　BCD

解析　秒针转动的周期最短，角速度最大，A错误，C正确；时针转动的周期最长，转速最小，B正确；秒针的角速度为ω＝ rad/s＝ rad/s，故D正确。

3. (线速度与角速度)如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺上的三个点，当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是(　　)

A．a、b和c三点的线速度大小相等

B．a、b和c三点的角速度大小相等

C．a、b的角速度比c的大

D．c的线速度比a、b的大

答案　B

解析　同一物体上的三点绕同一竖直轴转动，因此角速度相同，B正确，C错误；c的半径最小，故它的线速度最小，a、b的半径相同，二者的线速度大小相等，A、D错误。

4. (传动问题)如图所示，甲、乙、丙三个齿轮(齿未画出)的半径分别为r1、r2、r3，并且r1＜r2＜r3。若甲齿轮的角速度为ω1，则丙齿轮的角速度为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　A

解析　甲、乙、丙三个齿轮边缘上各点的线速度大小相等，即r1ω1＝r2ω2＝r3ω3，所以ω3＝，A正确。

5. (传动问题)如图所示是自行车传动结构的示意图，其中A是半径为r1的大齿轮，B是半径为r2的小齿轮，C是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　前进速度即为后轮的线速度，由于同轴转动的轮上的各点的角速度相等，A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等，可得ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2，又ω1＝2πn，v＝ω3r3，所以v＝。C正确。

6. (传动问题)如图所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，当主动轮以角速度ω顺时针转动时，从动轮的运动情况是(　　)

A．顺时针转动，周期为

B．逆时针转动，周期为

C．顺时针转动，周期为

D．逆时针转动，周期为

答案　B

解析　主动轮顺时针转动，从动轮逆时针转动，两轮边缘的线速度大小相等，由齿数关系知主动轮转一周时，从动轮转三周，故T从＝T主＝·＝，B正确。

7．(圆周运动各物理量间的关系)发动机的曲轴每分钟转2400周，求：

(1)曲轴转动的周期与角速度；

(2)距转轴r＝0.2 m的点的线速度大小。

答案　(1) s　80π rad/s　(2)16π m/s

解析　(1)由于曲轴每秒钟转＝40(周)，周期T＝ s；而每转一周角度为2π rad，因此曲轴转动的角速度ω＝2π×40 rad/s＝80π rad/s。

(2)已知r＝0.2 m，因此这一点的线速度v＝ωr＝80π×0.2 m/s＝16π m/s。

8. (传动问题)如图所示为皮带传动装置，皮带轮的圆心分别为O、O′，A、C为皮带轮边缘上的点，B为AO连线上的一点，RB＝RA，RC＝RA，当皮带轮匀速转动时，皮带与皮带轮之间不打滑，求A、B、C三点的角速度大小之比、线速度大小之比。

答案　2∶2∶3　2∶1∶2

解析　由题意可知，A、B两点在同一轮上，因此ωA＝ωB，

又皮带不打滑，所以vA＝vC，

故可得ωC＝＝＝ωA，

所以ωA∶ωB∶ωC＝ωA∶ωA∶ωA＝2∶2∶3。

又vB＝RB·ωB＝RA·ωA＝，

所以vA∶vB∶vC＝vA∶vA∶vA＝2∶1∶2。

9．(圆周运动各物理量间的关系)地球半径R＝6400 km，站在赤道上的人和站在北纬60°上的人随地球转动的角速度分别是多大？他们的线速度分别是多大？

答案　7.3×10－5 rad/s　7.3×10－5 rad/s　467.2 m/s　233.6 m/s

解析　画出地球自转示意图，如图所示，设赤道上的人站在A点，北纬60°上的人站在B点，地球自转角速度固定不变，A、B两点的角速度相同，有

ωA＝ωB＝＝ rad/s＝7.3×10－5 rad/s

依题意可知，A、B两处站立的人随地球自转做匀速圆周运动的半径分别为：RA＝R，RB＝Rcos60°，

则由v＝ωr可知，A、B两点的线速度分别为：

vA＝ωARA＝7.3×10－5×6400×103 m/s＝467.2 m/s

vB＝ωBRB＝7.3×10－5×6400×103× m/s＝233.6 m/s

即赤道上和北纬60°上的人随地球转动的角速度都为7.3×10－5 rad/s，赤道上和北纬60°上的人随地球转动的线速度分别为467.2 m/s和233.6 m/s。

B组：等级性水平训练

10. (线速度与角速度)两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图所示。当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　两球在同一杆上，旋转的角速度相等，均为ω，设两球的转动半径分别为r1、r2，则r1＋r2＝L。又知v1＝ωr1，v2＝ωr2，联立得r2＝，B正确。

11. (传动问题)(多选)如图所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是(　　)

A．从动轮做顺时针转动   B．从动轮做逆时针转动

C．从动轮的转速为n   D．从动轮的转速为n

答案　BC

解析　主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A错误，B正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v＝2πrn，可得两轮转速与半径成反比，所以C正确，D错误。

12. (圆周运动的综合问题)如图所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕过O点垂直于圆轮的轴匀速转动，轮上a、b两点与O的连线相互垂直，a、b两点均粘有一个小物体，当a点转至最低位置时，a、b两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上，圆轮最低点距地面高度为R。

(1)试判断圆轮的转动方向(说明判断理由)；

(2)求圆轮转动的角速度大小。

答案　(1)见解析　(2)

解析　(1)由题意知，a点处物体做平抛运动，若与b点处物体下落的时间相同，则b点处物体必须做竖直下抛运动，故知圆轮转动方向为逆时针方向。

(2)a点处物体平抛：R＝gt2①

b点处物体竖直下抛：2R＝v0t＋gt2②

由①②得v0＝③

又因ω＝④

由③④解得ω＝。

13. (圆周运动的多解问题)如图所示，小球Q在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，O点正上方有另一小球P在距圆周最高点h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？

答案　ω＝(4n＋1) (n＝0,1,2，3…)

解析　设P球自由下落到圆周最高点的时间为t，

由自由落体运动规律可得h＝gt2，解得t＝。

经过时间t，Q球由图示位置转至最高点，才能与P球在圆周最高点相碰，其做匀速圆周运动，设周期为T，有t＝(4n＋1)(n＝0,1,2,3…)

两式联立再由T＝得，(4n＋1)＝。

所以ω＝(4n＋1) (n＝0,1,2,3…)。