专题17 立体几何解答题-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编（全国通用版）

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编

专题17  立体几何解答题

1．(2022年全国甲卷理科·第18题)在四棱锥中，底面．

(1)证明：；

(2)求PD与平面所成的角的正弦值．

2．(2022年全国乙卷理科·第18题)如图，四面体中，，E为的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．

3．(2022新高考全国II卷·第20题)如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；

(2)若，，，求二面角正弦值．

4．(2022新高考全国I卷·第19题)如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

5．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第19题)在四棱锥中，底面是正方形，若．

(1)证明：平面平面；

(2)求二面角平面角的余弦值．

6．(2021年新高考Ⅰ卷·第20题)如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．

(1)证明：；

(2)若是边长为1等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

7．(2020年新高考I卷(山东卷)·第20题)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

(1)证明：l⊥平面PDC；

(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

8．(2020新高考II卷(海南卷)·第20题)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．

(1)证明：平面PDC；

(2)已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．

9．(2021年高考全国乙卷理科·第18题)如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．

(1)求；

(2)求二面角的正弦值．

10．(2021年高考全国甲卷理科·第19题)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点．

(1)证明：；

(2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第18题)如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值．

12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第20题)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；

(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．

13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．

(1)证明：点平面内；

(2)若，，，求二面角的正弦值．

14．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．

(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

(2)求图2中的二面角B−CG−A的大小．

15．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第17题)如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．

证明：平面；

若，求二面角的正弦值．

16．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第18题)如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，，的中点．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正弦值．

17．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第19题)(12分)如图，边长为的正方形所在平面与半圆弧所在的平面垂直，是弧上异于的点．

(1)证明：平面平面；

(2)当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

18．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第20题)(12分)

如图，在三棱锥中，，，为的中点．

(1)证明：平面；

(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．

19．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第18题)(12分)如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．

(1)证明:平面平面；

(2)求与平面所成角的正弦值．

20．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第18题)如图,在四棱锥中,,且．

(1)证明:平面平面;

(2)若,,求二面角的余弦值．

21．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．

(1)证明：平面平面；

(2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．

22．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)如图，四棱锥 中，侧面 为等比三角形且垂直于底面 ， 是 的中点．

(1)证明：直线 平面 ；

(2)点 在棱  上，且直线 与底面 所成锐角为 ，求二面角 的余弦值．

23．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)如图,四棱锥中,地面,AD∥BC,,,为线段上一点,,为的中点.

(Ⅰ)证明∥平面;

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.

24．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)(本小题满分)如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到的位置，．

(I)证明：平面；

(II)求二面角的正弦值．

25．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第18题)(本题满分为12分)如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．

(I)证明平面；

(II)求二面角的余弦值．

26．(2015高考数学新课标2理科·第19题)(本题满分12分)如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．

27．(2015高考数学新课标1理科·第18题)如图，四边形为菱形，，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，，．

(1)证明：平面⊥平面;

(2)求直线与直线所成角的余弦值．

28．(2014高考数学课标2理科·第18题)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(Ⅰ)证明：PB∥平面AEC；

(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积．

29．(2014高考数学课标1理科·第19题)如图三棱柱中,侧面为菱形,．

(1)证明:;

(2)若,,, 求二面角的余弦值．

30．(2013高考数学新课标2理科·第18题)如图，直三棱柱中，分别是的中点，

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正弦值．

31．(2013高考数学新课标1理科·第18题)如图，三棱柱中，．

(Ⅰ)证明;

(Ⅱ)若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值。