专题02 集合-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编（全国通用版）（解析版）

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2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题02 函数
一、选择题
1．(2022年全国乙卷理科·第12题)已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析：因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
．
因为，所以，即，所以．
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以．
所以．
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的对称性
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第12题
2．(2022新高考全国II卷·第8题)已知函数的定义域为R，且，则 (　　)
A． B． C．0 D．1
【答案】A
解析：因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以． 故选：A．
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的奇偶性\函数奇偶性的性质及其应用
【题目来源】2022新高考全国II卷·第8题
3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析:因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以4为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知,故选B．

【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数性质的综合应用
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题
4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第7题)已知，，，则下列判断正确的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
解析:，即,故选C．
【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数函数的图象与性质
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第7题
5．(2020年新高考I卷(山东卷)·第8题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
解析：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，故选：D．
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数性质的综合应用
【题目来源】2020年新高考I卷(山东卷)·第8题
6．(2020年新高考I卷(山东卷)·第6题)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出R0=3．28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0．69) (　　)
A．1．2天 B．1．8天
C．2．5天 D．3．5天
【答案】B
解析：因，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天． 故选：B．
【题目栏目】函数\函数模型及应用\对数函数模型
【题目来源】2020年新高考I卷(山东卷)·第6题
7．(2020新高考II卷(海南卷)·第8题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
解析：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，故选：D．
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数性质的综合应用
【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第8题
8．(2020新高考II卷(海南卷)·第7题)已知函数在上单调递增，则的取值范围是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析：由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以，故选：D
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的单调性\函数单调性的应用
【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第7题
9．(2021年高考全国乙卷理科·第12题)设，，．则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：,
所以;
下面比较与的大小关系．
记,则,，
由于
所以当0 所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b 综上，,
故选：B．
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的．
【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数式的化简与求值
【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第12题
10．(2021年高考全国乙卷理科·第4题)设函数，则下列函数中为奇函数的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数．
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题．
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的奇偶性\函数奇偶性的判断
【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第4题
11．(2021年高考全国甲卷理科·第12题)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析：因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．



所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
【题目栏目】函数\函数的综合问题
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第12题
12．(2021年高考全国甲卷理科·第4题)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为 (　　)()
A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．6
【答案】C
解析：由，当时，，
则．
故选：C．
【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数式的化简与求值
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第4题
13．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第12题)若，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以．
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误．
故选：B．
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题．
【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数函数的图象与性质
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第12题
14．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第5题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是 (　　)
AB．C．D．
【答案】D
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是．
故选：D．
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题．
【题目栏目】函数\函数模型及应用\对数函数模型
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第5题
15．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题)若，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定．
故选：A．
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想．
【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数函数的图象与性质
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题
16．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第9题)设函数，则f(x) (　　)
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
解析：由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论．
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数性质的综合应用
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第9题
17．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0．05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0．95，则至少需要志愿者 (　　)
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
解析：由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，
，,故需要志愿者名．
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题．
【题目栏目】函数\函数模型及应用\函数的应用问题
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题
18．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则 (　　)
Aa 【答案】A
解析：由题意可知、、，
，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得．
综上所述，．
故选：A．
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题．
【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数函数的图象与性质
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题
19．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0．95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为 (　　)(ln19≈3)
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
解析：，所以，则，
所以，，解得．
故选：C．
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题．
【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数式的化简与求值
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题
20．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第11题)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】是上的偶函数，．
，又在(0，+∞)单调递减，，
，故选C．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小是解决本题的关键．
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数性质的综合应用
【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第11题
21．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第7题)函数在的图像大致为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又，排除选项A、D，故选B．
【点评】本题通过判断函数的奇偶性，缩小选项范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．在解决图象类问题时，我们时常关注的是对称性、奇偶性，特殊值，求导判断函数单调性，极限思想等方法。
【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图
【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第7题
22．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第12题)设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵时，，，∴，即右移个单位，图像变为原来的倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，∴(舍)，∴，，∴时，成立，即，∴，故选B ．

(说明：以上图形是来自@)
【点评】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．
易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
【题目栏目】函数\函数的图像\函数图像的变换
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第12题
23．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第4题)年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：．设．由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得．将其代入到中，可得，所以，故．
【点评】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
【题目栏目】函数\基本初等函数\指数与指数函数\指数式与根式的计算
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第4题
24．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第5题)函数在的图象大致为 (　　)

【答案】D
解析：显然为奇函数，故排除A，当在轴右侧开始取值时，，排除C，
又，故选D．
【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第5题
25．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第7题)函数的图象大致为 (　　)

【答案】D
解析：易知函数为偶函数，而，所以当时，；当时，，所以函数在、上单调递增，在、上单调递减，故选D．
【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第7题
26．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第11题)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 (　　)
A． B．0 C．2 D．50
【答案】C
解析：因为是定义域为的奇函数，且满足，
所以，即，所以，，因此是周期函数且．
又，
且，所以，
所以，故选C．
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的周期性
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第11题
27．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第3题)函数的图象大致为 (　　)

【答案】B
解析：因为，，所以为奇函数，排除A；，排除D；
因为，当时，，函数单调递增，排除C．故选B．
【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第3题
28．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第9题)已知函数，．若存在个零点，则的取值范围是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
解析：由得，作出函数和的图象如图

当直线的截距，即时，两个函数的图象都有2个交点，即函数存在2个零点，故实数的取值范围是，故选C．
【题目栏目】函数\函数与方程\函数零点或方程根的个数问题
【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第9题
29．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第11题)设为正数,且,则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令,则,,
∴,则
,则,故选D．
【考点】指、对数运算性质
【点评】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,在用这个常数表示出对应的,通过作差或作商进行比较大小．对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式和与的对数表示．
【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数式的化简与求值
【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第11题
30．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第5题)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】因为为奇函数且在上单调递减,要使成立,则满足,所以由得,即使成立的满足,选D．
【考点】函数的奇偶性、单调性
【点评】奇偶性与单调性的综合问题,要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题,若在上为单调递增的奇函数,且,则,反之亦成立．
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的单调性\函数单调性的应用
【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第5题
31．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第11题)已知函数有唯一零点，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：，设，
当时，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，若，函数和没有交点，当时，时，函数和有一个交点，即，所以，故选C．
法二：由条件，，得：



所以，即为的对称轴
由题意，有唯一零点，∴的零点只能为即
解得．
【考点】函数的零点;导函数研究函数的单调性,分类讨论的数学思想
【点评】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用．
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的对称性
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第11题
32．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图．

根据该折线图,下列结论错误的是 (　　)
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
【答案】 A
【解析】观察折线图,每年7月到8月折线图呈下降趋势,月接待游客量减少,故选项A说法错误;
折线图整体呈现出增长的趋势,年接待游客量逐年增加,故选项B说法正确;
每年的接待游客量七、八月份达到最高点,即各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故选项C说法正确;
每年1月至6月的折线图比较平稳,月接待游客量波动性较小,而每年7月至12月的折线图不平稳,波动性较大,故选项D说法正确．
故选A．
【考点】折线图
【点评】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,就得到一条折线,我们称这条折线为本组数据的频率折线图,频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距,即折线图是频率分布直方图的近似,他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律．
【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题
33．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知,,,则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为,,故选A.
【题目栏目】函数\基本初等函数\幂函数
【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题
34．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为C．B点表示四月的平均最低气温约为C．下面叙述不正确的是 (　　)
A．各月的平均最低气温都在C以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于C的月份有5个

【答案】D
【解析】由图可知C均在阴影框内,所以各月的平均最低气温都在C以上,A正确;由图可知在七月的平均温差大于C,而一月的平均温差小于C,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在C,基本相同,C正确;由图可知平均最高气温高于C的月份有3个或2个,所以D不正确.故选D.
【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图
【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题
35．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第12题)已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的图像的对称中心为
又函数满足，所以图像的对称中心为：
所以，故选Ｂ
【点评】零点代数和问题系属研究对称性，确定交点的个数即可获解．
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的对称性
【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第12题
36．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第8题)若，则 (　　)
(A)(B)(C)(D)
【答案】C 【解析】对A： 由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误；对B： 由于，∴函数在上单调递减，
∴，B错误；对C： 要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和
构造函数，则，在上单调递增，因此
又由得，∴，C正确
对D： 要比较和，只需比较和
而函数在上单调递增，故
又由得，∴，D错误
故选C．
【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数函数的图象与性质
【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第8题
37．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第7题)函数在[–2,2]的图像大致为 (　　)
y

x

y

2

O

-2

1

C
x

2

O

-2

1

B
y

x

2

O

-2

1

A

x

2

O

-2

1

D

y


【答案】D【解析1】函数在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D．
【解析2】，排除A
，排除B
时，，当时，
因此在单调递减，排除C 故选D．
【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图
【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第7题
38．(2015高考数学新课标2理科·第10题)如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为 (　　)
D
P
C
B
O
A
x
(　　)

【答案】B
解析：由已知得，当点在边上运动时，即时，；当点在边上运动时，即时，，当时，；当点在边上运动时，即时，，从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．
考点：函数的图象和性质．
【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图
【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第10题
39．(2015高考数学新课标2理科·第5题)设函数, (　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
解析：由已知得，又，所以，故，故选C．
考点：分段函数．
【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数式的化简与求值
【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第5题
40．(2014高考数学课标1理科·第6题)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在[0,]上的图像大致为 (　　)


A B
(　　)
C D
【答案 】 B
解析:如图:过M作MD⊥OP于D,则 PM=,OM=,在中,MD=
,∴,选B．
．
考点:(1)函数图像的应用 (2)倍角公式的应用 (3)数形结合思想
难度:B
备注:高频考点
【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图
【题目来源】2014高考数学课标1理科·第6题
41．(2014高考数学课标1理科·第3题)设函数,的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是 (　　)
A．是偶函数 B．||是奇函数
C．||是奇函数 D．||是奇函数
【答案】 C
解析:设,则,∵是奇函数,是偶函数,∴,为奇函数,选C．
考点:(1)函数奇偶性的判断(2)函数与方程的思想
难度:A
备注:概念题
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的奇偶性\函数奇偶性的判断
【题目来源】2014高考数学课标1理科·第3题
42．(2013高考数学新课标2理科·第8题)设则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析： ,显然
考点：(1)2．5．1对数式的化简与求值；(2)2．5．2对数函数的图象与性质
难度： B
备注：高频考点
【题目栏目】函数\基本初等函数\对数与对数函数\对数函数的图象与性质
【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第8题
二、多选题
43．(2020新高考II卷(海南卷)·第9题)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是
(　　)
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
【答案】CD
解析：由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;
由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;
由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;
【题目栏目】函数\函数的图像\作图识图辨图
【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第9题
三、填空题
44．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第14题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】(答案不唯一，均满足)
解析:取，则，满足①，
，时有，满足②，的定义域为，
又，故是奇函数，满足③．故答案为(答案不唯一，均满足)
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数性质的综合应用
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第14题
45．(2021年新高考Ⅰ卷·第15题)函数的最小值为______．
【答案】1
解析:由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴,故答案为1．
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的最值
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第15题
46．(2021年新高考Ⅰ卷·第13题)已知函数是偶函数，则______．
【答案】1
解析:因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，故答案为：1
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的奇偶性\函数奇偶性的性质及其应用
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第13题
47．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第14题)已知是奇函数，且当时，．若，则　 　．
【答案】.
【解析】因为是奇函数，且当时，．又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
【点评】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的奇偶性\函数奇偶性的性质及其应用
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第14题
48．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第15题)设函数，则满足的的取值范围是 ．
【答案】
【解析】法一：因为
当时，；
当时，；
当时，由，可解得
综上可知满足的的取值范围是．
法二：，，即
由图象变换可画出与的图象如下：

由图可知，满足的解为．
法三：当且时，由得，得，又因为是上的增函数，所以当增大时，增大，所以满足的的取值范围是．
【考点】分段函数；分类讨论的思想
【点评】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
【题目栏目】函数\函数及其表示\分段函数
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第15题
49．(2015高考数学新课标1理科·第13题)若函数为偶函数，则
【答案】1
解析：由题知是奇函数，所以 =，解得=1．
考点：函数的奇偶性
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的奇偶性\函数奇偶性的判断
【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第13题
50．(2014高考数学课标2理科·第15题)已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是__________．
【答案】
解析：因为是偶函数，所以不等式，因为在上单调递减，所以，解得
考点：(1)函数单调性的应用；(2)函数奇偶性的应用；(3)绝对值不等式的解法
难度：C
备注：典型题
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的奇偶性\函数奇偶性的判断
【题目来源】2014高考数学课标2理科·第15题
51．(2013高考数学新课标1理科·第16题)若函数=的图像关于直线=－2对称，则的最大值是______．
【答案】16
解析：由图像关于直线=－2对称，则
0==，
0==，解得=8，=15，
∴=，
∴==
=
当∈(－∞,)∪(－2, )时，＞0，
当∈(,－2)∪(,+∞)时，＜0，
∴在(－∞，)单调递增，在(，－2)单调递减，在(－2，)单调递增，在(，+∞)单调递减，故当=和=时取极大值，==16．
考点:(1)2．3．4函数的对称性；(2)3．2．4导数与函数最值．
难度：Ｃ
备注：高频考点
【题目栏目】函数\函数的基本性质\函数的对称性
【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第16