湖南省张家界市普通高中2021-2022学年高一下学期期末联考数学试题（含答案）

张家界市2022年普通高中一年级第二学期期末联考

数学试题卷

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数的虚部是（    ）

A．    B．1    C．    D．3

2．能反映一组数据离散程度的是（    ）

A．众数    B．平均数   C．中位数   D．方差

3．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，若“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为（    ）

A．0.49    B．49    C．0.51    D．51

4．已知向量，，则与（    ）

A．平行且同向  B．平行且反向  C．垂直    D．不垂直也不平行

5．下列命题错误的是（    ）

A．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直

B．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行

C．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直

D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

6．已知与均为单位向量，且与的夹角为，则（    ）

A．2    B．    C．    D．1

7．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知在阳马PABCD中，侧棱底面ABCD，且，则直线PD与平面PAC所成角的正弦值等于（    ）

A．    B．    C．    D．

（第7题图）                （第8题图）

8．如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列关于向量的命题中为真命题的是（    ）

A．若，则     B．

C．若，，则   D．

10．为了尽快消除疫情影响，恢复旅游业的正常增长，某市相关部门，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论中正确的是（    ）

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份

D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

11．已知从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，若从两袋中各摸出一个球，则下列结论中正确的是（    ）

A．2个球都是红球的概率为   B．2个球不都是红球的概率为

C．至少有1个红球的概率为   D．2个球中恰有1个红球的概率为

12．如图，在正方体中，E是棱DD1的中点，F在侧面CDD1C1上运动，且满足平面A1BE．则下列命题中正确的有（    ）

A．侧面CDD1C1上存在点F，使得

B．直线B1F与直线CD1所成角可能为

C．三棱锥A1BEF的体积为定值

D．设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．           ．

14．某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：

视频率为概率，如果这名运动员只射击一次，则他命中的环数小于9环的概率为           ．

15．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则           ．

16．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.则B           ；面积的取值范围为           ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知向量，向量．

（1）当时，求实数x的值；

（2）当时，求向量与向量的夹角．

18．（12分）

已知复数在复平面内对应的点为Z．

（1）若，求（为z的共轭复数）；

（2）若点Z在直线上，求．

19．（12分）

在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知，，．

（1）求的值；

（2）求b的值．

20．（12分）

设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18．现采用分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．

（1）求从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；

（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．

①用所给编号列出所有可能的结果；

②设事件A为“编号为A3和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．

21．（12分）

某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如右图所示．

（1）求直方图中x的值，并估计复赛选手年龄的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数）；

（2）根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第75百分位数；

（3）决赛由8名专业评审、10名媒体评审和12名大众评审分别打分，打分均采用10分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为，，媒体得分的平均数和方差分别为，，大众得分的平均数和方差分别为，，将这30名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差（结果保留三位小数）．

附：方差．

22．（12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，

点E为棱PC的中点．

（1）证明：平面PAD；

（2）若F为棱PC上一点，满足，求三棱锥FABD的侧面FBD与底面ABCD所成二面角的余弦值．

张家界市2022年普通高中一年级第二学期期末联考

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．0    14．0.6

15．1    16．，（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

解：（1）当时，，解得：；

（2）当时，，，

∴当时，向量与向量的夹角为．

18．（12分）

解：（1）若，此时，．

；

（2）若点Z在直线上，则，即，

解得：或，此时或．

或．

19．（12分）

解：（1）在中，由正弦定理，

；

（2）在中，由余弦定理，

  （舍）．

20．（12分）

解：（1）由题意，甲、乙、丙三个乒乓球协会共有运动员2791854人

抽样比为，

∴从这三个协会中抽取的运动员的人数分别为3，1，2；

（2）①由题意，从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛所有可能结果为

，

，

共15种；

②编号为A3和A6的两名运动员中至少有1人被抽到所有可能结果为

，

，共9种

∴事件A发生的概率为．

（注：如有其它解法请酌情给分．）

21．（12分）

解：（1）由题意，

解得；，

39.6（岁）；

（2）通过计算知第75百分位数落在[45，50)区间内，设为t，

则，

解得，即第75百分位数为47；

（3）由

设该名选手最终的平均分为，最终方差为s2，

则（分），

估计该选手最终得分为8.933分，其得分方差为0.216．

（注：如有其它解法请酌情给分．）

22．（12分）

（1）证明：取PD的中点Q，连接AQ，EQ，则，且．

又，且  ，且

∴四边形ABEQ是  

平面PAD，平面PAD  平面PAD；

（2）解：F为棱PC上靠近P点的四等分点，理由如下：

分别取AD，AC中点ME，，连接EM，EB，

易知四边形ABEM为正方形，连接BM，交AE于点F，则．

又  ，

    底面ABCD  .

  平面  .

过F作于点G，连接FG，

底面ABCD  .

  平面  ．

即为所求二面角的平面角．

易知：.

设AC与BD交于点O，则，，

易得：，．

设点A到BD的距离为d，

在中，由得：．

由得：．

在中，，.

∴三棱锥FABD的侧面FBD与底面ABCD所成二面角的余弦值为．

（注：如有其它解法请酌情给分．）