华东师大版八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理练习含答案

14.1 勾股定理

1. 在△ABC中，∠B=90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，则a、b、c的关系是（  ）

    A．c2=a2+b2       B．a2=（b+c）（b-c ）      C．a2=c2-b2      D．b=a+c

知识点：勾股定理

知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，要正确的理解勾股定理的条件和结论，要明确斜边和直角边在定理中的区别。

答案：B

详细解答：在△ABC中，∠B=90°，∠B的对边b是斜边，所以b2=a2+c2。a2=（b +c）（b-c ）可变形为b2=a2+c2，所以选B

1. 下列说法正确的是（　　）

A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；

B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；

C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2；

D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则c2-b2＝a2。

答案：D

详细解答：A是错的，缺少直角条件；

B也是错的，不明确哪一边是斜边，无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方；

C也是错的，既然，那么a边才是斜边，应该是a2＝c2＋b2

D才是正确的，，那么c2＝a2+b2，即c2-b2＝a2.

2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为58cm,宽为46cm,则这台电视机的尺寸（即电视机屏幕的对角线长）是 (     )

A. 9英寸(23cm)   B. 21英寸(54cm)  C. 29英寸(74cm)     D.34英寸(87cm)

知识点：勾股定理的应用

知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。求某一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，作为三角形的边来求。

答案：C

详细解答：

如答图，四边形ABCD表示彩电屏幕，其长为58cm，即BC=58cm；宽为46cm，即AB=46cm。

在直角三角形ABC中，BC=58cm,AB=46cm,那么AC2=BC2+AB2=572+462=5365，所以AC=74cm，选C。

2.两只小鼹鼠在地下挖洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距(   )

A. 50cm         B. 80cm          C. 100cm       D. 140cm  

答案：C

详细解答：

如答图，一只小鼹鼠从B挖到C，BC=8cm×10=80cm，

另一只小鼹鼠从B挖到A，BA=6cm×10=60cm，

由题意可知两个方向互相垂直，

所以AC2=AB2+BC2=602+802=10000，所以AC=100 cm

3.已知一个三角形三个内角的比是1:2:1,则它的三条边的比是(   )

    A.1:1:    B.1:1:2     C.1::       D.1:4:1

知识点：等腰直角三角形、含30°角的直角三角形

知识点的描述：要求知道等腰直角三角形、含30°角的直角三角形的三边的比的来历，最好能记住三边之比。

答案：A

详细解答：

三角形三个内角的比是1:2:1，可以知道三个角分别为45°、90°、 45°，如答图，假设AB=1，那么BC=1，AC2=AB2+BC2=1+1=2，所以AC=，三条边的比是1:1:。

3．已知△ABC中，∠A=∠C=∠B，则它的三条边之比为（  ）．

    A．1：1：    B．1：：2    C．1：：    D．1：4：1

答案：B

详细解答：△ABC中，∠A=∠C=∠B，可求出∠A=30°，∠C=60°，∠B=90°，画出答图。

假设BC=1，那么AC=2，根据勾股定理得AB2=AC2-BC2=4-1=3，所以AB=，因此三边的比为1：：2。

4．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形的最小锐角为（     ）

（A）15°   （B）30°   （C）45°   （D）不能确定

知识点：勾股定理在数学中的应用

知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

答案：C

详细解答：由勾股定理得AC2=BC2+AB2，又已知斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，即AC2=2AB×BC，所以BC2+AB2=2AB×BC，得（BC-AB）2=0，所以BC=AB，所以三角形ABC是等腰直角三角形，最小锐角为45°。

4.如图所示,Rt△ABC中,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果AP=3,那么PP′长为（     ）

（A）4   （B）5   （C）6   （D）

答案：D

详细解答：由题意“将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合”知，△ABP≌△ACP′，

所以∠CAP′=∠BAP，AP′=AP，又因为∠BAC=90°，所以∠PAP′=90°，AP′=AP=3，

在直角三角形APP′中，PP′2= AP′2+AP2=32+32=18，所以PP′=

5．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（  ）

A．       B．-      C．2           D．-2

知识点：认识长度为无理数的线段

知识点的描述：在直角三角形中利用勾股定理，可以作出长度为无理数的线段

答案：B

详细解答：在Rt△BCD中，CB=BD=1，那么CD2=CB2+BD2=2，所以CD=，CA=CD=，因此点A所表示的数为-

5. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（     ）

A. 0          B. 1         C. 2       D. 3

答案：C

详细解答：在Rt△ABD中，AD=5，BD=1，那么AB2=AD2+BD2=26，AB=

在Rt△BCE中，BE=3，CE=2，那么BC2=BE2+CE2=13，BC=

在Rt△ACF中，AF=4，CF=3，那么AC2=AF2+CF2=25，AC=5

所以边长为无理数的边是：AB 和BC

6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（　　）

    A．5      B．25    C．   D．5或

知识点：两解问题

知识点的描述：在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。

答案：D

详细解答：如果两直角边长分别为3和4，那么第三边就是斜边，其长度为5；如果4是斜边，3是直角边，那么另一条直角边为。

6.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是(   )

    A.42      B.32     C.42或32     D.37或33

答案：C

详细解答：若高AD在△ABC内部，如图，

在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9

在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5

所以BC=BD+CD=9+5=14，这时周长为15+13+14=42

若高AD在△ABC外部，如图，

在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9

在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5

所以BC=BD-CD=9-5=4，这时周长为15+13+4=32

所以选C.

7．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（  ）

（A）6 m   （B）8 m  （C）10 m  （D）18 m 

知识点：构建直角三角形、勾股定理、实际问题

知识点的描述：在解决实际问题时，常常要构建直角三角形，构成勾股定理的模型，应用勾股定理解决实际问题

答案：C

详细解答：把实际问题转化为数学问题，如图,AB表示高8m的树，CD表示高2 m的树，小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为AD，过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。

在直角三角形AED中，DE=BC=8 m，AE=AB-EB=AB-CD=6m，从而AD2=AE2+DE2=62+82=100，所以AB=10 m。

7.一根高9米的旗杆在离地4米高处折断，折断处仍相连，此时在3.9米远处玩耍的身高为1米的小明是否有危险  (      )

 A．没有危险     B．有危险     C．可能有危险       D．无法判断

答案：B

详细解答：把实际问题转化为数学问题，如答图，

AB代表原旗杆的位置，AF表示折段的旗杆，CD表示小明，如果AD小于等于AF，就有危险，反之就没有危险。过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。

在直角三角形AED中，DE=BC=3.9，AE=AB-EB=AB-CD=3，从而AD2=AE2+DE2=32+3.92=24.21。

由题意知AF=5，所以AF2=25，显然AD小于AF，有危险。

8．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB（     ）.

A．10 m     B．11 m     C．12 m       D．15 m

知识点：方程的思想、勾股定理的实际应用问题

知识点的描述：在解决几何中的有关计算问题时，经常要用到代数中的方程，要形成用方程解决几何问题的思想意识。

答案：C

详细解答：设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，

∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，∴10+x=12（米）      

所以树高12 m  。

8.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为(     ).

A. 2m           B. 2.5m          C. 2.25m         D. 3m

答案：A

详细解答：画出如图所示的示意图，AB是竖直的竹竿，CB是拉向岸边的竹竿，CD是水面，

由题意知：CD=1.5 m，AD=0.5 m,假设河水的深度BD为x m，那么竹竿的高就是（x+0.5）m，所以CB=（x+0.5）m，直角三角形BDC中应用勾股定理得（x+0.5）2=x2+1.52，解得x=2，所以河水的深度为2m   

9.已知：如图，△ABC中，BC=4，∠A=45°，∠B=60°，那么AC=（      ）

（A）   （B）4   （C）6   （D）

知识点：转化的数学思想、勾股定理

知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。

答案：A （2也行）

分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°，添置AB边上的高这条辅助线，就可以得到直角三角形，在直角三角形中就可以求得一些线段的长度

详细解答：作AB边的高CD,如图，

在Rt△BDC中，∠B=60°，那么∠BCD=90°-60°=30°，BC=4，

那么BD=2,利用勾股定理可求出CD=；

在Rt△ADC中，∠A=45°，那么∠ACD=90°-45°=45°，所以AD=CD=，

那么利用勾股定理得AC2=AD2+CD2=24,所以AC=；

小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。请你思考本题还可以作其它辅助线吗？为什么？(注意利用特殊角)

9.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。四边形ABCD的面积为（     ）。

（A）20   （B）  

（C）  （D）16

答案：C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简，做到2-就可以了)

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。不妨几种方法都尝试一下，你会有很多收获的。

详细解答：延长AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 

∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=×4×-×2·=2-=

小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。另外作辅助线要充分考虑利用条件，一般情况下是不能把特殊角分割的。

10. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（   ）

A.      B.    C.   D.

知识点：“折叠”问题、勾股定理的应用

知识点的描述：“折叠”问题是数学中常见问题之一．解决问题的关键就是一定要搞清是怎样折叠的，尤其是原来的线段和角折叠到哪去了，理清已知和未知，找到能联系二者的直角三角形，利用勾股定理问题就迎刃而解。

答案：B

详细解答：假设CD=xcm，那么DE=CD=xcm，BD=（8-x）cm。

因为直角三角形纸片的两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边AB=10cm，

又AE=AC=6cm,所以EB=AB-AE=4(cm),

在Rt△EBD中，EB=4cm，DE=xcm，BD=（8-x）cm ，那么（8-x）2=x2+42，

解得x=3

所以CD=

10.如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，AD＝10cm，求EC的长(     )．

（A）3cm   （B）4cm 

（C）5cm   （D）6cm

答案：A

详细解答：

由折叠的过程可知．△AFE≌△ADE、AD＝AF，DE＝EF，在Rt△ABF中，AB＝8cm，AF＝10cm，BF2＝AF2－AB2＝102－82＝62，BF＝6，FC＝BC－BF＝10－6＝4cm，如果设CE＝xcm，DE＝(8－x)cm，所以EF＝(8－x)cm．

    在Rt△CEF中，EF2＝CF2＋CE2，用这个关系建立方程:(8－x)2＝42＋x2

解得x＝3，即CE的长为3cm．