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2022届贵州省六盘水市水城县文泰学校十校联考最后数学试题含解析
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这是一份2022届贵州省六盘水市水城县文泰学校十校联考最后数学试题含解析,共27页。试卷主要包含了-sin60°的倒数为等内容,欢迎下载使用。
2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.共享单车为市民短距离出行带来了极大便利.据2017年“深圳互联网自行车发展评估报告”披露,深圳市日均使用共享单车2590000人次,其中2590000用科学记数法表示为( )
A.259×104 B.25.9×105 C.2.59×106 D.0.259×107
2.下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,找到AC,BC的中点D,E,并且测出DE的长为10m,则A,B间的距离为( )
A.15m B.25m C.30m D.20m
4.的平方根是( )
A.2 B. C.±2 D.±
5.下列各曲线中表示y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
6.如图,BC∥DE,若∠A=35°,∠E=60°,则∠C等于( )
A.60° B.35° C.25° D.20°
7.△ABC的三条边长分别是5,13,12,则其外接圆半径和内切圆半径分别是( )
A.13,5 B.6.5,3 C.5,2 D.6.5,2
8.-sin60°的倒数为( )
A.-2 B. C.- D.-
9.世界因爱而美好,在今年我校的“献爱心”捐款活动中,九年级三班50名学生积极加献爱心捐款活动,班长将捐款情况进行了统计,并绘制成了统计图,根据图中提供的信息,捐款金额的众数和中位数分别是
A.20、20 B.30、20 C.30、30 D.20、30
10.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于(x1,0)、(x2,0)两点,且01;②a+b<2;③3a+b>0;④a<-1,其中正确结论的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图,直线AB∥CD,则下列结论正确的是( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠1+∠3=180° D.∠3+∠4=180°
12.矩形ABCD与CEFG,如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=( )
A.1 B. C. D.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.如图,已知是的高线,且,,则_________.
14.若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解,则m的值为______.
15.如图,小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上,并测得∠1=25°,则∠2的度数是_____.
16.某种商品两次降价后,每件售价从原来元降到元,平均每次降价的百分率是__________.
17.如图,已知△ABC中,∠ABC=50°,P为△ABC内一点,过点P的直线MN分別交AB、BC于点M、N.若M在PA的中垂线上,N在PC的中垂线上,则∠APC的度数为_____
18.计算=________.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)如图已知△ABC,点D是AB上一点,连接CD,请用尺规在边AC上求作点P,使得△PBC的面积与△DBC的面积相等(保留作图痕迹,不写做法)
20.(6分)先化简,再求值:,其中x=﹣1.
21.(6分)△ABC内接于⊙O,AC为⊙O的直径,∠A=60°,点D在AC上,连接BD作等边三角形BDE,连接OE.
如图1,求证:OE=AD;如图2,连接CE,求证:∠OCE=∠ABD;如图3,在(2)的条件下,延长EO交⊙O于点G,在OG上取点F,使OF=2OE,延长BD到点M使BD=DM,连接MF,若tan∠BMF=,OD=3,求线段CE的长.
22.(8分)如图,AB为半圆O的直径,AC是⊙O的一条弦,D为的中点,作DE⊥AC,交AB的延长线于点F,连接DA.求证:EF为半圆O的切线;若DA=DF=6,求阴影区域的面积.(结果保留根号和π)
23.(8分)如图,已知抛物线与轴交于两点(A点在B点的左边),与轴交于点.
(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求的值;
(2)如图1,在(1)的条件下,点在抛物线上,点在抛物线的对称轴上,若以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点的坐标;
(3)如图2,过点作直线的平行线交抛物线于另一点,交轴于点,若﹕=1﹕1. 求的值.
24.(10分)在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为,点N的坐标为,且,,我们规定:如果存在点P,使是以线段MN为直角边的等腰直角三角形,那么称点P为点M、N的“和谐点”.
(1)已知点A的坐标为,
①若点B的坐标为,在直线AB的上方,存在点A,B的“和谐点”C,直接写出点C的坐标;
②点C在直线x=5上,且点C为点A,B的“和谐点”,求直线AC的表达式.
(2)⊙O的半径为r,点为点、的“和谐点”,且DE=2,若使得与⊙O有交点,画出示意图直接写出半径r的取值范围.
25.(10分)先化简,再求值:,其中,.
26.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,O、D分别为AB、AC上的点,经过A、D两点的⊙O分别交于AB、AC于点E、F,且BC与⊙O相切于点D.
(1)求证:;
(2)当AC=2,CD=1时,求⊙O的面积.
27.(12分)某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年,该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完;2016年,这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒,该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完,礼盒的售价均为60元/盒.2014年这种礼盒的进价是多少元/盒?若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同,问年增长率是多少?
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、C
【解析】
绝对值大于1的正数可以科学计数法,a×10n,即可得出答案.
【详解】
n由左边第一个不为0的数字前面的0的个数决定,所以此处n=6.
【点睛】
本题考查了科学计数法的运用,熟悉掌握是解决本题的关键.
2、A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得.
【详解】A、是中心对称图形,故此选项正确;
B、不是中心对称图形,故此选项错误;
C、不是中心对称图形,故此选项错误;
D、不是中心对称图形,故此选项错误,
故选A.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形,熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键;把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
3、D
【解析】
根据三角形的中位线定理即可得到结果.
【详解】
解:由题意得AB=2DE=20cm,
故选D.
【点睛】
本题考查的是三角形的中位线,解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
4、D
【解析】
先化简,然后再根据平方根的定义求解即可.
【详解】
∵=2,2的平方根是±,
∴的平方根是±.
故选D.
【点睛】
本题考查了平方根的定义以及算术平方根,先把正确化简是解题的关键,本题比较容易出错.
5、D
【解析】
根据函数的意义可知:对于自变量x的任何值,y都有唯一的值与之相对应,故D正确.
故选D.
6、C
【解析】
先根据平行线的性质得出∠CBE=∠E=60°,再根据三角形的外角性质求出∠C的度数即可.
【详解】
∵BC∥DE,
∴∠CBE=∠E=60°,
∵∠A=35°,∠C+∠A=∠CBE,
∴∠C=∠CBE﹣∠C=60°﹣35°=25°,
故选C.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质,熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键.
7、D
【解析】
根据边长确定三角形为直角三角形,斜边即为外切圆直径,内切圆半径为,
【详解】
解:如下图,
∵△ABC的三条边长分别是5,13,12,且52+122=132,
∴△ABC是直角三角形,
其斜边为外切圆直径,
∴外切圆半径==6.5,
内切圆半径==2,
故选D.
【点睛】
本题考查了直角三角形内切圆和外切圆的半径,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
8、D
【解析】
分析:根据乘积为1的两个数互为倒数,求出它的倒数即可.
详解:
的倒数是.
故选D.
点睛:考查特殊角的三角函数和倒数的定义,熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
9、C
【解析】
分析:由表提供的信息可知,一组数据的众数是这组数中出现次数最多的数,而中位数则是将这组数据从小到大(或从大到小)依次排列时,处在最中间位置的数,据此可知这组数据的众数,中位数.
详解:根据右图提供的信息,捐款金额的众数和中位数分别是30,30.
故选C.
点睛:考查众数和中位数的概念,熟记概念是解题的关键.
10、A
【解析】
如图,
且图像与y轴交于点,
可知该抛物线的开口向下,即,
①当时,
故①错误.
②由图像可知,当时,
∴
∴
故②错误.
③∵
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
故③错误;
④∵,,
又∵,
∴.
故④正确.
故答案选A.
【点睛】
本题考查二次函数系数符号的确定由抛物线的开口方向、对称轴和抛物线与坐标轴的交点确定.
11、D
【解析】
分析:依据AB∥CD,可得∠3+∠5=180°,再根据∠5=∠4,即可得出∠3+∠4=180°.
详解:如图,∵AB∥CD,
∴∠3+∠5=180°,
又∵∠5=∠4,
∴∠3+∠4=180°,
故选D.
点睛:本题考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行,同旁内角互补.
12、C
【解析】
分析:延长GH交AD于点P,先证△APH≌△FGH得AP=GF=1,GH=PH=PG,再利用勾股定理求得PG=,从而得出答案.
详解:如图,延长GH交AD于点P,
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°,AD=BC=2、GF=CE=1,
∴AD∥GF,
∴∠GFH=∠PAH,
又∵H是AF的中点,
∴AH=FH,
在△APH和△FGH中,
∵,
∴△APH≌△FGH(ASA),
∴AP=GF=1,GH=PH=PG,
∴PD=AD﹣AP=1,
∵CG=2、CD=1,
∴DG=1,
则GH=PG=×=,
故选:C.
点睛:本题主要考查矩形的性质,解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13、4cm
【解析】
根据三角形的高线的定义得到,根据直角三角形的性质即可得到结论.
【详解】
解:∵是的高线,
∴,
∵,,
∴.
故答案为:4cm.
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线、高线,含30°角的直角三角形,熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.
14、1
【解析】
试题分析:将x=﹣1代入方程得:1﹣3+m+1=0,解得:m=1.
考点:一元二次方程的解.
15、35°
【解析】
分析:先根据两直线平行,内错角相等求出∠3,再根据直角三角形的性质用∠2=60°-∠3代入数据进行计算即可得解.
详解:∵直尺的两边互相平行,∠1=25°,
∴∠3=∠1=25°,
∴∠2=60°-∠3=60°-25°=35°.
故答案为35°.
点睛:本题考查了平行线的性质,三角板的知识,熟记平行线的性质是解题的关键.
16、
【解析】
设降价的百分率为x,则第一次降价后的单价是原来的(1−x),第二次降价后的单价是原来的(1−x)2,根据题意列方程解答即可.
【详解】
解:设降价的百分率为x,根据题意列方程得:
100×(1−x)2=81
解得x1=0.1,x2=1.9(不符合题意,舍去).
所以降价的百分率为0.1,即10%.
故答案为:10%.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用.找到关键描述语,根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.还要判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.
17、115°
【解析】
根据三角形的内角和得到∠BAC+∠ACB=130°,根据线段的垂直平分线的性质得到AM=PM,PN=CN,由等腰三角形的性质得到∠MAP=∠APM,∠CPN=∠PCN,推出∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=×130°=65°,于是得到结论.
【详解】
∵∠ABC=50°,
∴∠BAC+∠ACB=130°,
∵若M在PA的中垂线上,N在PC的中垂线上,
∴AM=PM,PN=CN,
∴∠MAP=∠APM,∠CPN=∠PCN,
∵∠APC=180°-∠APM-∠CPN=180°-∠PAC-∠ACP,
∴∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=×130°=65°,
∴∠APC=115°,
故答案为:115°
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和,熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.
18、1
【解析】
试题解析:3-2=1.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19、见解析
【解析】
三角形的面积相等即同底等高,所以以BC为两个三角形的公共底边,在AC边上寻找到与D到BC距离相等的点即可.
【详解】
作∠CDP=∠BCD,PD与AC的交点即P.
【点睛】
本题考查了三角形面积的灵活计算,还可以利用三角形的全等来进行解题.
20、.
【解析】
试题分析:
试题解析:原式=
=
=
当x=时,原式=.
考点:分式的化简求值.
21、 (1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)CE=.
【解析】
(1)连接OB,证明△ABD≌△OBE,即可证出OE=AD.
(2)连接OB,证明△OCE≌△OBE,则∠OCE=∠OBE,由(1)的全等可知∠ABD=∠OBE,则∠OCE=∠ABD.
(3)过点M作AB的平行线交AC于点Q,过点D作DN垂直EG于点N,则△ADB≌△MQD,四边形MQOG为平行四边形,∠DMF=∠EDN,再结合特殊角度和已知的线段长度求出CE的长度即可.
【详解】
解:(1)如图1所示,连接OB,
∵∠A=60°,OA=OB,
∴△AOB为等边三角形,
∴OA=OB=AB,∠A=∠ABO=∠AOB=60°,
∵△DBE为等边三角形,
∴DB=DE=BE,∠DBE=∠BDE=∠DEB=60°,
∴∠ABD=∠OBE,
∴△ADB≌△OBE(SAS),
∴OE=AD;
(2)如图2所示,
由(1)可知△ADB≌△OBE,
∴∠BOE=∠A=60°,∠ABD=∠OBE,
∵∠BOA=60°,
∴∠EOC=∠BOE =60°,
又∵OB=OC,OE=OE,
∴△BOE≌△COE(SAS),
∴∠OCE=∠OBE,
∴∠OCE=∠ABD;
(3)如图3所示,过点M作AB的平行线交AC于点Q,过点D作DN垂直EG于点N,
∵BD=DM,∠ADB=∠QDM,∠QMD=∠ABD,
∴△ADB≌△MQD(ASA),
∴AB=MQ,
∵∠A=60°,∠ABC=90°,
∴∠ACB=30°,
∴AB==AO=CO=OG,
∴MQ=OG,
∵AB∥GO,
∴MQ∥GO,
∴四边形MQOG为平行四边形,
设AD为x,则OE=x,OF=2x,
∵OD=3,
∴OA=OG=3+x,GF=3﹣x,
∵DQ=AD=x,
∴OQ=MG=3﹣x,
∴MG=GF,
∵∠DOG=60°,
∴∠MGF=120°,
∴∠GMF=∠GFM=30°,
∵∠QMD=∠ABD=∠ODE,∠ODN=30°,
∴∠DMF=∠EDN,
∵OD=3,
∴ON=,DN=,
∵tan∠BMF=,
∴tan∠NDE=,
∴ ,
解得x=1,
∴NE=,
∴DE=,
∴CE=.
故答案为(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)CE=.
【点睛】
本题考查圆的相关性质以及与圆有关的计算,全等三角形的性质和判定,第三问构造全等三角形找到与∠BMF相等的角为解题的关键.
22、(1)证明见解析 (2)﹣6π
【解析】
(1)直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF,即可得出答案;
(2)直接利用得出S△ACD=S△COD,再利用S阴影=S△AED﹣S扇形COD,求出答案.
【详解】
(1)证明:连接OD,
∵D为弧BC的中点,
∴∠CAD=∠BAD,
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ADO,
∴∠CAD=∠ADO,
∵DE⊥AC,
∴∠E=90°,
∴∠CAD+∠EDA=90°,即∠ADO+∠EDA=90°,
∴OD⊥EF,
∴EF为半圆O的切线;
(2)解:连接OC与CD,
∵DA=DF,
∴∠BAD=∠F,
∴∠BAD=∠F=∠CAD,
又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°,
∴∠F=30°,∠BAC=60°,
∵OC=OA,
∴△AOC为等边三角形,
∴∠AOC=60°,∠COB=120°,
∵OD⊥EF,∠F=30°,
∴∠DOF=60°,
在Rt△ODF中,DF=6,
∴OD=DF•tan30°=6,
在Rt△AED中,DA=6,∠CAD=30°,
∴DE=DA•sin30°=3,EA=DA•cos30°=9,
∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°,
由CO=DO,
∴△COD是等边三角形,
∴∠OCD=60°,
∴∠DCO=∠AOC=60°,
∴CD∥AB,
故S△ACD=S△COD,
∴S阴影=S△AED﹣S扇形COD==.
【点睛】
此题主要考查了切线的判定,圆周角定理,等边三角形的判定与性质,解直角三角形及扇形面积求法等知识,得出S△ACD=S△COD是解题关键.
23、 (1) ;(2) 和;(3)
【解析】
(1)设,,再根据根与系数的关系得到,根据勾股定理得到:、 ,根据列出方程,解方程即可;(2)求出A、B坐标,设出点Q坐标,利用平行四边形的性质,分类讨论点P坐标,利用全等的性质得出P点的横坐标后,分别代入抛物线解析式,求出P点坐标;
(3)过点作DH⊥轴于点,由::,可得::.设,可得 点坐标为,可得.设点坐标为.可证△∽△,利用相似性质列出方程整理可得到 ①,将代入抛物线上,可得②,联立①②解方程组,即可解答.
【详解】
解:设,,则是方程的两根,
∴.
∵已知抛物线与轴交于点.
∴
在△中:,在△中:,
∵△为直角三角形,由题意可知∠°,
∴,
即,
∴,
∴,
解得:,
又,
∴.
由可知:,令则,
∴,
∴.
①以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是四边形时,
设抛物线的对称轴为 ,l与交于点,过点作⊥l,垂足为点,
即∠°∠.
∵四边形为平行四边形,
∴∥,又l∥轴,
∴∠∠=∠,
∴△≌△,
∴,
∴点的横坐标为,
∴
即点坐标为.
②当以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是四边形时,
设抛物线的对称轴为 ,l与交于点,过点作⊥l,垂足为点,
即∠°∠.
∵四边形为平行四边形,
∴∥,又l∥轴,
∴∠∠=∠,
∴△≌△,
∴,
∴点的横坐标为,
∴
即点坐标为
∴符合条件的点坐标为和.
过点作DH⊥轴于点,
∵::,
∴::.
设,则点坐标为,
∴.
∵点在抛物线上,
∴点坐标为,
由(1)知,
∴,
∵∥,
∴△∽△,
∴,
∴,
即①,
又在抛物线上,
∴②,
将②代入①得:,
解得(舍去),
把代入②得:.
【点睛】
本题是代数几何综合题,考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质,解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想.
24、(1)①点C坐标为或;②y=x+2或y=-x+3;(2)或
【解析】
(1)①根据“和谐点”的定义即可解决问题;
②首先求出点C坐标,再利用待定系数法即可解决问题;
(2)分两种情形画出图形即可解决问题.
【详解】
(1)①如图1.
观察图象可知满足条件的点C坐标为C(1,5)或C'(3,5);
②如图2.
由图可知,B(5,3).
∵A(1,3),∴AB=3.
∵△ABC为等腰直角三角形,∴BC=3,∴C1(5,7)或C2(5,﹣1).
设直线AC的表达式为y=kx+b(k≠0),当C1(5,7)时,,∴,∴y=x+2,当C2(5,﹣1)时,,∴,∴y=﹣x+3.
综上所述:直线AC的表达式是y=x+2或y=﹣x+3.
(2)分两种情况讨论:
①当点F在点E左侧时:
连接OD.则OD=,∴.
②当点F在点E右侧时:
连接OE,OD.
∵E(1,2),D(1,3),∴OE=,OD=,∴.
综上所述:或.
【点睛】
本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、等腰直角三角形的判定和性质、“和谐点”的定义等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的首先思考问题,属于中考压轴题.
25、9
【解析】
根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式可以化简题目中的式子,然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题.
【详解】
当,时,
原式
【点睛】
本题考查整式的化简求值,解答本题的关键是明确整式化简求值的方法.
26、(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)连接OD,由BC为圆O的切线,得到OD垂直于BC,再由AC垂直于BC,得到OD与AC平行,利用两直线平行得到一对内错角相等,再由OA=OD,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到AD为角平分线,利用相等的圆周角所对的弧相等即可得证;
(2)连接ED,在直角三角形ACD中,由AC与CD的长,利用勾股定理求出AD的长,由(1)得出的两个圆周角相等,及一对直角相等得到三角形ACD与三角形ADE相似,由相似得比例求出AE的长,进而求出圆的半径,即可求出圆的面积.
【详解】
证明:连接OD,
∵BC为圆O的切线,
∴OD⊥CB,
∵AC⊥CB,
∴OD∥AC,
∴∠CAD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠OAD,
则 ;
(2)解:连接ED,
在Rt△ACD中,AC=2,CD=1,
根据勾股定理得:AD= ,
∵∠CAD=∠OAD,∠ACD=∠ADE=90°,
∴△ACD∽△ADE,
∴,即AD2=AC•AE,
∴AE=,即圆的半径为 ,
则圆的面积为 .
【点睛】
此题考查了切线的性质,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,以及勾股定理,熟练掌握相关性质是解本题的关键.
27、(1)35元/盒;(2)20%.
【解析】
试题分析:(1)设2014年这种礼盒的进价为x元/盒,则2016年这种礼盒的进价为(x﹣11)元/盒,根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)设年增长率为m,根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量,再根据2014年的销售利润×(1+增长率)2=2016年的销售利润,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论.
试题解析:(1)设2014年这种礼盒的进价为x元/盒,则2016年这种礼盒的进价为(x﹣11)元/盒,根据题意得:,解得:x=35,经检验,x=35是原方程的解.
答:2014年这种礼盒的进价是35元/盒.
(2)设年增长率为m,2014年的销售数量为3500÷35=100(盒).
根据题意得:(60﹣35)×100(1+a)2=(60﹣35+11)×100,解得:a=0.2=20%或a=﹣2.2(不合题意,舍去).
答:年增长率为20%.
考点:一元二次方程的应用;分式方程的应用;增长率问题.
2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.共享单车为市民短距离出行带来了极大便利.据2017年“深圳互联网自行车发展评估报告”披露,深圳市日均使用共享单车2590000人次,其中2590000用科学记数法表示为( )
A.259×104 B.25.9×105 C.2.59×106 D.0.259×107
2.下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,找到AC,BC的中点D,E,并且测出DE的长为10m,则A,B间的距离为( )
A.15m B.25m C.30m D.20m
4.的平方根是( )
A.2 B. C.±2 D.±
5.下列各曲线中表示y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
6.如图,BC∥DE,若∠A=35°,∠E=60°,则∠C等于( )
A.60° B.35° C.25° D.20°
7.△ABC的三条边长分别是5,13,12,则其外接圆半径和内切圆半径分别是( )
A.13,5 B.6.5,3 C.5,2 D.6.5,2
8.-sin60°的倒数为( )
A.-2 B. C.- D.-
9.世界因爱而美好,在今年我校的“献爱心”捐款活动中,九年级三班50名学生积极加献爱心捐款活动,班长将捐款情况进行了统计,并绘制成了统计图,根据图中提供的信息,捐款金额的众数和中位数分别是
A.20、20 B.30、20 C.30、30 D.20、30
10.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于(x1,0)、(x2,0)两点,且0
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图,直线AB∥CD,则下列结论正确的是( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠1+∠3=180° D.∠3+∠4=180°
12.矩形ABCD与CEFG,如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=( )
A.1 B. C. D.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.如图,已知是的高线,且,,则_________.
14.若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解,则m的值为______.
15.如图,小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上,并测得∠1=25°,则∠2的度数是_____.
16.某种商品两次降价后,每件售价从原来元降到元,平均每次降价的百分率是__________.
17.如图,已知△ABC中,∠ABC=50°,P为△ABC内一点,过点P的直线MN分別交AB、BC于点M、N.若M在PA的中垂线上,N在PC的中垂线上,则∠APC的度数为_____
18.计算=________.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)如图已知△ABC,点D是AB上一点,连接CD,请用尺规在边AC上求作点P,使得△PBC的面积与△DBC的面积相等(保留作图痕迹,不写做法)
20.(6分)先化简,再求值:,其中x=﹣1.
21.(6分)△ABC内接于⊙O,AC为⊙O的直径,∠A=60°,点D在AC上,连接BD作等边三角形BDE,连接OE.
如图1,求证:OE=AD;如图2,连接CE,求证:∠OCE=∠ABD;如图3,在(2)的条件下,延长EO交⊙O于点G,在OG上取点F,使OF=2OE,延长BD到点M使BD=DM,连接MF,若tan∠BMF=,OD=3,求线段CE的长.
22.(8分)如图,AB为半圆O的直径,AC是⊙O的一条弦,D为的中点,作DE⊥AC,交AB的延长线于点F,连接DA.求证:EF为半圆O的切线;若DA=DF=6,求阴影区域的面积.(结果保留根号和π)
23.(8分)如图,已知抛物线与轴交于两点(A点在B点的左边),与轴交于点.
(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求的值;
(2)如图1,在(1)的条件下,点在抛物线上,点在抛物线的对称轴上,若以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点的坐标;
(3)如图2,过点作直线的平行线交抛物线于另一点,交轴于点,若﹕=1﹕1. 求的值.
24.(10分)在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为,点N的坐标为,且,,我们规定:如果存在点P,使是以线段MN为直角边的等腰直角三角形,那么称点P为点M、N的“和谐点”.
(1)已知点A的坐标为,
①若点B的坐标为,在直线AB的上方,存在点A,B的“和谐点”C,直接写出点C的坐标;
②点C在直线x=5上,且点C为点A,B的“和谐点”,求直线AC的表达式.
(2)⊙O的半径为r,点为点、的“和谐点”,且DE=2,若使得与⊙O有交点,画出示意图直接写出半径r的取值范围.
25.(10分)先化简,再求值:,其中,.
26.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,O、D分别为AB、AC上的点,经过A、D两点的⊙O分别交于AB、AC于点E、F,且BC与⊙O相切于点D.
(1)求证:;
(2)当AC=2,CD=1时,求⊙O的面积.
27.(12分)某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年,该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完;2016年,这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒,该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完,礼盒的售价均为60元/盒.2014年这种礼盒的进价是多少元/盒?若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同,问年增长率是多少?
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、C
【解析】
绝对值大于1的正数可以科学计数法,a×10n,即可得出答案.
【详解】
n由左边第一个不为0的数字前面的0的个数决定,所以此处n=6.
【点睛】
本题考查了科学计数法的运用,熟悉掌握是解决本题的关键.
2、A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得.
【详解】A、是中心对称图形,故此选项正确;
B、不是中心对称图形,故此选项错误;
C、不是中心对称图形,故此选项错误;
D、不是中心对称图形,故此选项错误,
故选A.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形,熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键;把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
3、D
【解析】
根据三角形的中位线定理即可得到结果.
【详解】
解:由题意得AB=2DE=20cm,
故选D.
【点睛】
本题考查的是三角形的中位线,解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
4、D
【解析】
先化简,然后再根据平方根的定义求解即可.
【详解】
∵=2,2的平方根是±,
∴的平方根是±.
故选D.
【点睛】
本题考查了平方根的定义以及算术平方根,先把正确化简是解题的关键,本题比较容易出错.
5、D
【解析】
根据函数的意义可知:对于自变量x的任何值,y都有唯一的值与之相对应,故D正确.
故选D.
6、C
【解析】
先根据平行线的性质得出∠CBE=∠E=60°,再根据三角形的外角性质求出∠C的度数即可.
【详解】
∵BC∥DE,
∴∠CBE=∠E=60°,
∵∠A=35°,∠C+∠A=∠CBE,
∴∠C=∠CBE﹣∠C=60°﹣35°=25°,
故选C.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质,熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键.
7、D
【解析】
根据边长确定三角形为直角三角形,斜边即为外切圆直径,内切圆半径为,
【详解】
解:如下图,
∵△ABC的三条边长分别是5,13,12,且52+122=132,
∴△ABC是直角三角形,
其斜边为外切圆直径,
∴外切圆半径==6.5,
内切圆半径==2,
故选D.
【点睛】
本题考查了直角三角形内切圆和外切圆的半径,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
8、D
【解析】
分析:根据乘积为1的两个数互为倒数,求出它的倒数即可.
详解:
的倒数是.
故选D.
点睛:考查特殊角的三角函数和倒数的定义,熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
9、C
【解析】
分析:由表提供的信息可知,一组数据的众数是这组数中出现次数最多的数,而中位数则是将这组数据从小到大(或从大到小)依次排列时,处在最中间位置的数,据此可知这组数据的众数,中位数.
详解:根据右图提供的信息,捐款金额的众数和中位数分别是30,30.
故选C.
点睛:考查众数和中位数的概念,熟记概念是解题的关键.
10、A
【解析】
如图,
且图像与y轴交于点,
可知该抛物线的开口向下,即,
①当时,
故①错误.
②由图像可知,当时,
∴
∴
故②错误.
③∵
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
故③错误;
④∵,,
又∵,
∴.
故④正确.
故答案选A.
【点睛】
本题考查二次函数系数符号的确定由抛物线的开口方向、对称轴和抛物线与坐标轴的交点确定.
11、D
【解析】
分析:依据AB∥CD,可得∠3+∠5=180°,再根据∠5=∠4,即可得出∠3+∠4=180°.
详解:如图,∵AB∥CD,
∴∠3+∠5=180°,
又∵∠5=∠4,
∴∠3+∠4=180°,
故选D.
点睛:本题考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行,同旁内角互补.
12、C
【解析】
分析:延长GH交AD于点P,先证△APH≌△FGH得AP=GF=1,GH=PH=PG,再利用勾股定理求得PG=,从而得出答案.
详解:如图,延长GH交AD于点P,
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°,AD=BC=2、GF=CE=1,
∴AD∥GF,
∴∠GFH=∠PAH,
又∵H是AF的中点,
∴AH=FH,
在△APH和△FGH中,
∵,
∴△APH≌△FGH(ASA),
∴AP=GF=1,GH=PH=PG,
∴PD=AD﹣AP=1,
∵CG=2、CD=1,
∴DG=1,
则GH=PG=×=,
故选:C.
点睛:本题主要考查矩形的性质,解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13、4cm
【解析】
根据三角形的高线的定义得到,根据直角三角形的性质即可得到结论.
【详解】
解:∵是的高线,
∴,
∵,,
∴.
故答案为:4cm.
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线、高线,含30°角的直角三角形,熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.
14、1
【解析】
试题分析:将x=﹣1代入方程得:1﹣3+m+1=0,解得:m=1.
考点:一元二次方程的解.
15、35°
【解析】
分析:先根据两直线平行,内错角相等求出∠3,再根据直角三角形的性质用∠2=60°-∠3代入数据进行计算即可得解.
详解:∵直尺的两边互相平行,∠1=25°,
∴∠3=∠1=25°,
∴∠2=60°-∠3=60°-25°=35°.
故答案为35°.
点睛:本题考查了平行线的性质,三角板的知识,熟记平行线的性质是解题的关键.
16、
【解析】
设降价的百分率为x,则第一次降价后的单价是原来的(1−x),第二次降价后的单价是原来的(1−x)2,根据题意列方程解答即可.
【详解】
解:设降价的百分率为x,根据题意列方程得:
100×(1−x)2=81
解得x1=0.1,x2=1.9(不符合题意,舍去).
所以降价的百分率为0.1,即10%.
故答案为:10%.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用.找到关键描述语,根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.还要判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.
17、115°
【解析】
根据三角形的内角和得到∠BAC+∠ACB=130°,根据线段的垂直平分线的性质得到AM=PM,PN=CN,由等腰三角形的性质得到∠MAP=∠APM,∠CPN=∠PCN,推出∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=×130°=65°,于是得到结论.
【详解】
∵∠ABC=50°,
∴∠BAC+∠ACB=130°,
∵若M在PA的中垂线上,N在PC的中垂线上,
∴AM=PM,PN=CN,
∴∠MAP=∠APM,∠CPN=∠PCN,
∵∠APC=180°-∠APM-∠CPN=180°-∠PAC-∠ACP,
∴∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=×130°=65°,
∴∠APC=115°,
故答案为:115°
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和,熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.
18、1
【解析】
试题解析:3-2=1.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19、见解析
【解析】
三角形的面积相等即同底等高,所以以BC为两个三角形的公共底边,在AC边上寻找到与D到BC距离相等的点即可.
【详解】
作∠CDP=∠BCD,PD与AC的交点即P.
【点睛】
本题考查了三角形面积的灵活计算,还可以利用三角形的全等来进行解题.
20、.
【解析】
试题分析:
试题解析:原式=
=
=
当x=时,原式=.
考点:分式的化简求值.
21、 (1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)CE=.
【解析】
(1)连接OB,证明△ABD≌△OBE,即可证出OE=AD.
(2)连接OB,证明△OCE≌△OBE,则∠OCE=∠OBE,由(1)的全等可知∠ABD=∠OBE,则∠OCE=∠ABD.
(3)过点M作AB的平行线交AC于点Q,过点D作DN垂直EG于点N,则△ADB≌△MQD,四边形MQOG为平行四边形,∠DMF=∠EDN,再结合特殊角度和已知的线段长度求出CE的长度即可.
【详解】
解:(1)如图1所示,连接OB,
∵∠A=60°,OA=OB,
∴△AOB为等边三角形,
∴OA=OB=AB,∠A=∠ABO=∠AOB=60°,
∵△DBE为等边三角形,
∴DB=DE=BE,∠DBE=∠BDE=∠DEB=60°,
∴∠ABD=∠OBE,
∴△ADB≌△OBE(SAS),
∴OE=AD;
(2)如图2所示,
由(1)可知△ADB≌△OBE,
∴∠BOE=∠A=60°,∠ABD=∠OBE,
∵∠BOA=60°,
∴∠EOC=∠BOE =60°,
又∵OB=OC,OE=OE,
∴△BOE≌△COE(SAS),
∴∠OCE=∠OBE,
∴∠OCE=∠ABD;
(3)如图3所示,过点M作AB的平行线交AC于点Q,过点D作DN垂直EG于点N,
∵BD=DM,∠ADB=∠QDM,∠QMD=∠ABD,
∴△ADB≌△MQD(ASA),
∴AB=MQ,
∵∠A=60°,∠ABC=90°,
∴∠ACB=30°,
∴AB==AO=CO=OG,
∴MQ=OG,
∵AB∥GO,
∴MQ∥GO,
∴四边形MQOG为平行四边形,
设AD为x,则OE=x,OF=2x,
∵OD=3,
∴OA=OG=3+x,GF=3﹣x,
∵DQ=AD=x,
∴OQ=MG=3﹣x,
∴MG=GF,
∵∠DOG=60°,
∴∠MGF=120°,
∴∠GMF=∠GFM=30°,
∵∠QMD=∠ABD=∠ODE,∠ODN=30°,
∴∠DMF=∠EDN,
∵OD=3,
∴ON=,DN=,
∵tan∠BMF=,
∴tan∠NDE=,
∴ ,
解得x=1,
∴NE=,
∴DE=,
∴CE=.
故答案为(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)CE=.
【点睛】
本题考查圆的相关性质以及与圆有关的计算,全等三角形的性质和判定,第三问构造全等三角形找到与∠BMF相等的角为解题的关键.
22、(1)证明见解析 (2)﹣6π
【解析】
(1)直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF,即可得出答案;
(2)直接利用得出S△ACD=S△COD,再利用S阴影=S△AED﹣S扇形COD,求出答案.
【详解】
(1)证明:连接OD,
∵D为弧BC的中点,
∴∠CAD=∠BAD,
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ADO,
∴∠CAD=∠ADO,
∵DE⊥AC,
∴∠E=90°,
∴∠CAD+∠EDA=90°,即∠ADO+∠EDA=90°,
∴OD⊥EF,
∴EF为半圆O的切线;
(2)解:连接OC与CD,
∵DA=DF,
∴∠BAD=∠F,
∴∠BAD=∠F=∠CAD,
又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°,
∴∠F=30°,∠BAC=60°,
∵OC=OA,
∴△AOC为等边三角形,
∴∠AOC=60°,∠COB=120°,
∵OD⊥EF,∠F=30°,
∴∠DOF=60°,
在Rt△ODF中,DF=6,
∴OD=DF•tan30°=6,
在Rt△AED中,DA=6,∠CAD=30°,
∴DE=DA•sin30°=3,EA=DA•cos30°=9,
∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°,
由CO=DO,
∴△COD是等边三角形,
∴∠OCD=60°,
∴∠DCO=∠AOC=60°,
∴CD∥AB,
故S△ACD=S△COD,
∴S阴影=S△AED﹣S扇形COD==.
【点睛】
此题主要考查了切线的判定,圆周角定理,等边三角形的判定与性质,解直角三角形及扇形面积求法等知识,得出S△ACD=S△COD是解题关键.
23、 (1) ;(2) 和;(3)
【解析】
(1)设,,再根据根与系数的关系得到,根据勾股定理得到:、 ,根据列出方程,解方程即可;(2)求出A、B坐标,设出点Q坐标,利用平行四边形的性质,分类讨论点P坐标,利用全等的性质得出P点的横坐标后,分别代入抛物线解析式,求出P点坐标;
(3)过点作DH⊥轴于点,由::,可得::.设,可得 点坐标为,可得.设点坐标为.可证△∽△,利用相似性质列出方程整理可得到 ①,将代入抛物线上,可得②,联立①②解方程组,即可解答.
【详解】
解:设,,则是方程的两根,
∴.
∵已知抛物线与轴交于点.
∴
在△中:,在△中:,
∵△为直角三角形,由题意可知∠°,
∴,
即,
∴,
∴,
解得:,
又,
∴.
由可知:,令则,
∴,
∴.
①以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是四边形时,
设抛物线的对称轴为 ,l与交于点,过点作⊥l,垂足为点,
即∠°∠.
∵四边形为平行四边形,
∴∥,又l∥轴,
∴∠∠=∠,
∴△≌△,
∴,
∴点的横坐标为,
∴
即点坐标为.
②当以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是四边形时,
设抛物线的对称轴为 ,l与交于点,过点作⊥l,垂足为点,
即∠°∠.
∵四边形为平行四边形,
∴∥,又l∥轴,
∴∠∠=∠,
∴△≌△,
∴,
∴点的横坐标为,
∴
即点坐标为
∴符合条件的点坐标为和.
过点作DH⊥轴于点,
∵::,
∴::.
设,则点坐标为,
∴.
∵点在抛物线上,
∴点坐标为,
由(1)知,
∴,
∵∥,
∴△∽△,
∴,
∴,
即①,
又在抛物线上,
∴②,
将②代入①得:,
解得(舍去),
把代入②得:.
【点睛】
本题是代数几何综合题,考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质,解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想.
24、(1)①点C坐标为或;②y=x+2或y=-x+3;(2)或
【解析】
(1)①根据“和谐点”的定义即可解决问题;
②首先求出点C坐标,再利用待定系数法即可解决问题;
(2)分两种情形画出图形即可解决问题.
【详解】
(1)①如图1.
观察图象可知满足条件的点C坐标为C(1,5)或C'(3,5);
②如图2.
由图可知,B(5,3).
∵A(1,3),∴AB=3.
∵△ABC为等腰直角三角形,∴BC=3,∴C1(5,7)或C2(5,﹣1).
设直线AC的表达式为y=kx+b(k≠0),当C1(5,7)时,,∴,∴y=x+2,当C2(5,﹣1)时,,∴,∴y=﹣x+3.
综上所述:直线AC的表达式是y=x+2或y=﹣x+3.
(2)分两种情况讨论:
①当点F在点E左侧时:
连接OD.则OD=,∴.
②当点F在点E右侧时:
连接OE,OD.
∵E(1,2),D(1,3),∴OE=,OD=,∴.
综上所述:或.
【点睛】
本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、等腰直角三角形的判定和性质、“和谐点”的定义等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的首先思考问题,属于中考压轴题.
25、9
【解析】
根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式可以化简题目中的式子,然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题.
【详解】
当,时,
原式
【点睛】
本题考查整式的化简求值,解答本题的关键是明确整式化简求值的方法.
26、(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)连接OD,由BC为圆O的切线,得到OD垂直于BC,再由AC垂直于BC,得到OD与AC平行,利用两直线平行得到一对内错角相等,再由OA=OD,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到AD为角平分线,利用相等的圆周角所对的弧相等即可得证;
(2)连接ED,在直角三角形ACD中,由AC与CD的长,利用勾股定理求出AD的长,由(1)得出的两个圆周角相等,及一对直角相等得到三角形ACD与三角形ADE相似,由相似得比例求出AE的长,进而求出圆的半径,即可求出圆的面积.
【详解】
证明:连接OD,
∵BC为圆O的切线,
∴OD⊥CB,
∵AC⊥CB,
∴OD∥AC,
∴∠CAD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠OAD,
则 ;
(2)解:连接ED,
在Rt△ACD中,AC=2,CD=1,
根据勾股定理得:AD= ,
∵∠CAD=∠OAD,∠ACD=∠ADE=90°,
∴△ACD∽△ADE,
∴,即AD2=AC•AE,
∴AE=,即圆的半径为 ,
则圆的面积为 .
【点睛】
此题考查了切线的性质,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,以及勾股定理,熟练掌握相关性质是解本题的关键.
27、(1)35元/盒;(2)20%.
【解析】
试题分析:(1)设2014年这种礼盒的进价为x元/盒,则2016年这种礼盒的进价为(x﹣11)元/盒,根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)设年增长率为m,根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量,再根据2014年的销售利润×(1+增长率)2=2016年的销售利润,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论.
试题解析:(1)设2014年这种礼盒的进价为x元/盒,则2016年这种礼盒的进价为(x﹣11)元/盒,根据题意得:,解得:x=35,经检验,x=35是原方程的解.
答:2014年这种礼盒的进价是35元/盒.
(2)设年增长率为m,2014年的销售数量为3500÷35=100(盒).
根据题意得:(60﹣35)×100(1+a)2=(60﹣35+11)×100,解得:a=0.2=20%或a=﹣2.2(不合题意,舍去).
答:年增长率为20%.
考点:一元二次方程的应用;分式方程的应用;增长率问题.