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    2021-2022学年山东省青岛李沧区四校联考中考一模数学试题含解析
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    2021-2022学年山东省青岛李沧区四校联考中考一模数学试题含解析

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    这是一份2021-2022学年山东省青岛李沧区四校联考中考一模数学试题含解析,共20页。试卷主要包含了若  ,则括号内的数是,把直线l,下列命题中真命题是等内容,欢迎下载使用。

    2021-2022中考数学模拟试卷
    考生须知:
    1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
    2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
    3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。

    一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
    1.如图,CE,BF分别是△ABC的高线,连接EF,EF=6,BC=10,D、G分别是EF、BC的中点,则DG的长为 ( )

    A.6 B.5 C.4 D.3
    2. “车辆随机到达一个路口,遇到红灯”这个事件是( )
    A.不可能事件 B.不确定事件 C.确定事件 D.必然事件
    3.化简的结果为( )
    A.﹣1 B.1 C. D.
    4.若  ,则括号内的数是  
    A. B. C.2 D.8
    5.若代数式,,则M与N的大小关系是( )
    A. B. C. D.
    6.把直线l:y=kx+b绕着原点旋转180°,再向左平移1个单位长度后,经过点A(-2,0)和点B(0,4),则直线l的表达式是( )
    A.y=2x+2 B.y=2x-2 C.y=-2x+2 D.y=-2x-2
    7.如图,比例规是一种画图工具,它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成,利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OC,OB=3OD),然后张开两脚,使A,B两个尖端分别在线段a的两个端点上,当CD=1.8cm时,则AB的长为(  )

    A.7.2 cm B.5.4 cm C.3.6 cm D.0.6 cm
    8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M、N,再分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=18,则△ABD的面积是(  )

    A.18 B.36 C.54 D.72
    9.下列命题中真命题是( )
    A.若a2=b2,则a=b B.4的平方根是±2
    C.两个锐角之和一定是钝角 D.相等的两个角是对顶角
    10.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)(x-3),则a、b的值分别是( )
    A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3
    C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-3
    二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
    11.如图1,点P从扇形AOB的O点出发,沿O→A→B→0以1cm/s的速度匀速运动,图2是点P运动时,线段OP的长度y随时间x变化的关系图象,则扇形AOB中弦AB的长度为______cm.

    12.已知图中Rt△ABC,∠B=90°,AB=BC,斜边AC上的一点D,满足AD=AB,将线段AC绕点A逆时针旋转α (0°<α <360°),得到线段AC’,连接DC’,当DC’//BC时,旋转角度α 的值为_________,

    13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,AB的垂直平分线MN交AC于D,连接DB,若tan∠CBD=,则BD=_____.

    14.不等式组的整数解是_____.
    15.如果一个矩形的面积是40,两条对角线夹角的正切值是,那么它的一条对角线长是__________.
    16.若一个多边形每个内角为140°,则这个多边形的边数是________.
    17.函数y=的自变量x的取值范围是_____.
    三、解答题(共7小题,满分69分)
    18.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙O,交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F.
    (1)求证:EF是⊙O的切线.
    (2)如果⊙O的半径为5,sin∠ADE=,求BF的长.

    19.(5分)关于x的一元二次方程有两个实数根,则m的取值范围是(  )
    A.m≤1 B.m<1 C.﹣3≤m≤1 D.﹣3<m<1
    20.(8分)先化简,再求代数式()÷的值,其中x=sin60°,y=tan30°.
    21.(10分)如图,已知□ABCD的面积为S,点P、Q时是▱ABCD对角线BD的三等分点,延长AQ、AP,分别交BC,CD于点E,F,连结EF。甲,乙两位同学对条件进行分析后,甲得到结论①:“E是BC中点” .乙得到结论②:“四边形QEFP的面积为S”。请判断甲乙两位同学的结论是否正确,并说明理由.

    22.(10分)如图,平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,3),点B(,0),连接AB,若对于平面内一点C,当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时,称点C是线段AB的“等长点”.
    (1)在点C1(﹣2,3+2),点C2(0,﹣2),点C3(3+,﹣)中,线段AB的“等长点”是点________;
    (2)若点D(m,n)是线段AB的“等长点”,且∠DAB=60°,求点D的坐标;
    (3)若直线y=kx+3k上至少存在一个线段AB的“等长点”,求k的取值范围.

    23.(12分)某门市销售两种商品,甲种商品每件售价为300元,乙种商品每件售价为80元.该门市为促销制定了两种优惠方案:
    方案一:买一件甲种商品就赠送一件乙种商品;
    方案二:按购买金额打八折付款.
    某公司为奖励员工,购买了甲种商品20件,乙种商品x()件.
    (1)分别直接写出优惠方案一购买费用(元)、优惠方案二购买费用(元)与所买乙种商品x(件)之间的函数关系式;
    (2)若该公司共需要甲种商品20件,乙种商品40件.设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品,其余按方案二的优惠办法购买.请你写出总费用w与m之间的关系式;利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠.
    24.(14分)某校想了解学生每周的课外阅读时间情况,随机调查了部分学生,对学生每周的课外阅读时间x(单位:小时)进行分组整理,并绘制了如图所示的不完整的频数分别直方图和扇形统计图:

    根据图中提供的信息,解答下列问题:
    (1)补全频数分布直方图
    (2)求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角度数
    (3)请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数



    参考答案

    一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
    1、C
    【解析】
    连接EG、FG,根据斜边中线长为斜边一半的性质即可求得EG=FG=BC,因为D是EF中点,根据等腰三角形三线合一的性质可得GD⊥EF,再根据勾股定理即可得出答案.
    【详解】
    解:连接EG、FG,

    EG、FG分别为直角△BCE、直角△BCF的斜边中线,
    ∵直角三角形斜边中线长等于斜边长的一半
    ∴EG=FG=BC=×10=5,
    ∵D为EF中点
    ∴GD⊥EF,
    即∠EDG=90°,
    又∵D是EF的中点,
    ∴,
    在中,
    ,
    故选C.
    【点睛】
    本题考查了直角三角形中斜边 上中线等于斜边的一半的性质、勾股定理以及等腰三角形三线合一的性质,本题中根据等腰三角形三线合一的性质求得GD⊥EF是解题的关键.
    2、B
    【解析】
    根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.
    【详解】
    “车辆随机到达一个路口,遇到红灯”是随机事件.
    故选:.
    【点睛】
    本题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的实际;不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件;不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
    3、B
    【解析】
    先把分式进行通分,把异分母分式化为同分母分式,再把分子相加,即可求出答案.
    【详解】
    解:.
    故选B.
    4、C
    【解析】
    根据有理数的减法,减去一个数等于加上这个数的相反数,可得答案.
    【详解】
    解:,
    故选:C.
    【点睛】
    本题考查了有理数的减法,减去一个数等于加上这个数的相反数.
    5、C
    【解析】
    ∵,
    ∴,
    ∴.
    故选C.
    6、B
    【解析】
    先利用待定系数法求出直线AB的解析式,再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式,然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到直线l.
    【详解】
    解:设直线AB的解析式为y=mx+n.
    ∵A(−2,0),B(0,1),
    ∴ ,
    解得 ,
    ∴直线AB的解析式为y=2x+1.
    将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式为y=2(x−1)+1,即y=2x+2,
    再将y=2x+2绕着原点旋转180°后得到的解析式为−y=−2x+2,即y=2x−2,
    所以直线l的表达式是y=2x−2.
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查了一次函数图象平移问题,掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键.
    7、B
    【解析】
    【分析】由已知可证△ABO∽CDO,故 ,即.
    【详解】由已知可得,△ABO∽CDO,
    所以, ,
    所以,,
    所以,AB=5.4
    故选B
    【点睛】本题考核知识点:相似三角形. 解题关键点:熟记相似三角形的判定和性质.
    8、B
    【解析】
    根据题意可知AP为∠CAB的平分线,由角平分线的性质得出CD=DH,再由三角形的面积公式可得出结论.
    【详解】
    由题意可知AP为∠CAB的平分线,过点D作DH⊥AB于点H,

    ∵∠C=90°,CD=1,
    ∴CD=DH=1.
    ∵AB=18,
    ∴S△ABD=AB•DH=×18×1=36
    故选B.
    【点睛】
    本题考查的是作图-基本作图,熟知角平分线的作法是解答此题的关键.
    9、B
    【解析】
    利用对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义分别判断后即可确定正确的选项.
    【详解】
    A、若a2=b2,则a=±b,错误,是假命题;
    B、4的平方根是±2,正确,是真命题;
    C、两个锐角的和不一定是钝角,故错误,是假命题;
    D、相等的两个角不一定是对顶角,故错误,是假命题.
    故选B.
    【点睛】
    考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义,难度不大.
    10、B
    【解析】
    分析:根据整式的乘法,先还原多项式,然后对应求出a、b即可.
    详解:(x+1)(x-3)
    =x2-3x+x-3
    =x2-2x-3
    所以a=2,b=-3,
    故选B.
    点睛:此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系,利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.

    二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
    11、
    【解析】
    由图2可以计算出OB的长度,然后利用OB=OA可以计算出通过弦AB的长度.
    【详解】
    由图2得通过OB所用的时间为s,则OB的长度为1×2=2cm,则通过弧AB的时间为s,则弧长AB为,利用弧长公式,得出∠AOB=120°,即可以算出AB为.
    【点睛】
    本题主要考查了从图中提取信息的能力和弧长公式的运用及转换,熟练运用公式是本题的解题关键.
    12、15或255°
    【解析】
    如下图,设直线DC′与AB相交于点E,
    ∵Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC,DC′//BC,
    ∴∠AED=∠ABC=90°,∠ADE=∠ACB=∠BAC=45°,AB=AC,
    ∴AE=AD,
    又∵AD=AB,AC′=AC,
    ∴AE=AB=AC=AC′,
    ∴∠C′=30°,
    ∴∠EAC′=60°,
    ∴∠CAC′=60°-45°=15°, 即当DC′∥BC时,旋转角=15°;
    同理,当DC′′∥BC时,旋转角=180°-45°-60°=255°;
    综上所述,当旋转角=15°或255°时,DC′//BC.
    故答案为:15°或255°.

    13、2.
    【解析】
    由tan∠CBD== 设CD=3a、BC=4a,据此得出BD=AD=5a、AC=AD+CD=8a,由勾股定理可得(8a)2+(4a)2=82,解之求得a的值可得答案.
    【详解】
    解:在Rt△BCD中,∵tan∠CBD==,
    ∴设CD=3a、BC=4a,
    则BD=AD=5a,
    ∴AC=AD+CD=5a+3a=8a,
    在Rt△ABC中,由勾股定理可得(8a)2+(4a)2=82,
    解得:a= 或a=-(舍),
    则BD=5a=2,
    故答案为2.
    【点睛】
    本题考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,勾股定理的应用,解题关键是熟记性质与定理并准确识图.
    14、﹣1、0、1
    【解析】
    求出每个不等式的解集,根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集,即可得出答案.
    【详解】

    解不等式得:,
    解不等式得:,
    不等式组的解集为,
    不等式组的整数解为-1,0,1.
    故答案为:-1,0,1.
    【点睛】
    本题考查的知识点是一元一次不等式组的整数解,解题关键是注意解集范围从而得出整数解.
    15、1.
    【解析】
    如图,作BH⊥AC于H.由四边形ABCD是矩形,推出OA=OC=OD=OB,设OA=OC=OD=OB=5a,由tan∠BOH,可得BH=4a,OH=3a,由题意:21a×4a=40,求出a即可解决问题.
    【详解】
    如图,作BH⊥AC于H.

    ∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC=OD=OB,设OA=OC=OD=OB=5a.
    ∵tan∠BOH,∴BH=4a,OH=3a,由题意:21a×4a=40,∴a=1,∴AC=1.
    故答案为:1.
    【点睛】
    本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.
    16、九
    【解析】
    根据多边形的内角和定理:180°•(n-2)进行求解即可.
    【详解】
    由题意可得:180°×(n−2)=140°×n,
    解得n=9,
    故多边形是九边形.
    故答案为9.
    【点睛】
    本题考查了多边形的内角和定理,解题的关键是熟练的掌握多边形的内角和定理.
    17、x≥﹣且x≠1
    【解析】
    分析:根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式求解即可.
    详解:根据题意得2x+1≥0,x-1≠0,
    解得x≥-且x≠1.
    故答案为x≥-且x≠1.
    点睛:本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定,根据分母不等于0,被开方数大于等于0列式计算即可,是基础题,比较简单.

    三、解答题(共7小题,满分69分)
    18、(1)答案见解析;(2).
    【解析】
    试题分析:(1)连接OD,AB为⊙O的直径得∠ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形性质得AD平分BC,即DB=DC,则OD为△ABC的中位线,所以OD∥AC,而DE⊥AC,则OD⊥DE,然后根据切线的判定方法即可得到结论;
    (2)由∠DAC=∠DAB,根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,利用解直角三角形的方法可计算出AD=8,在Rt△ADE中可计算出AE=,然后由OD∥AE,得△FDO∽△FEA,再利用相似比可计算出BF.
    试题解析:(1)证明:连结OD

    ∵OD=OB∴∠ODB=∠DBO
    又AB=AC
    ∴∠DBO=∠C
    ∴∠ODB =∠C
    ∴OD ∥AC
    又DE⊥AC
    ∴DE ⊥OD
    ∴EF是⊙O的切线.
    (2)∵AB是直径
    ∴∠ADB=90 °
    ∴∠ADC=90 °
    即∠1+∠2=90 °又∠C+∠2=90 °
    ∴∠1=∠C
    ∴∠1 =∠3


    ∴AD=8
    在Rt△ADB中,AB=10∴BD=6
    在又Rt△AED中,

    设BF=x
    ∵OD ∥AE
    ∴△ODF∽△AEF
    ∴ ,即,
    解得:x=
    19、C
    【解析】
    利用二次根式有意义的条件和判别式的意义得到,然后解不等式组即可.
    【详解】
    根据题意得,
    解得-3≤m≤1.
    故选C.
    【点睛】
    本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.
    20、
    【解析】
    先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再计算x和y的值并代入进行计算即可
    【详解】
    原式






    ∴原式
    【点睛】
    考查分式的混合运算,掌握运算顺序是解题的关键.
    21、①结论一正确,理由见解析;②结论二正确,S四QEFP= S
    【解析】
    试题分析:
    (1)由已知条件易得△BEQ∽△DAQ,结合点Q是BD的三等分点可得BE:AD=BQ:DQ=1:2,再结合AD=BC即可得到BE:BC=1:2,从而可得点E是BC的中点,由此即可说明甲同学的结论①成立;
    (2)同(1)易证点F是CD的中点,由此可得EF∥BD,EF=BD,从而可得△CEF∽△CBD,则可得得到S△CEF=S△CBD=S平行四边形ABCD=S,结合S四边形AECF=S可得S△AEF=S,由QP=BD,EF=BD可得QP:EF=2:3,结合△AQP∽△AEF可得S△AQP=S△AEF=,由此可得S四边形QEFP= S△AEF- S△AQP=S,从而说明乙的结论②正确;
    试题解析:
    甲和乙的结论都成立,理由如下:
    (1)∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC,
    ∴△BEQ∽△DAQ,
    又∵点P、Q是线段BD的三等分点,
    ∴BE:AD=BQ:DQ=1:2,
    ∵AD=BC,
    ∴BE:BC=1:2,
    ∴点E是BC的中点,即结论①正确;
    (2)和(1)同理可得点F是CD的中点,
    ∴EF∥BD,EF=BD,
    ∴△CEF∽△CBD,
    ∴S△CEF=S△CBD=S平行四边形ABCD=S,
    ∵S四边形AECF=S△ACE+S△ACF=S平行四边形ABCD=S,
    ∴S△AEF=S四边形AECF-S△CEF=S,
    ∵EF∥BD,
    ∴△AQP∽△AEF,
    又∵EF=BD,PQ=BD,
    ∴QP:EF=2:3,
    ∴S△AQP=S△AEF=,
    ∴S四边形QEFP= S△AEF- S△AQP=S-=S,即结论②正确.
    综上所述,甲、乙两位同学的结论都正确.
    22、(1)C1,C3;(2)D(﹣,0)或D(,3);(3)﹣≤k≤
    【解析】
    (1)直接利用线段AB的“等长点”的条件判断;
    (2)分两种情况讨论,利用对称性和垂直的性质即可求出m,n;
    (3)先判断出直线y=kx+3与圆A,B相切时,如图2所示,利用相似三角形的性质即可求出结论.
    【详解】
    (1)∵A(0,3),B(,0),
    ∴AB=2,
    ∵点C1(﹣2,3+2),
    ∴AC1==2,
    ∴AC1=AB,
    ∴C1是线段AB的“等长点”,
    ∵点C2(0,﹣2),
    ∴AC2=5,BC2==,
    ∴AC2≠AB,BC2≠AB,
    ∴C2不是线段AB的“等长点”,
    ∵点C3(3+,﹣),
    ∴BC3==2,
    ∴BC3=AB,
    ∴C3是线段AB的“等长点”;
    故答案为C1,C3;
    (2)如图1,

    在Rt△AOB中,OA=3,OB=,
    ∴AB=2,tan∠OAB==,
    ∴∠OAB=30°,
    当点D在y轴左侧时,
    ∵∠DAB=60°,
    ∴∠DAO=∠DAB﹣∠BAO=30°,
    ∵点D(m,n)是线段AB的“等长点”,
    ∴AD=AB,
    ∴D(﹣,0),
    ∴m=,n=0,
    当点D在y轴右侧时,
    ∵∠DAB=60°,
    ∴∠DAO=∠BAO+∠DAB=90°,
    ∴n=3,
    ∵点D(m,n)是线段AB的“等长点”,
    ∴AD=AB=2,
    ∴m=2;
    ∴D(,3)
    (3)如图2,

    ∵直线y=kx+3k=k(x+3),
    ∴直线y=kx+3k恒过一点P(﹣3,0),
    ∴在Rt△AOP中,OA=3,OP=3,
    ∴∠APO=30°,
    ∴∠PAO=60°,
    ∴∠BAP=90°,
    当PF与⊙B相切时交y轴于F,
    ∴PA切⊙B于A,
    ∴点F就是直线y=kx+3k与⊙B的切点,
    ∴F(0,﹣3),
    ∴3k=﹣3,
    ∴k=﹣,
    当直线y=kx+3k与⊙A相切时交y轴于G切点为E,
    ∴∠AEG=∠OPG=90°,
    ∴△AEG∽△POG,
    ∴,
    ∴=,解得:k=或k=(舍去)
    ∵直线y=kx+3k上至少存在一个线段AB的“等长点”,
    ∴﹣≤k≤,
    【点睛】
    此题是一次函数综合题,主要考查了新定义,锐角三角函数,直角三角形的性质,等腰三角形的性质,对称性,解(1)的关键是理解新定义,解(2)的关键是画出图形,解(3)的关键是判断出直线和圆A,B相切时是分界点.
    23、(1)y1=80x+4400;y2=64x+4800;(2)当m=20时,w取得最小值,即按照方案一购买20件甲种商品、按照方案二购买20件乙种商品时,总费用最低.
    【解析】
    (1)根据方案即可列出函数关系式;
    (2)根据题意建立w与m之间的关系式,再根据一次函数的增减性即可得出答案.
    解:(1) 得:;
    得:;
    (2)
    ,
    因为w是m的一次函数,k=-4<0,
    所以w随的增加而减小,m当m=20时,w取得最小值.
    即按照方案一购买20件甲种商品;按照方案二购买20件乙种商品.
    24、略;m=40, 1.4°;870人.
    【解析】
    试题分析:根据A组的人数和比例得出总人数,然后得出D组的人数,补全条形统计图;根据C组的人数和总人数得出m的值,根据E组的人数求出E的百分比,然后计算圆心角的度数;根据D组合E组的百分数总和,估算出该校的每周的课外阅读时间不小于6小时的人数.
    试题解析:(1)补全频数分布直方图,如图所示.

    (2)∵10÷10%=100 ∴40÷100=40% ∴m=40
    ∵4÷100=4% ∴“E”组对应的圆心角度数=4%×360°=1.4°
    (3)3000×(25%+4%)=870(人).
    答:估计该校学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数是870人.
    考点:统计图.

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