2021-2022学年江苏省南京市联合体八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省南京市联合体八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12分）

1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列事件是随机事件的是(    )

A. 抛出的篮球会下落 B. 没有水分，种子发芽
C. 购买一张彩票会中奖 D. 自然状态下，水会往低处流

4. 分式与的最简公分母是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是(    )

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

6. 如图，在正方形中，，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

7. 计算：______；______．
8. 小明同一条件下进行射门训练，结果如表：

根据表中数据，估计小明射门一次进球的概率为______精确到．

9. 比较大小：______填“”“”“”．
10. 为了解某校名初二学生每天做课后作业的时间，从中抽取名学生进行调查，该调查中的样本容量是______．
11. 已知平行四边形中，，则的度数为______．
12. 已知为反比例函数图象上的两点，且，则：______填“”或“”．
13. 若分式方程有增根，则的值是______．
14. 反比例函数的图像过点、，则______．
15. 如图，▱的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点，若，的周长是，则______．
16. 如图，、分别是反比例函数与的图像上的点，且轴，过点作的垂线交轴于点，则的面积为______．

三、解答题（本大题共10小题，共68分）

17. 计算：
    ；
     
18. 计算：
    ；
    ．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 解方程：．
21. 八班学生参加了学校举行的“冬奥知识竞赛”活动，赛后老师对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和扇形统计图：
    八班学生冬奥知识竞赛成绩频数表

请根据以上统计图表解答下列问题：
八班总人数为______；
______；
扇形统计图中，类别所在扇形的圆心角度数是______
全校共有名学生参加比赛，若成绩在分以上含分为优秀，估计该校成绩优秀的学生有多少名？

22. 如图，菱形的对角线相交于点，，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，计算的值．

23. 某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．
    当他按原路匀速返回时，求汽车的速度与时间的函数表达式；
    如果该司机必须在之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少？
24. 常态化疫情防控以来，某社区核酸检测点数量由去年的个增加到今年的个，假设每个检测点的工作效率相同，该社区今年检测人的时间相比去年节省了小时．求该社区一个检测点每小时可检测多少人？
25. 在四边形中，、、、分别是、、、边上的点，则称四边形为四边形的内接四边形．
    如图，在▱中，、交于点，四边形为▱的内接四边形，对角线、都经过点求证：四边形为平行四边形；
    如图，用无刻度的直尺和圆规在▱中作出对角线最短的内接矩形；不写作法，保留作图痕迹
    如图，在矩形中，，，若四边形为矩形的内接菱形，则的取值范围是______．
     

26. 在矩形中，是线段上的一个动点，将沿直线翻折，点的对应点为，直线与直线交于点．
    如图，当点在的延长线上时，求证；
    若，足够长，当点到直线的距离等于时，求的长；
    若，，当点、、在同一直线上如图时，点开始向点运动，到与重合时停止，则点运动的路程是______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛出的篮球会下落是必然事件；
没有水分，种子发芽是不可能事件；
购买一张彩票会中奖是随机事件；
自然状态下，水会往低处流是必然事件．
故选：．
在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，根据定义判断即可．
本题考查了事件的分类，事件分为确定事件和随机事件，在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件．
 

4.【答案】 

【解析】解：分式与的最简公分母是
故选：．
找出两分式分母的最简公分母即可．
此题考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的找法是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：和都在反比例函数上，
，
解得，
，
根据图象可知，当时，则的取值范围是：或，
故选：．
根据和都在反比例函数上，可得，求出的值，根据图象即可确定的取值范围．
本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转得：
，，
，
，
，
≌，
，
点在与平行且与的距离为的直线上，
当点在边上时，最小且，
的最小值为，
故选：．
过点作，垂足为，可得，根据正方形的性质可得，，根据旋转的性质可得，，然后利用同角的余角相等可得，从而可证≌，进而可得，最后可得点在与平行且与的距离为的直线上，从而可得当点在边上时，的值最小，进行计算即可解答．
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】   

【解析】解：；
．
故答案为：，．
利用二次根式的乘法的法则及化简的法则进行求解即可．
本题主要考查二次根式的乘法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

8.【答案】 

【解析】解：观察表格发现，随着试验次数的增多，踢进球门频率逐渐稳定在附近，
所以根据表中数据，估计小明射门一次进球的概率为，
故答案为：．
大量重复试验中，频率的稳定值可以估计概率．
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
因为分母相同所以比较分子的大小即可，可以估算的整数部分，然后根据整数部分即可解决问题．
此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．
 

10.【答案】 

【解析】解：为了解某校名初二学生每天做课后作业的时间，从中抽取名学生进行调查，该调查中的样本容量是，
故答案为：．
根据样本容量的定义解答即可．
本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握它们的定义和关系是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质可知，再根据邻角互补即可求出．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，
其函数图象在二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
，
、两点均在第二象限，
．
故答案为：．
先根据反比例函数的解析式判断出该函数图象所在的象限及在每一象限内的增减性，再由可判断出所在的象限，故可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出、所在的象限是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
分式方程有增根，
，
把代入中得：
，
，
故答案为：．
根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意把的值代入整式方程中进行计算是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图像过点、，
，
，
故答案为：．
根据已知条件得到，求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意由平行四边形的性质求得的长是关键．
首先由▱的对角线，相交于点，求得，，又由，可求得的长，继而求得的长，然后由三角形中位线的性质，求得答案．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
的周长是，
，
点，分别是线段，的中点，
．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴，垂足为，
点在反比例函数的图象上，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，

，
故答案为：．
根据反比例函数系数的几何意义进行计算即可．
本题考查反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数系数的几何意义以及矩形的性质是正确解答的前提．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
根据平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
 

18.【答案】解：原式


，
原式
． 

【解析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】解：方程整理得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

21.【答案】     

【解析】解：该班总人数为名，
故答案为：；
，
故答案为：；
；
故答案为：；
名，
答：估计该校成绩优秀的学生有名．
从统计图表中可知“组”的有人，占全班人数的，可求出全班人数；
根据所有频数的和等于全班人数人，可求出的值；
“类别”占全班的，因此相应的圆心角为的；
用样本估计总体即可．
本题考查扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
四边形是矩形，
， 

【解析】首先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，进而得到四边形是矩形；
首先根据菱形的性质可得，，，然后再根据勾股定理可计算出即可．
此题主要考查了菱形的性质，以及矩形的判定；熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：由题意得，两地路程为，
故汽车的速度与时间的函数关系为：．
由，得，
又由题知：，
．

．
．
答：返程时的平均速度不能低于． 

【解析】直接求出总路程，再利用路程除以时间速度，进而得出关系式；
由题意可得，进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
 

24.【答案】解：设该社区一个检测点每小时可检测人，
由题意得：，
解得：，
当时，，
是分式方程的解，
答：该社区一个检测点每小时可检测人． 

【解析】设该社区一个检测点每小时可检测人，根据题意列出分式方程，解分式方程，检验后即可得出答案．
本题考查了分式方程的应用，根据题意正确列出分式方程是解决问题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可得，
四边形为平行四边形；
解：如图：

四边形或四边形即是满足条件的四边形；
解：四边形是菱形，
，，
，且、是锐角，
，
，
≌，
，
设，，则，，
，
，
即，
化简得：，
，，
，
解得．
证明≌，可得，同理可得，即可证四边形为平行四边形；
作▱对角线交点，以为圆心，任意长为半径作弧交直线于、，作线段的垂直平分线交、于、，以为圆心，长为半径作圆交▱的边于，交于，作四边形四边形即可．
证明≌，可知，设，，则，，由，可得，即得：，而，，故，即可解得．
本题考查四边形综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，尺规作图，勾股定理及应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
 

26.【答案】 

【解析】证明：四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质得：，
，
；
解：四边形是矩形，
，
当点在矩形内部时，过点作，分别交、于、，延长交于，如图所示：
则，，
由翻折的性质得：，
在中，，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：负值已舍去；
当点在矩形外部时，过点作，分别交于，如图所示：
则，，
由翻折的性质得：，
在中，，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：负值已舍去；
综上所述，的长为或；
解：四边形是矩形，
，，，，
，
当点、、在同一直线上时，点开始向点运动，开始点沿方向移动，点与点重合后，点又沿方向移动，如图所示：
则点运动的路程为：，
与重合时，由折叠的性质得：，
，
由折叠的性质得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
故答案为：．
由矩形的性质得，则，由翻折的性质得，得出，即可得出结论；
当点在矩形内部时，过点作，分别交、于、，延长交于，则，，先证，得出，由折叠的性质得，再由含角直角三角形的性质得，在中，由勾股定理即可求出的值；
当点在矩形外部时，过点作，分别交于，则，，先证，由折叠的性质得，则，再由含角直角三角形的性质得，在中，由勾股定理即可求出的值；
由矩形的性质得，，，，则，当点、、在同一直线上时，点开始向点运动，开始点沿方向移动，点与点重合后，点又沿方向移动，则点运动的路程为：，与重合时，，由折叠的性质得，推出，得出，在中，由勾股定理求出，得出，即可得出结果．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、含角直角三角形的性质、分类讨论等知识；熟练掌握矩形的性质与折叠的性质是解题的关键．