2021-2022学年内蒙古霍林郭勒市中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如果两圆只有两条公切线,那么这两圆的位置关系是(       )

A．内切 B．外切 C．相交 D．外离

2．如图，PB切⊙O于点B，PO交⊙O于点E，延长PO交⊙O于点A，连结AB，⊙O的半径OD⊥AB于点C，BP=6，∠P=30°，则CD的长度是（　　）

A． B． C． D．2

3．已知a=（+1）2，估计a的值在（　　）

A．3 和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间

4．潍坊市2018年政府工作报告中显示，潍坊社会经济平稳运行，地区生产总值增长8%左右，社会消费品零售总额增长12%左右，一般公共预算收入539.1亿元，7家企业入选国家“两化”融合贯标试点，潍柴集团收入突破2000亿元，荣获中国商标金奖．其中，数字2000亿元用科学记数法表示为（　　）元．（精确到百亿位）

A．2×1011    B．2×1012    C．2.0×1011    D．2.0×1010

5．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为　　

A．6 B．8 C．10 D．12

6．将抛物线绕着点（0，3）旋转180°以后，所得图象的解析式是（     ）．

A． B．

C． D．

7．下列运算正确的是    （    ）

A．2+a=3 B． =

C． D．=

8．如图，在中，D、E分别在边AB、AC上，，交AB于F，那么下列比例式中正确的是　　

A． B． C． D．

9．把直线l：y=kx+b绕着原点旋转180°，再向左平移1个单位长度后，经过点A（-2,0）和点B（0,4），则直线l的表达式是（    ）

A．y=2x+2 B．y=2x-2 C．y=-2x+2 D．y=-2x-2

10．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）

A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥3

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．已知，（），请用计算器计算当时，、的若干个值，并由此归纳出当时，、间的大小关系为______.

12．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，连接OC交⊙O于D，连接BD，若∠C=40°，则∠B=_____度．

13．已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是         ．

14．如图，直角△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____．

15．如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区的点的坐标为，表示慕田峪长城的点的坐标为，则表示雁栖湖的点的坐标为______．

16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为_______.

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD、CD．

（1）求证：AD＝CD；

（2）若AB＝10，OE＝3，求tan∠DBC的值．

18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．

19．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E

求证：△ACD≌△AED；若∠B=30°，CD=1，求BD的长．

20．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D且BD＝2AD，过点D作DE⊥AC交BA延长线于点E，垂足为点F．

（1）求tan∠ADF的值；

（2）证明：DE是⊙O的切线；

（3）若⊙O的半径R＝5，求EF的长．

21．（8分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根．

22．（10分）如图，已知矩形 OABC 的顶点A、C分别在 x 轴的正半轴上与y轴的负半轴上，二次函数的图像经过点B和点C．

（1）求点 A 的坐标；

（2）结合函数的图象，求当 y<0 时，x 的取值范围．

23．（12分）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．

（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.1，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.1．）

24．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．该项绿化工程原计划每天完成多少米2？该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】
两圆内含时，无公切线；两圆内切时，只有一条公切线；两圆外离时，有4条公切线；两圆外切时，有3条公切线；两圆相交时，有2条公切线．

【详解】

根据两圆相交时才有2条公切线．

故选C．

【点睛】

本题考查了圆与圆的位置关系．熟悉两圆的不同位置关系中的外公切线和内公切线的条数．

2、C

【解析】
连接OB，根据切线的性质与三角函数得到∠POB=60°，OB=OD=2，再根据等腰三角形的性质与三角函数得到OC的长，即可得到CD的长.

【详解】

解：如图，连接OB，

∵PB切⊙O于点B，

∴∠OBP=90°，

∵BP=6，∠P=30°，

∴∠POB=60°，OD=OB=BPtan30°=6×=2，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=30°，

∵OD⊥AB，

∴∠OCB=90°，

∴∠OBC=30°，

则OC=OB=，

∴CD=.

故选：C．

【点睛】

本题主要考查切线的性质与锐角的三角函数，解此题的关键在于利用切线的性质得到相关线段与角度的值，再根据圆和等腰三角形的性质求解即可.

3、D

【解析】
首先计算平方，然后再确定的范围，进而可得4+的范围．

【详解】

解：a=×（7+1+2）=4+，

∵2＜＜3，

∴6＜4+＜7，

∴a的值在6和7之间，

故选D．

【点睛】

此题主要考查了估算无理数的大小，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．

4、C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

2000亿元=2.0×1．
故选：C．

【点睛】

考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5、C

【解析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．

【详解】

连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点C关于直线EF的对称点为点A，

∴AD的长为CM+MD的最小值，

∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=1．

故选C．

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

6、D

【解析】
将抛物线绕着点（0，3）旋转180°以后，a的值变为原来的相反数，根据中心对称的性质求出旋转后的顶点坐标即可得到旋转180°以后所得图象的解析式.

【详解】

由题意得，a=-.

设旋转180°以后的顶点为（x′，y′），

则x′=2×0-(-2)=2，y′=2×3-5=1,

∴旋转180°以后的顶点为(2,1)，

∴旋转180°以后所得图象的解析式为：.

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象的旋转变换，在绕抛物线某点旋转180°以后，二次函数的开口大小没有变化，方向相反；设旋转前的的顶点为（x，y），旋转中心为（a，b），由中心对称的性质可知新顶点坐标为（2a-x，2b-y），从而可求出旋转后的函数解析式.

7、D

【解析】
根据整式的混合运算计算得到结果，即可作出判断．

【详解】

A、2与a 不是同类项，不能合并，不符合题意；

B、 =，不符合题意；

C、原式=，不符合题意；

D、=，符合题意，

故选D．

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8、C

【解析】
根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断．

【详解】

A、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∵CE≠AC，∴，故本选项错误；

B、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∴，∵AD≠DF，∴，故本选项错误；

C、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∴，故本选项正确；

D、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∴，∵AD≠DF，∴，故本选项错误.

故选C.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的新三角形与原三角形相似的定理的运用，在解答时寻找对应线段是关健．

9、B

【解析】
先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式，然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到直线l．

【详解】

解：设直线AB的解析式为y＝mx＋n．

∵A（−2，0），B（0，1），

∴ ，

解得 ，

∴直线AB的解析式为y＝2x＋1．

将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式为y＝2（x−1）＋1，即y＝2x＋2，

再将y＝2x＋2绕着原点旋转180°后得到的解析式为−y＝−2x＋2，即y＝2x−2，

所以直线l的表达式是y＝2x−2．

故选：B．

【点睛】

本题考查了一次函数图象平移问题，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键．

10、C

【解析】

试题解析：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，

则该不等式组的解集是x＞1．

故选C．

考点：在数轴上表示不等式的解集．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、

【解析】

试题分析：当n=3时，A=≈0.3178，B=1，A＜B；

当n=4时，A=≈0.2679，B=≈0.4142，A＜B；

当n=5时，A=≈0.2631，B=≈0.3178，A＜B；

当n=6时，A=≈0.2134，B=≈0.2679，A＜B；

……

以此类推，随着n的增大，a在不断变小，而b的变化比a慢两个数，所以可知当n≥3时，A、B的关系始终是A＜B.

12、25

【解析】

∵AC是⊙O的切线，

∴∠OAC=90°，

∵∠C=40°，

∴∠AOC=50°，

∵OB=OD，

∴∠ABD=∠BDO，

∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，

∴∠ABD=25°，

故答案为：25.

13、5

【解析】
∵多边形的每个外角都等于72°，

∵多边形的外角和为360°，

∴360°÷72°=5，

∴这个多边形的边数为5.

故答案为5.

14、1

【解析】

分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．

详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，

故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=1．

故答案为1．

点睛：本题主要考查了平移的性质，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．

15、

【解析】
直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．

【详解】

解：如图所示：雁栖湖的点的坐标为：（1，-3）．

故答案为（1，-3）．

【点睛】

本题考查坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．

16、（3，2）．

【解析】
过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．

【详解】

过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，

∵A（6，0），PD⊥OA，

∴OD=OA=3，

在Rt△OPD中 ∵OP=  OD=3， 

∴PD=2  

∴P(3，2)  .

故答案为（3，2）．

【点睛】

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）见解析；（2）tan∠DBC＝．

【解析】
（1）先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再利用平行线的性质得∠AEO＝90°，则根据垂径定理得到，从而有AD＝CD；

（2）先在Rt△OAE中利用勾股定理计算出AE，则根据正切的定义得到tan∠DAE的值，然后根据圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC，从而可确定tan∠DBC的值．

【详解】

（1）证明：∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∵OD∥BC，

∴∠AEO＝∠ACB＝90°，

∴OE⊥AC，

∴，

∴AD＝CD；

（2）解：∵AB＝10，

∴OA＝OD＝5，

∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，

在Rt△OAE中，AE＝＝4，

∴tan∠DAE＝，

∵∠DAC＝∠DBC，

∴tan∠DBC＝．

【点睛】

垂径定理及圆周角定理是本题的考点，熟练掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键.

18、证明见解析

【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，AD=BC，

∵AE=CF

∴AD-AE=BC-CF

即DE=BF

∴四边形BFDE是平行四边形.

19、（1）见解析（2）BD=2

【解析】

解：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．

∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．

（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1，∴DC=DE=1．

∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．

∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．

（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可．

（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．

20、（1）；（2）见解析；（3）

【解析】
(1) AB是⊙O的直径，AB=AC，可得∠ADB=90°，∠ADF=∠B，可求得tan∠ADF的值；

（2）连接OD，由已知条件证明AC∥OD，又DE⊥AC，可得DE是⊙O的切线；

(3)由AF∥OD，可得△AFE∽△ODE，可得后求得EF的长．

【详解】

解：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DE⊥AC，

∴∠AFD=90°，

∴∠ADF=∠B，

∴tan∠ADF=tan∠B==；

（2）连接OD，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD，

∵∠OAD=∠CAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴AC∥OD，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（3）设AD=x，则BD=2x，

∴AB=x=10，

∴x=2，

∴AD=2，

同理得：AF=2，DF=4，

∵AF∥OD，

∴△AFE∽△ODE，

∴，

∴=，

∴EF=．

【点睛】

本题考查切线的证明及圆与三角形相似的综合，为中考常考题型，需引起重视．

21、（1）（2） ， 

【解析】

【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知k≠0，再根据方程有两个不相等的实数根，可知△>0，从而可得关于k的不等式组，解不等式组即可得；

（2）由（1）可写出满足条件的k的最大整数值，代入方程后求解即可得.

【详解】（1） 依题意，得，

解得且；

(2) ∵是小于9的最大整数，

∴

此时的方程为，

解得，.  

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义、解一元二次方程等，熟练一元二次方程根的判别式与一元二次方程的根的情况是解题的关键.

22、（1）；（2）

【解析】
（1）当时，求出点C的坐标，根据四边形为矩形，得出点B的坐标，进而求出点A即可；

（2）先求出抛物线图象与x轴的两个交点，结合图象即可得出．

【详解】

解：（1）当时，函数的值为-2，

∴点的坐标为

∵四边形为矩形，

解方程，得．

∴点的坐标为．

∴点的坐标为．

（2）解方程，得．

由图象可知，当时，的取值范围是．

【点睛】

本题考查了二次函数与几何问题，以及二次函数与不等式问题，解题的关键是灵活运用几何知识，并熟悉二次函数的图象与性质．

23、1.8米

【解析】
设PA=PN=x，Rt△APM中求得=1.6x, 在Rt△BPM中，解得x=3，MN=MP-NP=0.6x=1.8.

【详解】

在Rt△APN中，∠NAP=45°，

∴PA=PN,

在Rt△APM中，,

设PA=PN=x，

∵∠MAP=58°,

∴=1.6x,

在Rt△BPM中，,

∵∠MBP=31°，AB=5,

∴,

∴ x=3,

∴MN=MP-NP=0.6x=1.8（米）,

答：广告牌的宽MN的长为1.8米．

【点睛】

熟练掌握三角函数的定义并能够灵活运用是解题的关键.

24、 (1)2000；(2)2米

【解析】
（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；

（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程

【详解】

解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，

根据题意得：﹣= 4

解得：x=2000，

经检验，x=2000是原方程的解;

答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；

（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，

（20﹣3x）（8﹣2x）=56

解得：x=2或x=（不合题意，舍去）．

答：人行道的宽为2米．