(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)03《二次函数的图象与性质》（2份打包，教师版+学生版）

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第3讲 二次函数的图象与性质
课前训练



1.如图，在一块长为32m、宽为20m的矩形空地上，修筑宽相等的两条小路，两条路分别与矩形的边平行.若使剩余(阴影)部分的面积为560m2，问小路宽应是多少？设小路宽为xm，根据题意得(　　)

A.32x＋20x＝20×32－560 B.32×20－20x×32x＝560
C.(32－x)(20－x)＝560 D.以上都不正确
【答案】C
【详解】设小路的宽为x米，根据题意，可列方程：（32-x）（20-x）=560，故选C.
2.某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（ ）
A.10% B.15% C.20% D.25%
【答案】C
【解析】由题可得：设每月增长率为x，则，解得x=0.2，所以选C。
3.如图所示，AC是一根垂直于地面的木杆，B是木杆上的一点，且AB=2米，D是地面上一点，AD=3米.在B处有甲、乙两只猴子，D处有一堆食物.甲猴由B往下爬到A处再从地面直奔D处，乙猴则向上爬到木杆顶C处腾空直扑到D处，如果两猴所经过的距离相等，则木杆的长为（ ）

A.67 m B.267 m C.316 m D.5 m
【答案】B【详解】设BC的长为x米， ∵AB+AD=BC+CD，∴CD=5-x，
∵AC 2+AD 2= DC 2,∴(2+x)2+32=(5-x) 2， ∴x= 67， AC=2+ 67=267m. 

知识精讲

知识点一 二次函数的概念
概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a ，  b ，  c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
注意：二次项系数a≠0，而b ，  c可以为零.
二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：
等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.
a ，  b ，  c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
知识点2：二次函数的图象和性质（重点）
二次函数的基本表现形式：
①y=ax2；②y=ax2+k；③y=ax−h2；④y=ax−h2+k；⑤y=ax2+bx+c.
第一种：二次函数y=ax2的性质（最基础）
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
0 ，  0
y轴
x>0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而增大；x0>y1 C.y1>y2>0 D.y2>y1>0
【变式训练4-1】设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(　A　)
A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2 C.y3＞y2＞y1 D.y3＞y1＞y2
【变式训练4-2】若二次函数y＝(x－m)2－1在x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是(　C　　)
A.m＝1 B.m>1 C.m≥1 D.m≤1
[解析] 二次函数y＝(x－m)2－1的图象开口向上，其对称轴为直线x＝m，顶点坐标为(m，－1).在对称轴的左侧，即当xy2；④顶点坐标是(1，－3).其中真命题的个数是(　　)

图2－G－3
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴①是真命题；由抛物线y＝a(x－1)2－3(a≠0)得对称轴为直线x＝1，顶点坐标是(1，－3)，∴②④是真命题；∵在对称轴右侧y随x的增大而增大，2＜4，∴y1＜y2，∴③是假命题.故真命题有3个，故选C.





提高训练

1.如图,平行于x轴的直线AC分别交函数(x≥0)与(x≥0)的图象于B,C两点,过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D,直线DE∥AC,交y2的图象于点E,则=　3-　. 

2.将函数y=ax2-5的图象向上平移m个单位长度后,经过点(2,6).如果新函数有最小值-2,那么a=　2　,
m=　3　. 
3.已知正方形ABCD中A(1,1),B(1,2),C(2,2),D(2,1),有一抛物线y=(x+1)2向下平移m个单位(m>0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点,则m的取值范围是　2≤m≤8　. 
4.若二次函数y=ax2+b的最大值为4,且该函数的图象经过点A(1,3).
(1)a=　　　　　　,b=　　　　　　,顶点D的坐标(　　　，　　　); 
(2)求此抛物线关于x轴对称后的函数解析式;
(3)是否在抛物线上存在点B,使得S△DOB=2S△AOD?若存在,请求出B的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)因为二次函数y=ax2+b的最大值为4,所以b=4. 所以y=ax2+4.
因为函数的图象经过点A(1,3), 所以3=a+4,解得a=-1.
所以y=-x2+4,所以顶点D的坐标为(0,4).
(2)因为抛物线y=-x2+4关于x轴对称的抛物线为-y=-x2+4,所以所求解析式为y=x2-4.
(3)假设存在点B(x,y).由题意得=2,所以=2, 所以x=±2,
①当x=2时,则有y=-x2+4=0;②当x=-2时,则有y=-x2+4=0.
所以在抛物线上存在点B,使得S△DOB=2S△AOD,点B的坐标为(2,0)或(-2,0).



5.已知函数与函数的图象分别交于点A,B,点A的纵坐标是.
(1)若y1