专题20 全称量词与存在量词（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

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专题20 全称量词与存在量词
学习目标

1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定
知识精讲


高中必备知识点1：全称量词与全称命题

(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．
(2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)．
(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．

高中必备知识点2：存在量词与特称命题

(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．
(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，∃x0∈M，p(x0)．
(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．

高中必备知识点3：命题的否定

(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，全称命题的否定是特称命题．
(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)，特称命题的否定是全称命题．

高中必备知识点4：常见的命题的否定形式

原语句
是
都是
>
至少有
一个
至多有
一个
对任意x∈A
使p(x)真
否定
形式
不是
不都是
≤
一个也
没有
至少有
两个
存在x∈A
使p(x)假

典例剖析


高中必会题型1：全称量词命题和存在量词命题的判断

1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)任何一个实数除以1，仍等于这个数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3)，；
(4)，.
【答案】(1)全称量词命题；(2)存在量词命题；(3)全称量词命题；(4)存在量词命题.
(1)命题中含有全称量词“任何一个”，故是全称量词命题.
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题.
(3)命题中含有全称量词“”，是全称量词命题.
(4)命题中含有存在量词“”，是存在量词命题.
2．用符号“”“”表达下列命题.
(1)实数都能写成小数的形式；
(2)存在一实数对，使成立；
(3)任意实数乘，都等于它的相反数；
(4)存在实数x，使得.
【答案】答案见解析.
解：(1)，能写成小数形式；
(2)，使；
(3)；
(4).
3．将下列命题用“”或“”表示．
(1)实数的平方是非负数；
(2)方程至少存在一个负根.
【答案】(1)，；(2)，．
(1)原命题为全称命题，可改写为“，”；
(2)原命题为特称命题，可改写为“，”.
4．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
(4)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．
【答案】(1)全称量词命题；(2)存在量词命题；(3)全称量词命题；(4)存在量词命题．
解：(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．
(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
(4)含有量词“存在”，是存在量词命题．
5．判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.
(1)所有不等式的解集A，都满足A⊆R；
(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(3)对任意a，b∈R，若a>b，则；
(4)自然数的平方是正数.
【答案】(1)全称量词命题；(2)是存在量词命题；(3)全称量词命题；(4)全称量词命题.
(1)命题中强调全称量词“所有”，所以该命题为全称量词命题；
(2)命题中强调存在量词“有些”，所以该命题为存在量词命题；
(3)命题中强调全称量词“任意”，所以该命题为全称量词命题；
(4)该命题实质是“任意一个自然数的平方都是正数”， 强调全称量词“任意”， 所以该命题为全称量词命题.

高中必会题型2：全称量词命题与存在量词命题真假判断

1．指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假.
(1)，是奇数；
(2)，使；
(3)能被整除的整数末位数是；
【答案】(1)是全称命题，真命题；(2)是特称命题，假命题；(3)是全称命题，假命题.
解 :(1)是全称命题，因为，都是奇数，所以该命题是真命题.
(2)是特称命题.因为不存在，使成立，所以该命题是假命题.
(3)是全称命题.因为能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题.
2．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：
(1)实数都能写成小数形式.
(2)有的有理数没有倒数.
(3)不论m取什么实数，方程x2+x-m=0必有实根.
(4)存在一个实数x，使x2+x+4≤0.
【答案】答案见解析.
(1)∀a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题.
(2) ∃x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题.
(3) ∀m∈R，方程x2+x-m=0必有实根.当m=-1时，方程无实根，是假命题.
(4) ∃x∈R，使x2+x+4≤0.x2+x+4=+>0恒成立，所以为假命题.
3．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题，并判断真假
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的梯形对角线相等；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)有一个函数，图象是直线；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.
【答案】(1)(3)(5)是全称量词命题；(2)(4)是存在量词命题；(1)(2)(3)(4)(5)是真命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°表示所有凸多边形的外角和等于360°，所以是全称量词命题，由多边形的外角和定理可知此命题为真命题；
(2)有的梯形对角线相等表示一部分的含义，所以是存在量词命题，如等腰梯形的对角线相等，所以是真命题；
(3)对任意角α，表示全部的含义，所以是全称量词命题，由同角三角函数的关系可知是真命题；
(4)有一个函数表示部分含义，所以是存在量词命题，如一次函数的图像是直线，所以此命题是真命题；
(5)表示所有的菱形，所以是全称量词命题，由菱形的性质可知是真命题，
综上，(1)(3)(5)是全称量词命题；(2)(4)是存在量词命题；(1)(2)(3)(4)(5)是真命题.
4．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词，并判断真假：
(1)所有正方形都是平行四边形；
(2)能被5整除的整数末位数字为0.
【答案】答案见解析
(1)是全称量词命题，全称量词为“所有”，是真命题；
(2)是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”，是假命题.
5．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断真假:
(1)实数的平方大于或等于0；
(2)存在一对实数(x，y)，使2x-y+1<0成立.
【答案】(1)∀x∈R，有x2≥0，是真命题；(2)∃(x，y)，x∈R，y∈R，使2x-y+1<0，是真命题.
(1)这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”.
改写后命题为:∀x∈，有x2≥0，是真命题.
(2)改写后命题为:∃(x，y)，x∈，y∈，使2x-y+1<0，是真命题.
如x=0，y=2时，2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.

高中必会题型3：含有一个量词的命题的否定

1．已知命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则：__．
【答案】∃x∈R，x2≤0．
解：p：“∀x∈R，x2＞0”，则：∃x∈R，x2≤0，
故答案为：∃x∈R，x2≤0．
2．命题“存在实数x，y，使得x+y>1”，用符号表示为_______，此命题的否定是_____，是_____(填“真”或“假”)命题.
【答案】∃x0，y0∈R，x0+y0>1； ∀x，y∈R，x+y≤1； 假
此命题用符号表示为∃x0，y0∈R，x0+y0>1，此命题的否定是∀x，y∈R，x+y≤1，
原命题为真命题，所以它的否定为假命题.
3．命题“”的否定为________．
【答案】
因为特称命题的否定为全称命题，
所以“”的否定为“”.
故答案为：.
4．若命题，方程恰有一解，则：_______.
【答案】，方程无解或至少有两解.
因为的否定为，
方程恰有一解的否定为方程无解或至少有两解，
所以，方程无解或至少有两解，
故答案为，方程无解或至少有两解.
5．命题“∀x∈Z，x2+2x+m＞0”的否定是________．
【答案】∃x∈Z，x2+2x+m≤0
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“∀x∈Z，x2+2x+m＞0”的否定是：∃x∈Z，x2+2x+m≤0．
故答案为：∃x∈Z，x2+2x+m≤0．

高中必会题型4：根据命题的真假求参数

1．已知命题存在实数，使成立.
(1)若命题P为真命题，求实数a的取值范围；
(2)命题任意实数，使恒成立.如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；(2).
解：(1)存在实数，使成立或，
实数a的取值范围为；
(2)任意实数，使恒成立，，，，
由题p，q都是假命题，那它们的补集取交集，实数a的取值范围.
2．已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”的否定为假命题，试求实数a的取值范围．
【答案】
由题意知，命题p为真命题，即在上有解，
令，所以，又因为最大值在或时取到，
∴只需或时，即可，
∴或，解得或，
即．
故实数a的取值范围为．
3．令p(x)：ax2+2x+1＞0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】(1，+∞)
∵p(x)：ax2+2x+1＞0，
若对∀x∈R，p(x)是真命题，即ax2+2x+1＞0对任意实数恒成立，
当时，，不符合题意；
当时，，解得.
故实数a的取值范围为(1，+∞)
4．已知，，，，若，都是真命题，求实数的取值范围．
【答案】[－2，－1)
，，若真，可得，
而，时，取得最小值，则；
，，若真，可得△，
解得．
若，都是真命题，可得，则．
故的取值范围是，．
5．若对于一切且，都有，求实数的取值范围．
【答案】
若，由得；
若，由得.
若对于一切且，都有，
则实数的取值范围是．
对点精练

1．设非空集合P，Q满足P∩Q=Q且P≠Q，则下列命题是假命题的是( )
A．∀x∈Q，有x∈P B．∃x∈P，有x∉Q
C．∃x∉Q，有x∈P D．∀x∉Q，有x∉P
【答案】D
因为P∩Q=Q且P≠Q，所以集合Q是集合P的真子集，所以集合Q中的元素都是集合P的元素，但是集合P中有元素集合Q中是没有的，所以A，B，C正确，D错误.
故选：D
2．下列命题中，存在量词命题的个数是( )
①实数的绝对值是非负数；
②正方形的四条边相等；
③存在整数n，使n能被11整除.
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
①可改写为，任意实数的绝对值是非负数，故为全称量词命题；
②可改写为：任意正方形的四条边相等，故为全称量词命题；
③是存在量词命题.
故选：A
3．将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是( )
A．∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
B．∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
C．∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
D．∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
【答案】D
命题对应的全称量词命题为：∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2.
故选：D
4．“对于任意a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根”的否定是( )
A．对于任意a≤0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根
B．对于任意a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根
C．存在a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根
D．存在a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根
【答案】D
选D.全称量词“任意”改为存在量词“存在”，另一方面“至多有三个”的否定是“至少有四个”.
故选：D
5．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使
C．任一无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数，使
【答案】B
对于A，命题可改写为：对于任意斜三角形，其内角均为锐角或钝角，为全称命题，A错误；
对于B，命题可改写为：存在一个实数，使得，为特称命题，且为真命题，B正确；
对于C，命题可改写为：对于任意一个无理数，其平方均为无理数，为全称命题，C错误；
对于D，命题为特称命题，但当时，，命题为假命题，D错误.
故选：B.
6．命题“”的否定是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
因为全称量词的否定为存在量词，
所以命题“”的否定是“”.
故选：C
7．命题“存在实数，使关于x的方程有实数根”的否定是( )
A．存在实数，使关于x的方程无实根
B．不存在实数，使关于x的方程有实根
C．对任意实数，方程无实数根
D．至多有一个实数，使关于x的方程有实根
【答案】C
由题意，命题“存在实数m，使关于x的方程x2+mx﹣1＝0有实数根”是存在性命题，
根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题的否定为：“对任意实数m，方程x2+mx﹣1＝0无实数根” .
故选：C.
8．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x>0，则( )
A．￢p：∃x0∈R，x2﹣2x<0 B．￢p：∀x∈R，x2﹣2x<0
C．￢p：∃x0∈R，x2﹣2x≤0 D．￢p：∀x∈R，x2﹣2x≤0
【答案】C
根据全称命题的否定为特称命题，
可得.
故选：C.
9．命题“∀a，b∈R，使方程ax=b都有唯一解”的否定是( )
A．∀a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一
B．∃a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一
C．∀a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在
D．∃a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在
【答案】D
选D.该命题的否定：∃a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在.
【误区警示】解答本题，在否定结论时容易出现考虑不全面而出错的情况.
故选：D
10．下列全称量词命题的否定是假命题的个数是( )
①所有能被3整除的数都能被6整除；
②所有实数的绝对值是正数；
③三角形的外角至少有两个钝角.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
对于①，“所有能被3整除的数能被6整除”的否定形式为“存在能被3整除的数不能被6整除”正确，如3，是能被3整除，不能被6整除的数，故①的否定形式正确；
对于②，所有实数的绝对值是正数，其否定为：，，不是正数，故②的否定形式正确；
对于③，该命题的否定：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角，而锐角三角形的三个外角都是钝角，所以这是一个假命题.
故选：B．
11．命题“，”的否定为( )
A．， B．不存在，
C．， D．，
【答案】D
命题“，”的否定为“，”
故选：D
12．已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
解：命题，使成立，故命题为真命题；
当，时，成立，但不成立，故命题为假命题；
故命题，，均为假命题，命题为真命题．
故选：B．
13．已知命题:“，使得”是真命题，则实数的最大值是____.
【答案】
当时，，
因为“，使得”是真命题，所以.
故答案为：
14．若命题∃x∈R，x2+4mx+1＜0为假命题，则实数m的取值范围是__________．
【答案】[﹣，]
解：由命题∃x∈R，x2+4mx+1＜0为假命题，则∀x∈R，x2+4mx+1≥0为真命题，
则＝(4m)2﹣4≤0，
解得：﹣，
故答案为：[﹣，]．
15．若命题“∃x0∈R，使得3 ＋2ax0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是_______．
【答案】[－，]
命题“∃x0∈R，使得3＋2ax0＋1<0”是假命题，即“∀x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，
故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
故答案为：[－，].
16．若“有 成立”是真命题，则实数的取值范围是____________
【答案】
由题意可得，
函数的最大值为1，
∴.
故答案为：.
17．判断下列命题的否定的真假：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行 (2)非负数的平方是正数
(3)有的四边形没有外接圆 (4)，使得
【答案】答案见解析
(1)命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”，
由平行四边形的定义知该命题的否定是假命题；
(2)命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”，
因为，不是正数，所以该命题的否定是真命题；
(3)命题的否定为“所有四边形都有外接圆”，
因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题；
(4)命题的否定为“，都有”，
因为当，时，，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题.
18．写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；
(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
【答案】答案见解析.
(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行；
(2)其否定为：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数；
(3)其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在；
(4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.
19．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
(Ⅰ)存在实数x，使得x2+2x+3＞0；
(Ⅱ)菱形都是正方形；
(Ⅲ)方程x2﹣8x+12＝0有一个根是奇数．
【答案】答案见解析
解：(Ⅰ)该命题是特称命题，
该命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3≤0.因为
所以该命题的否定是假命题．
(Ⅱ)该命题是全称命题，
该命题的否定是：菱形不都是正方形.因为只有当菱形的邻边互相垂直时，才能成为正方形，所以该命题的否定是真命题．
(Ⅲ)该命题是特称命题，
该命题的否定是：方程x2﹣8x+12＝0的每一个根都不是奇数.因为方程x2﹣8x+12＝0的根为2或6，所以该命题的否定是真命题．
20．写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)直角相等.
(2)等圆的面积相等，周长相等.
(3)有的三角形为正三角形.
(4)∀x>0，x+1>.
【答案】答案见解析
(1)该命题的否定：有些直角不相等.这是一个假命题.
(2)该命题的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等.这是一个假命题.
(3)该命题的否定：所有的三角形都不是正三角形.这是一个假命题.
(4)该命题的否定：∃>0，使+1≤.
因为x+1-=+>0，所以∀x>0，x+1>是真命题，它的否定是假命题.
21．写出下列存在量词命题的否定：
(1)某箱产品中至少有一件次品；
(2)方程有一个根为偶数；
(3)，使.
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析
(1)“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”；
(2)“方程有一个根为偶数”的否定是“方程的每一个根都不是偶数”；
(3)“，使”的否定是“，”.
22．判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词，并判断真假：
(1)存在一个无理数，使也是无理数；
(2)，使.
【答案】答案见解析
(1)是存在量词命题，存在量词为“存在”，当时，也是无理数，故是真命题；
(2)是存在量词命题，存在量词“(存在)”，不存在使，是假命题.