2022年初升高数学衔接讲义(第2套) 第2讲 集合间的基本关系（教师版+学生版）

第2讲 集合间的基本关系

你能发现下面这两个集合之间的关系么？

，

1. 子集：一般地，对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合是集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”).(反面：与)

我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图(如下图所示):

2. 集合相等：如果集合是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合和集合中的元素是一样的，因此集合与集合相等，记作.
3. 真子集：若集合，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集，记作⫋(或⫋)，读作“真包含于”(或“真包含”).
4. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作. 

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

例1.用适当的符号填空：

①0    ； ②   ；  ③    ；  ④   ；⑤0    ；   ⑥   ；    ⑦    ；     ⑧    .

【答案】①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.

【解析】元素与集合间的关系分为“属于”与“不属于”两种，集合间的关系分为“包含于”与“相等”两种.

例2.下列表述正确的是(    )

A.        B.        C.        D.

【答案】B

【解析】空集是任何集合的子集，所以A、D错误，B正确；集合之间不存在“属于”关系，C错误.

例3.写出下列集合的所有子集：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【答案】(1)；(2)；(3)；(4)

结论：若一个集合包含个元素，则其子集数为      个，其真子集数为       个.

【答案】.

例4.已知集合满足，写出集合的所有可能情况.

【答案】.

例5. 

(1)    已知集合，，试用列举法写出集合，并指出与的关系；

(2)    已知集合，，试用列举法写出集合，并指出与，与的关系.

【答案】(1)，；(2)，且，.

【解析】(1)由于中的元素都是中的元素，所以，；

(2)由于中的元素是且，所以中的元素是集合，并且是的子集，所以.，因为是中的元素；同时，因为空集是任何集合的子集.是中的元素，所以.

例6. 

(1)    若集合，，是的真子集，求的值.

(2)设集合，，若，求实数的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)，

⫋，的解为或2或无解.

当的解为时，由得；

当的解为2时，由得；

当无解时，.

综上所述，；

（2），

，或⫋.

当，即时，则，0是方程的两根，

由韦达定理得，解得；

当⫋时，分两种情况：

①若，则，解得；

②若，则方程有两个相等的实数根，，解得，此时，满足题意.

综上所述，的取值范围为.

例7. 

(1)    己知集合，，且，则实数的取值范围为________.

(2)    已知集合，，且，则实数的取值范围为__________.

(3)    已知集合，，且，则实数的取值范围为__________.

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】(1)由已知条件得，解得，所以的取值范围为；

(2)由已知条件得，解得，所以的取值范围为；

(3)，，且，

当时，，解得；

当时，无解；

综上所述，的取值范围为.

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1.     已知集合，，则使成立的实数的取值范围为(  )

A.         B.         C.         D.

【答案】C

【解析】由已知条件得，解得，故选C.

2.     对于集合，“”不成立的含义是(    )

A.是的子集                         B.中的元素都不是的元素

C.中最少有一个元素不属于           D.中至少有一个元素不属于

【答案】C

【解析】“”成立的含义是集合中的任何一个元素都是的元素，不成立的含义是中至少有一个元素不属于.

3.     若集合中只有一个元素，则实数(   )

A.         B.           C.0          D.0或

【答案】D

【解析】依题意方程只有一个解，

当时，方程为，只有一个解，满足题意；

当时，则，.

综上所述，，故选D.

4.     集合的真子集个数为__________.

【答案】7

【解析】，所以其真子集个数为7.

5.     设集合，，若，则实数的取值范围__________.

【答案】

6.     设集合，，若，求实数的值.

【答案】或0

【解析】依题意或，

当时，解得或2；

当时，解得或2，

，且，或0.

7.     已知集合，，若,求实数的取值范围.

【答案】.

【解析】，，且，

当时，，解得；

当时，，解得，

综上所述，的取值范围为.

8.     集合，，则下列关系中，正确的是(  )

A.⫋        B.⫋         C.        D.无法确定两者关系

【答案】A

【解析】，

，

所以⫋ ，选A.

9.     已知，，则下列关系中，正确的是(   )

  A.⫋         B.          C.⫋       D.无法确定两者关系

【答案】B

【解析】若，则，

当时，；

当时，，

所以.

若，则，

当时，，所以；

当时，，所以，

所以.

综上所述，，故选B.

10. 设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有     个.

【答案】7

【解析】依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，不含“孤立元”说明中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是，，，，，，共7个.

11. 已知集合，.若且⫋ ，试求实数的值.

【答案】或.

【解析】，且⫋ ，或.

当时，，解得；

当时，，解得.

综上所述，或.