2022年初升高数学衔接讲义(第2套) 第16讲 对数运算与对数函数（教师版+学生版）

第16讲 对数运算与对数函数

一.对数的概念

一般地，对于指数式，我们把“以为底的对数”记作，即.其中，数叫做对数的底数，叫做真数，读作“等于以为底的对数”.

【定义理解】

训练1.将下列指数式写成对数式：

(1) ；       (2).  

训练2.将下列对数式写成指数式：

(1)；      (2) .

二.对数运算法则

（1）

（2）

（3）

（4）

（5） 

例1.计算：

（1） (2)  (3)  (4)

(5)    (6)   (7) 

练习1： 计算：

(1)   (2)  (3)  (4)   

(5)      (6)      (7)

例2.已知 ， ,  用表示 .

三．对数函数的概念

1.定义：一般地，我们把函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是.      

2.常用对数：我们通常把以10为底的对数叫做常用对数,例如简记为.

3.自然对数：我们通常把无理数为底的对数叫做自然对数，例如简记为.

四．对数函数的性质

例3.函数是对数函数，则实数________．

例4.比较下列各组中两个值的大小．

(1)；(2)；(3)

例5.求下列函数的定义域．

(1)        (2)        (3)

例6.求下列函数的值域：

(1)                     (2)

例7.已知，求的最大值及相应的的值．

五、对数函数的图象变换及定点问题

(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题

对数函数过定点，即对任意的对数函数都有.

(2)对数函数的图象变换的问题

①

②

③

④

例8.若函数的图象恒过定点，则实数的值分别为        .

例9.作出函数的图象．

例10.           解下列不等式：

(1)；                  (2)．

例11.           若，求实数的取值范围.

例12.           求函数的单调区间．

例13.           求函数的单调区间．

例14.           已知在上是增函数，求实数的取值范围．

例15.           判断函数的奇偶性.

例16.           已知函数．

(1)求函数的定义域；

(2)判断函数的奇偶性；

(3)求使的的取值范围．

扩充：反函数

(1)对数函数的反函数

指数函数与对数函数互为反函数．

(2)互为反函数的两个函数之间的关系

①原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域；

②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．

例17.           若函数是函数的反函数，且，则(　　)

A．    B．    C．           D．

例18.           函数的反函数的定义域为(　 　)

A．    B．    C．    D．

例19.           若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点(　　)

A．    B．    C．    D．

跟踪训练——对数与对数运算(一)

1.     对应的指数式是(    )

1.    B.    C.   D.

2.     下列指数式与对数式互化不正确的一组是(    )

    A.与       B.与

C.与      D.与

3.     设，则的值等于(    )

1. 10    B.    C.100    D.1000

4.     设，则底数的值等于(    )

1. 2    B.     C. 4    D.

5.     已知，那么等于(    )

1.     B.    C.    D.

6.     若，则       ；若，则       .

7.     计算：      ；        .

8.     求下列各式的值：______；_______.

9.     求下列各式中的取值范围：(1)；    (2).

10. (1)设，求的值.

(2)设，且，求的值.

对数与对数运算(二)

1．(    )

A.1      B.    C.2     D.

2．化简得结果是(    )

A.     B.    C.    D.

3．化简的结果是(    )

A.     B.1     C.2     D.

4．已知， 则的值等于(    )

A.1      B.2     C.8              D.12

5．化简的结果是 (     )

A.1      B.    C.2     D.3

6．计算           .

7．若，则          .

8．(1)已知，试用表示的值； 

(2)已知，用表示.

跟踪训练——对数函数及其性质(一)

1.     下列各式错误的是(     )

A.          B. 

C.         D.

2.     当时,在同一坐标系中,函数与的图象是(     )

A     B     C     D

3.     下列函数中哪个与函数是同一个函数(    )

A.        B. 

C.       D.

4.     函数的定义域是(     )

    A.   B.   C.   D.

5.     若，那么满足的条件是(     )

    A.   B.   C.  D.

6.     求下列函数的定义域：

(1)       (2)

7.     已知函数，，求：

(1)    的值域；

(2)    的最大值及相应的值.

跟踪训练——对数函数及其性质(二)

1.     函数的图象关于(    )

  A.轴对称   B.轴对称   C.原点对称   D. 直线对称

2.     函数的值域是(    )

  A.    B.   C.   D.

3.     设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则(    )

  A.    B.2     C.    D.4

4.     图中的曲线是的图象，已知的值为，则曲线相应的 依次为(      )

A.            B.

 C.            D.

5.     下列函数中，在上为增函数的是(     )

A.      B.  

C.        D.

6.     函数是         函数.(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)

7.     函数的反函数的图象过点，则的值为         .

8.     求函数的单调区间.

9.     若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.