2021玉溪一中高二下学期期中考试数学（理）试题含答案

www.ks5u.com玉溪一中2020-2021学年下学期高二年级期中考

数学学科试卷（理）

                              命题人：刘剑涛    审题人：姚艳萍 吴志华

考试时间：120分钟  试卷满分：150分

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.

2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

一、     选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知 为虚数单位，则

A． B． C． D．

2．等于

A．1    B．-1    C．   D．

3. 如图所示的ABC 中，点 D 是线段 BC 上靠近 B 的三等分点，则

A.               B.

C.               D.

4. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行业造成了很大影响，为了解A，B两家大型餐饮店受影响的程度，现统计了2020年2月到7月A，B两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根据营业额折线图可知，下列说法不正确的是

A. A店营业额的平均值超过B店营业额的平均值

B. A店营业额在6月份达到最大值

C. A店营业额的极差比B店营业额的极差小

D. A店5月份的营业额比B店5月份的营业额小

5．若,则下列不等式中正确的是

A．  B． C．   D． 

6．已知，且，则

 A．       B．        C．        D．

7. 函数的大致图象为

8. 设  是两条不同的直线，是平面，不在内，下列结论中错误的是

A． m ， n//，则 m  n B． m  n ， n//，则 m 

C． m ， m  n ，则 n// D． m ， n ，则 m//n

9. 关于函数有下述三个结论：

①函数的最小正周期为；

②函数的一条对称轴为；

③函数在区间上单调递减.

其中，所有正确结论的序号是

A. ①② B. ①③  C. ②③              D. ①②③

10．已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是

A. －1＜a＜2      B. －3＜a＜6      C. a＜－3或a＞6      D. a＜－1或a＞2

11. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，

且，过椭圆的右焦点做倾斜角为的直线交椭圆于两点，

且，则可以取

8              5                7                4

12. 棱长为1的正方体中，为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点的轨迹所围成图形的面积为

 A．       B．      C．   D．1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在中，若，则这个三角形的形状是________．

14．“” 为假命题,则实数的最大值为________．

15. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为________．

16.年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）

三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分） 已知.

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，实数满足，求的最值.

18．（12分）已知点（n∈N*）在函数的图像上，。

（1）证明：数列{}为等差数列；

（2）设,记…，求。

19．（12分）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

20． （12分）为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，统计结果见下表．请你根据频率分布表解答下列问题：

(1)填充频率分布表中的空格；

(2)规定成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少名同学获奖？

(3)在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的S的值．

21. （12 分）已知函数．

（1）求函数在区间上的最大值及最小值；

（2）对，如果函数的图象在函数的图象的下方，则称函数在区间上被函数覆盖．求证：函数在区间上被函数覆盖．

22（12分）已知平面内的两个定点，，，平面内的动点满足.记的轨迹为曲线.

（1）请建立适当的平面直角坐标系，求的方程；

（2）过做直线交曲线于，两点，若点是线段的中点，点满足，求面积的最大值，并求出此时直线的方程.

数学答案（理）

一、选择题

BDCDD  AABAC  AC

 4.【答案】 D．【解析】【分析】根据营业额折线图可得解

【详解】A店的2-7月的营业额故A正确,

根据营业额折线图可知B正确；A店营业额的极差，B店营业额的极差故C正确，A店5月份的营业额45比B店5月份的营业额35大，故D错误，

故选：ABC

【点睛】本题考查根据折线图进行数据分析，属于基础题.

 10.【答案】C【解析】

【分析】易得有两个不相等的实数根,再根据二次函数的判别式求解即可.

【详解】由题有两个不相等的实数根,

故,解得或.

故选：C

【点睛】本题主要考查了根据极值点的个数求解参数的问题,属于基础题.

12.【答案】 C．【解析】

连接，，，则可证平面，故点轨迹围成图形为，

又，，故选C．

二、填空题

13. 【答案】等腰三角形

【解析】【分析】

利用公式，利用两角和差的正弦公式，化简，并判断三角形的形状.

【详解】，

，

代入条件可得，即，

即，

所以三角形是等腰三角形.

故答案为：等腰三角形

 15. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为________．

【答案】   

由三视图还原几何体得到三棱锥，根据三棱锥体积公式可求得体积；利用勾股定理可求得最长棱.

【详解】由三视图还原几何体，可知几何体为如下图所示的三棱锥

则，平面，

最长棱

故答案为：

【点睛】本题考查根据三视图求解几何体体积和棱长的问题，关键是能够准确的通过三视图还原几何体，属于常考题型.

16.年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）

【答案】    (1).     (2).

（1）根据衰变规律，令，代入求得；

（2）令，解方程求得即可.

【详解】当时，    经过年后，碳的质量变为原来的

令，则   

    良渚古城存在的时期距今约在年到年之间

故答案为：；

【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.

三、解答题

17. 已知.

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，正实数满足，求

的最值.

（1）①当时，，所以无解

②当时，，所以

③当时，，所以无解

综上，不等式的解集为···································5分

（2）因为，所以，所以，

故·······················10分

（或者·······················10分

18. 已知点（n∈N*）在函数的图像上，。

（1）证明：数列{}为等差数列；

（2）设,记…，求。

【答案】解：（1） ∵点在函数的图像上，

∴=，并且
即 ， 整理得 ，

∵，∴∴ 数列{}是以1为首项、1为公差的等差数列.

（2）由（1）知，

∴ ，∵，   ∴，      

,
∴

==  

19. 如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由线面垂直得线线垂直.，再由线面垂直的判定定理得证线面垂直；

（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．

【详解】解：（1）由已知得，平面，平面，

故.

又，所以平面.

（2）由（1）知.由题设知≌，所以，

故，.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，.

设平面的法向量为，则

即

所以可取得.

设平面的法向量为，则

即

所以可取，得.

于是.

所以，二面角的正弦值为.

【点睛】本题考查证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，解题关键是建立空间直角坐标系，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角求得二面角．

20.为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，统计结果见下表．请你根据频率分布表解答下列问题：

(1)填充频率分布表中的空格；

(2)规定成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少名同学获奖？

(3)在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的S的值．

【答案】解　(1)①为6，②为0.4，③为12，④为12，⑤为0.24；

(2)(×0.24＋0.24)×800＝288，

即在参加的800名学生中大概有288名同学获奖．

(3)由流程图得S＝G1F1＋G2F2＋G3F3＋G4F4＝65×0.12＋75×0.4＋85×0.24＋95×0.24＝81，即输出S的值为81.

 21. 已知函数．

（1）求函数在区间上的最大值及最小值；

（2）对，如果函数的图象在函数的图象的下方，则称函数在区间上被函数覆盖．求证：函数在区间上被函数覆盖．

【答案】（1）；；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用导数，判断函数单调区间，再求函数的最值；（2）利用导数证明函数恒成立，即证明.

【详解】（1）

当时，，                      ······················2分

∴在递增

  ·                       ·····················3分

                               ·····················4分

（2）令        ······················6分

                                 ······················7分

                              ·····················9分

∵，∴

∴在上递增                              ······················10分

∴的图像在的上方，

∴在区间上被函数覆盖．             ······················12分

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等主要方法有两个，

1、比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；

2、综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.

22（12分）

已知平面内的两个定点，，，平面内的动点满足.记的轨迹为曲线.

（1）请建立适当的平面直角坐标系，求的方程；

（2）过做直线交曲线于，两点，若点是线段的中点，点满足，求面积的最大值，并求出此时直线的方程.

（1）··················································3分

（2），设直线，，，

，代入得：

由于恒成立

则有，································5分

········6分

点到直线的距离·····································7分

则············10分当且仅当：，即时取等号，

又由于，知，此时.··12分