云南省玉溪市一中2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案与解析）

这是一份云南省玉溪市一中2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案与解析），共17页。试卷主要包含了作答时，将答案写在答题卡上， 函数的大致图象为， 关于函数有下述三个结论，【答案】C【解析】， 等内容，欢迎下载使用。

数学学科试卷（理）
命题人： 审题人：
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.
2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知 为虚数单位，则
A．B．C．D．
2．等于
A．1B．-1C．D．
3. 如图所示的ABC 中，点 D 是线段 BC 上靠近 B 的三等分点，则
A. B.
C. D.
4. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行业造成了很大影响，为了解A，B两家大型餐饮店受影响的程度，现统计了2020年2月到7月A，B两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根据营业额折线图可知，下列说法不正确的是
A. A店营业额的平均值超过B店营业额的平均值
B. A店营业额在6月份达到最大值
C. A店营业额的极差比B店营业额的极差小
D. A店5月份的营业额比B店5月份的营业额小
5．若,则下列不等式中正确的是
A． B．C． D．
6．已知，且，则
A． B． C． D．
7. 函数的大致图象为
8. 设 是两条不同的直线，是平面，不在内，下列结论中错误的是
A． m ， n//，则 m  nB． m  n ， n//，则 m 
C． m ， m  n ，则 n//D． m ， n ，则 m//n
9. 关于函数有下述三个结论：
①函数的最小正周期为；
②函数的一条对称轴为；
③函数在区间上单调递减.
其中，所有正确结论的序号是
A. ①②B. ①③ C. ②③ D. ①②③
10．已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是
A. －1＜a＜2 B. －3＜a＜6 C. a＜－3或a＞6 D. a＜－1或a＞2
11. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，
且，过椭圆的右焦点做倾斜角为的直线交椭圆于两点，
且，则可以取
8 5 7 4
12. 棱长为1的正方体中，为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点的轨迹所围成图形的面积为
A． B． C． D．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在中，若，则这个三角形的形状是________．
14．“” 为假命题,则实数的最大值为________．
15. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为________．
16.年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）
三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分） 已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，实数满足，求的最值.
18．（12分）已知点（n∈N*）在函数的图像上，。
（1）证明：数列{}为等差数列；
（2）设,记…，求。
19．（12分）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
20． （12分）为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，统计结果见下表．请你根据频率分布表解答下列问题：
(1)填充频率分布表中的空格；
(2)规定成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少名同学获奖？
(3)在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的S的值．
21. （12 分）已知函数．
（1）求函数在区间上的最大值及最小值；
（2）对，如果函数的图象在函数的图象的下方，则称函数在区间上被函数覆盖．求证：函数在区间上被函数覆盖．
22（12分）已知平面内的两个定点，，，平面内的动点满足.记的轨迹为曲线.
（1）请建立适当的平面直角坐标系，求的方程；
（2）过做直线交曲线于，两点，若点是线段的中点，点满足，求面积的最大值，并求出此时直线的方程.
数学答案（理）
选择题
BDCDD AABAC AC
4.【答案】 D．【解析】【分析】根据营业额折线图可得解
【详解】A店的2-7月的营业额故A正确,
根据营业额折线图可知B正确；A店营业额的极差，B店营业额的极差故C正确，A店5月份的营业额45比B店5月份的营业额35大，故D错误，
故选：ABC
【点睛】本题考查根据折线图进行数据分析，属于基础题.
10.【答案】C【解析】
【分析】易得有两个不相等的实数根,再根据二次函数的判别式求解即可.
【详解】由题有两个不相等的实数根,
故,解得或.
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据极值点的个数求解参数的问题,属于基础题.
12.【答案】 C．【解析】
连接，，，则可证平面，故点轨迹围成图形为，
又，，故选C．
填空题
13. 【答案】等腰三角形
【解析】【分析】
利用公式，利用两角和差的正弦公式，化简，并判断三角形的形状.
【详解】，
，
代入条件可得，即，
即，
所以三角形是等腰三角形.
故答案为：等腰三角形
15. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为________．
【答案】
由三视图还原几何体得到三棱锥，根据三棱锥体积公式可求得体积；利用勾股定理可求得最长棱.
【详解】由三视图还原几何体，可知几何体为如下图所示的三棱锥
则，平面，
最长棱
故答案为：
【点睛】本题考查根据三视图求解几何体体积和棱长的问题，关键是能够准确的通过三视图还原几何体，属于常考题型.
16.年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）
【答案】 (1). (2).
（1）根据衰变规律，令，代入求得；
（2）令，解方程求得即可.
【详解】当时， 经过年后，碳的质量变为原来的
令，则
良渚古城存在的时期距今约在年到年之间
故答案为：；
【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.
解答题
17. 已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，正实数满足，求
的最值.
（1）①当时，，所以无解
②当时，，所以
③当时，，所以无解
综上，不等式的解集为···································5分
（2）因为，所以，所以，
故·······················10分
（或者·······················10分
18. 已知点（n∈N*）在函数的图像上，。
（1）证明：数列{}为等差数列；
（2）设,记…，求。
【答案】解：（1） ∵点在函数的图像上，
∴=，并且
即 ， 整理得 ，
∵，∴∴ 数列{}是以1为首项、1为公差的等差数列.
（2）由（1）知，
∴ ，∵， ∴，
,
∴
==
19. 如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由线面垂直得线线垂直.，再由线面垂直的判定定理得证线面垂直；
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【详解】解：（1）由已知得，平面，平面，
故.
又，所以平面.
（2）由（1）知.由题设知≌，所以，
故，.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.
设平面的法向量为，则
即
所以可取得.
设平面的法向量为，则
即
所以可取，得.
于是.
所以，二面角的正弦值为.
【点睛】本题考查证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，解题关键是建立空间直角坐标系，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角求得二面角．
20.为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，统计结果见下表．请你根据频率分布表解答下列问题：
(1)填充频率分布表中的空格；
(2)规定成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少名同学获奖？
(3)在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的S的值．
【答案】解 (1)①为6，②为0.4，③为12，④为12，⑤为0.24；
(2)( QUOTE ×0.24＋0.24)×800＝288，
即在参加的800名学生中大概有288名同学获奖．
(3)由流程图得S＝G1F1＋G2F2＋G3F3＋G4F4＝65×0.12＋75×0.4＋85×0.24＋95×0.24＝81，即输出S的值为81.
21. 已知函数．
（1）求函数在区间上的最大值及最小值；
（2）对，如果函数的图象在函数的图象的下方，则称函数在区间上被函数覆盖．求证：函数在区间上被函数覆盖．
【答案】（1）；；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数，判断函数单调区间，再求函数的最值；（2）利用导数证明函数恒成立，即证明.
【详解】（1）
当时，， ······················2分
∴在递增
· ·····················3分
·····················4分
（2）令 ······················6分
······················7分
·····················9分
∵，∴
∴在上递增 ······················10分
∴的图像在的上方，
∴在区间上被函数覆盖． ······················12分
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等主要方法有两个，
1、比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；
2、综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
22（12分）
已知平面内的两个定点，，，平面内的动点满足.记的轨迹为曲线.
（1）请建立适当的平面直角坐标系，求的方程；
（2）过做直线交曲线于，两点，若点是线段的中点，点满足，求面积的最大值，并求出此时直线的方程.
（1）··················································3分
（2），设直线，，，
，代入得：
由于恒成立
则有，································5分
········6分
点到直线的距离·····································7分
则············10分当且仅当：，即时取等号，
又由于，知，此时.··12分