2021省哈尔滨宾县二中高二下学期第二次月考数学（理科）试题含答案

宾县第二中学2020-2021学年度下学期第二次月考

高二数学（理科）试卷

考试时间：120分钟；总分：150分

注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案规范填写在答题卡上。

一、选择题：（本大题共12题，每题5分共60分。）

1．函数的递增区间是（    ）

A． B． C． D．

2．用数学归纳法明:当时,等式左边应在的基础上加上（　　　　）

A．     B．     C．   D．

3．如果用1 N的力能将弹簧拉长1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为(　　)．

A．0.18 J B．0.26 J C．0.12 J D．0.28 J

4．反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：

①，这与三角形内角和为180°相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角中有两个直角，不妨设；正确顺序的序号为（    ）

A．①②③ B．③①② C．①③② D．②③①

5．设是虚数单位，若复数()是纯虚数，则的值为（    ）

A．－3 B．3 C．1 D．－1

6．已知（，为虚数单位），则复数（    ）

A． B．4 C． D．5

7．设，则（    ）

A． B． C． D．不存在

8．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为（    ）

A．30 B．20 C．10 D．6

9．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有(　　)

A． 12种      B． 18种        C． 24种       D． 48种

10．如图，若向量对应的复数为z，则表示的复数为（    ）

A．1＋3i B．－3－i

C．3－i D．3＋i

11．已知是定义在上的函数，且，导函数满足恒成立，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

12．2021年，河北新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心．八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援河北，共抗新型冠状病毒肺炎．北京某医院的甲、乙、丙、丁名医生到河北的三个灾区支援，若要求每个灾区至少安排名医生，则灾区恰好只有医生甲去支援的概率为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．观察下列不等式：，，，…，可归纳的一个不等式是__________（且）．

14．有这样一段“三段论”推理，对于可导函数，大前提：如果，那么是函数的极值点；小前提：因为函数在处的导数值，结论：所以是函数的极值点．以上推理中错误的原因是______错误（“大前提”，“小前提”，“结论”）．

15．从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________.

16．已知在上连续可导，为其导函数，且，则在处的切线方程为________________

三、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分）

17．(10分)设，用综合法证明：．

18．(12分)用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于.

19．(12分)已知数列的首项为，且.

（Ⅰ）写出数列的前项，并猜想数列的通项公式；

（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.

20．(12分)已知函数为一次函数，若函数的图象过点，且.

(1)求函数的表达式.

(2)若函数，求函数与的图象围成图形的面积.

21．(12分)将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子中．

（1）若每盒至多一球，则有多少种放法？

（2）若恰好有一个空盒，则有多少种放法？

（3）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？

22．(12分)一盒中放有的黑球和白球，其中黑球4个，白球5个.               

（1）从盒中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率.               

（2）从盒中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.

（3）从盒中不放回的每次摸一球，若取到白球则停止摸球，求取到第三次时停止摸球的概率.

宾县第二中学2020-2021学年度下学期第二次月考

高二数学（理科）答案

参考答案

1．C

【分析】

利用导数的性质进行求解即可.

【详解】

，因为在整个实数集上恒成立，所以函数的递增区间是.

故选：C

2．C

【分析】

对比与的等式的左边,即可得出结果.

【详解】

用数学归纳法证明:

当时,则

当,左式=,

当时,等式左边应在的基础上加上.

故选:C

【点睛】

本题考查用数学归纳法来证明与正整数有关的命题,解题的关键是要看出等式的结构形式，写出等式对比就能看出两边的差距,属于基础题.

3．A

【详解】

设，依题意，故.

4．B

【分析】

反证法的步骤为：假设结论不成立，推导出矛盾，得到结论，据此得到答案.

【详解】

反证法的步骤为：假设结论不成立，推导出矛盾，得到结论，据此知顺序为③①②.

故选：.

【点睛】

本题考查了反证法的步骤，意在考查学生对于反证法的理解和掌握.

5．C

【分析】

先利用复数的除法化简复数，再根据复数为纯虚数求解.

【详解】

复数，

因为复数()是纯虚数，

所以，

解得 ，

故选：C.

6．C

【分析】

由复数的乘法运算结合复数相等的定义求出，，再由模长公式得出.

【详解】

，即，根据复数相等的充要条件，得且，解得，，所以．

故选：C．

7．C

【分析】

分段函数计算定积分，可分段积分，即：．

【详解】

解：因为，所以，

，

故选：．

【点睛】

本题主要考查了定积分的运算，涉及分段函数的定积分可分段计算再相加，属于基础题．

8．D

【分析】

分取出的两数都是偶数和取出的两数都是奇数两类求解即可.

【详解】

从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，

①取出的两数都是偶数，共有3种取法；

②取出的两数都是奇数，共有3种取法．

故由分类加法计数原理得，共有N=3+3=6(种)取法．

答案：D

9．【答案】C

【解析】根据题意，首先先将甲、乙两机(必须相邻着舰)捆绑起来有种，然后将这个整体与其余的一架飞机排列有种，那么再从其形成的空位中任意选择两个排丙、丁可知，有种，那么根据分步乘法计数原理可知，所有的不同的着舰方法有＝24(种)．

10．D

【分析】

利用复数与向量的对应关系可得z＝1－i，再利用复数的运算法则即可得出答案.

【详解】

由题图可得Z（1，－1），即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的几何意义、复数与向量之间的对应关系、复数的运算法则.

11．A

【分析】

构造函数，对其求导结合已知条件可判断在上的单调性，所要解的不等式等价于，根据单调性即可求解.

【详解】

令，则，

因为导函数满足恒成立且，

所以，

所以在单调递减，

因为，

所以不等式等价于，

因为所以在单调递减，

所以，

所以不等式的解集为，

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键点是根据已知条件，结合所要解的不等式构造函数，利用函数的单调性求解.

12．C

【分析】

由排列组合的知识可确定四名医生分配到三个灾区，每个灾区至少一名医生和灾区恰好只有医生甲去支援的情况种数，由古典概型概率公式可求得结果.

【详解】

将四名医生分配到三个灾区，每个灾区至少一名医生，共有种安排方法；

灾区恰好只有医生甲去支援的情况有种安排方法；

由古典概型概率公式知：灾区恰好只有医生甲去支援的概率为.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：本题考查古典概型概率问题的求解，解题关键是能够利用排列组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数，对于常见的排列组合问题求法为：

（1）相邻问题采取“捆绑法”；

（2）不相邻问题采取“插空法”；

（3）有限制元素采取“优先法”；

（4）平均分组问题先选好人后，平均分了组，则除以；

（5）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.

13．

【分析】

根据所给的几个式子分析其一般规律特征，从而得出答案.

【详解】

不等式右边是从开始的逐渐增加1，

每个式子的左边的分母逐渐增加1，末项分母分别为．

所以归纳的一个不等式是

故答案为：

14．大前提

【详解】

因为导数等于零的点不一定是极值点..因为只有此值两侧的导数值异号时才是极值点，所以大前提：如果，那么是函数的极值点错误

15．120

【分析】

先从4种颜色中选出3种颜色，然后分为前三个圆用3种颜色和前3个圆2种颜色来讨论得出答案.

【详解】

从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色有4种选法.

因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类：

一类是，前三个圆用3种颜色，有种方法，后3个圆也有3种颜色，有种方法，此时不同方法有6×4=24方法；

二类是，前3个圆2种颜色，后3个圆2种颜色，共有方法.

综上可知，所有的涂法共有种方法.

故答案为： 120

【点睛】

本题考查先选后排的问题，考查涂色问题，利用分类讨论思想，结合图形将涂色方法分为两类，属于中档题.

16．

【分析】

求导得斜率，利用点斜式求解直线方程

【详解】

由题意， ，所以，

因此，所以，易知切线为

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查切线方程求法，是基础题

17．证明见解析.

【分析】

作差、分解因式、判断符号即可

【详解】

证明如下：

又，而

故

即

【点睛】

本题考查的是利用综合法证明不等式，较简单.

18．证明见解析

【分析】

假设所证结论的反面，推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而否定假设，肯定所证结论正确.

【详解】

在中，由内角和定理得，

假设至少有一个内角大于或等于不正确，则三个角都小于，即，，，

则，这与三角形内角和定理相矛盾，

故假设不成立，所证结论正确.

19．（Ⅰ），，，，猜想：.（Ⅱ）见解析

【分析】

（1）由归纳猜想即可得到答案；

（2）按照数学归纳法的步骤证明即可.

【详解】

（Ⅰ），，，，

猜想：.

（Ⅱ）当时，猜想显然成立，

假设时，猜想成立，即，

∴，

即时，猜想也成立.

∴对一切，.

【点睛】

本题考查归纳推理与数学归纳法证明等式，由到时，除等式两端的变化外，还要充分利用归纳假设，正确写出步骤，使问题得到证明.

20．（1）；（2）

【分析】

（1）假设出一次函数，根据积分构造出方程求得，进而得到结果；

（2）联立两函数解析式可求得交点坐标，从而可知所求面积为，利用积分的运算法则求得结果.

【详解】

（1）为一次函数且过点    可设

，解得：

（2）由得：，

与围成的图形面积

即

【点睛】

本题考查利用积分求解函数解析式、利用积分求解两函数围成图形面积的问题，属于积分知识的基础应用问题.

21．（1）24；（2）144；（3）8．

【分析】

（1）由四个元素的全排列计算即可；

（2）利用捆绑法将四个球中的两个“捆”在一起，再从4个盒子中选3个进行投放；

（3）先选出一个球的编号和盒子编号相同的小球，再用局部列举法得出其余三个球的投入方法，最后由分步乘法计数原理求解即可；

【详解】

（1）每盒至多一球，这是4个元素全排列问题，共有种．

答：共有24种放法．

（2）先取四个球中的两个“捆”在一起，有种选法，把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子，有种投放方法，所以共有（种）放法．

答：共有144种放法．

（3）一个球的编号与盒子编号相同的选法有种，当一个球与一个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种，故共有（种）放法．

答：共有8种放法．

【点睛】

关键点睛：解决问题（2）的方法在于利用捆绑法将四个球中的两个“捆”在一起，再进行排列.

22．（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：

（1）总方法数是，两球颜色恰好相同，可以是同为黑色，也可能是同为白色，即分为两类可得方法数；

（2）有放回取两球的总方法数为，两球颜色恰好不同，可分两类，第一类是第一个球黑色第二个球白色，方法数有，第二类是第一个球白色第二个球黑色，方法数有；

（3）取到第三次时停止摸球是第三次摸到白球，前两次摸到的是黑球．

试题解析：

（1）

（2）

（3）