2021天津南开区高三下学期3月模拟考试（一）数学试题含答案

2020-2021学年度第二学期南开区高三年级模拟考试（一）

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟

第I卷

注意事项：

1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考试科目填涂在答题卡规定的位置上

2. 第I卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号

参考公式：

球的体积公式，球的表面积公式，其中表示球的半径

如果事件互斥，那么

如果事件相互独立，那么

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

 1. 设全集，集合，则等于

A.      B.     C.   D. 

2. 已知，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件  D.既不充分也不必要

3. 函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是

A. 

B. 

C. 

D. 

4. 某校抽取100名学生做体能测试，其中百米测试中，成绩全部介于13秒到18秒之间，将测试结果分为五组：第一组，第二组，……，第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于即为优秀，如果优秀的人数为14人，则的估计值是

A. 14    B.     C. 15    D. 

5. 已知一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是

A.     B.     C.     D. 

6. 已知，则

A.    B.    C.    D. 

7. 已知函数满足，则的最小值为，则的值为

A.    B.      C.     D. 

8. 设直线与轴交于点，与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为的中点，则该双曲线的离心率是

A.     B.     C.     D. 

9. 已知函数 ，若方程有5个不等实根，则实数的取值范围是

A.    B.     C.    D. 

第II卷

注意事项：

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔答题

2. 本卷共11小题，共105分

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卡中的相应横线上

10. 是虚数单位，复数的共轭复数为________

11. 在的展开式中，常数项为________

12. 已知过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为

________

13. 对某种型号的仪器进行质量检测，每台仪器最多可检测3次，一旦发现问题，则停止检测，否则一直检测到3次为止，设该仪器一次检测出现问题的概率为，则检测2次停止的概率为________，设检测次数为，则的数学期望为________

14. 已知，，则的最大值是________

15. 在中，，则，

若，，则的最大值为________

三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

16.（本小题满分14分）

在中，内角所对的边分别为，

已知

（1）求角的大小

（2）若，求的值

17.（本小题满分15分）

如图，四棱锥中，平面，，，

（1）求与平面所成角的正弦值

（2）求二面角的正弦值

（3）设为上一点，且，若//平面，求的长

18.（本小题满分15分）

已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，点的坐标为

，延长线段交椭圆于点，轴

（1）求椭圆的离心率

（2）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点， ，直线交椭圆于两点，若，求椭圆的标准方程

19.（本小题满分15分）

已知等比数列中，，数列满足，

（1）求数列的通项公式

（2）求证：数列为等差数列，并求前项和的最大值

（3）求

20.（本小题满分16分）

已知曲线与轴交于点，曲线在点处的切线方程为，

且

（1）求的解析式

（2）求函数的极值

（3）设，若存在实数，，使

成立，求实数的取值范围