2021东北师大附中高三下学期第四次模拟考试数学（文）含答案

切磋砥砺足千日  紫电龙光助鹰扬

东北师大附中 2018级高三年级 第四次模拟考试

数学（文）学科试卷

本试卷共23题，共150分，共3页．

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则

A．          B．           C．     D．

2．已知为虚数单位，复数满足，则

A．      B．          C．         D．

3．函数的图象大致为

A．              B．               C．              D．

4．若在上是减函数，则的最大值是

A．          B．              C．             D．

5．某高中高一、高二、高三年级的人数分别为1200、900、900人．现按照分层抽样的方法抽取300名学生，调查学生每周平均参加体育运动的时间．样本数据（单位：小时）整理后得到如下图所示的频率分布直方图．下列说法错误的是

A．每个年级抽取的人数分别为120、90、90人

B．估计高一年级每周平均体育运动时间不足小时的人数约为人

C．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于小时的人数约为人

D．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于小时的百分比为

6．执行如图所示的程序框图. 若输出的是,则判断框内的条件是

A． B． 

C． D．

7．已知是两条不同的直线，是平面，，，则“”是“”的

A．充要条件   B．充分不必要条件  C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

8．在中，角的对边分别为，已知的面积是，则的三个内角的大小为

A．                B．

C．           D．

9．若双曲线：的一条渐近线被以焦点为圆心的圆 所截得的弦长为，则

A．1          B．           C．         D．2

10．已知，，，则

A．   B．      C．     D．

11．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为

A．      B．          C．        D．

12．已知，若函数有三个不同的零点

，则的取值范围是

 A．    B．    C．        D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设向量，，若，则         ．

14．若实数，满足约束条件，则的最大值为       ．

15．已知，则        ．

16．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal Dandelin(1794-1847)的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是．由的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以为焦点的椭圆．

如图②，一个半径为的球放在桌面上，桌面上方

有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆．已

知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相

切，，则椭圆的离心率为          ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

设等差数列公差为，等比数列公比为． 已知，，

．

（1）求数列和的通项公式；

 （2）求数列的前项和．

18.（12分）

 近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共份有效问卷，名男性中有名不愿意接种疫苗，名女性中有名不愿意接种疫苗．

 （1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关？

（2）从不愿意接种疫苗的份调查问卷中得知，其中有份是由于身体原因不能接种；且3份是男性问卷，2份是女性问卷．若从这5份问卷中任选2份继续深入调研，求这2份问卷分别是1份男性问卷和1份女性问卷的概率．

附：，

19．（12分）

如图，在三棱锥中，，，．

（1）证明：；

（2）若直线与平面所成的角为，，求三棱锥的体积．

20．（12分）

如图，已知抛物线的焦点为，四点都在抛物线上，直线与直线相交于点，且直线过定点．

（1）求和的值；

（2）证明：①为定值；

           ②直线斜率为定值，并求出该定值．

21．（12分）

已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，求的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22．[选修：坐标系与参数方程]（10分）

平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若射线：平分曲线，且与曲线交于点（异于点），曲线上的点满足，求的面积．

23．[选修：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求的最大值；

（2）已知，且，求证：．