2021省大庆铁人中学高三下学期5月第四次模拟考试数学（文）试题含答案

铁人中学2018级高三下学期模拟考试

文科数学试题

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．

2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

第I卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合；，则=（  ）

A.      B.         C.      D.   

2.已知复数，则复数的虚部是（  ）

A.      B.             C.             D.  

3.设等差数列的前项和为，其中，，则=（  ）

 A.9        B.18            C.27           D.36   

4.命题的否定是（   ）  

5.已知向量满足，则（   ）

A.        B.       C.4       D. 12 

6.干支历法是我国传统文化的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法．它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法．具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如2013年3为癸；再用2013年除以12余数为9，9为巳．那么2013年就是癸巳年了．

已知我校2021年高三应届毕业生李东是癸未年出生，李东的父亲比他大26岁，问李东的父亲是哪一年出生（   ）

A. 甲子 B. 乙丑 C. 丁巳 D. 丙卯 

7.设，，，则的大小关系是(   )

A.  B.  C.  D.  

8.右图是某多面体的三视图，其俯视图为等腰直角三角形，则该多面体各面中，最大面的面积为

A.      B.      C.      D.  

9.已知函数在处有极值10，则（   ） 

A. -7              B. 0              C. -7或0           D.-15或6   

10.已知直线被圆截得弦长为，则的最大值为（   ）

A.      B.      C.      D.  

11.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（  ）

A.   

B. 直线MN与平面ABCD所成角为

C.   

D. 异面直线与所成角为   

 12.已知，若对任意的，均有恒成立，则实数的取值范围是（     ）

   A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

   本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.若变量x，y满足约束条件,则的最大值为______

14.已知双曲线的左右焦点分别为，过作渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为       .

15.已知△内角，，所对的边分别为，，，若，，，则△面积为___________.

16.在正三棱锥中，，点是的中点，若，则该三棱锥外接球的表面积为___________.

三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．

17.在数列{}中，＝2，是1与的等差中项

（1）求证：数列{}是等差数列，并求{}的通项公式；

（2）求数列{}的前n项和.

18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组第组第组得到的频率分布直方图如图所示：

（1）求的值；

（2）求这人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；

（3）现在要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第组恰好抽到人的概率.

19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，为中点．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)若，求点A到平面PBC的距离．

20.设为坐标原点，椭圆的左焦点为，离心率为.直线与交于两点，的中点为，.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点，求证:直线过定点，并求出定点的坐标.

21.已知函数．

（1）若点P为函数图象上的点，求点P到直线距离的最小值；

（2）设函数，其中，若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.(本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程

在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的极坐标方程，并指出它是何种曲线；

（2）设与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求四边形面积的取值范围．

23.(本小题满分10分）选修4-5不等式选讲

已知函数，，且的最大值为1．

（1）求实数的值；    

（2）若，求证：
 

高三考试月第四次数学考试答案

一、选择题

二、填空题

 13.12   14.   15.   16.

三、解答题

17.【答案】（1）证明见解析，an＝1；（2）Sn＝．

（1）a1＝2，an是1与anan+1的等差中项，

可得2an＝1+anan+1，

即an+1，an+1﹣1，可得1，

可得数列{}是首项和公差均为1的等差数列，

即有n，可得an＝1；

（2），

则前n项和Sn＝11．

18.【答案】（1）；（2）平均数为岁；中位数为岁；（3）.

解：（1）由，得.

（2）平均数为岁；

设中位数为，则，∴岁.

（3）第组的人数分别为人，人，从第组中用分层抽样的方法抽取人，

则第组抽取的人数分别为人，人，分别记为.

从人中随机抽取人，有，

共个基本事件，从而第组中抽到人的概率.

19.平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，，，又，，
，是PC的中点，，，又，
平面BDE，又平面PBC，平面平面PBC．...
(2)设，，
则，．，
，又，，
设A到平面PBC的距离为h，则．，
，解得．

20．设为坐标原点，椭圆的左焦点为，离心率为.直线与交于两点，的中点为，.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点，求证:直线过定点，并求出定点的坐标.

【答案】（1）；（2）直线过定点.

试题解析：（1）设椭圆的右焦点为，则为的中位线.

∴

∴

∵    ∴    ∴

∴椭圆的方程为:

（2）设，.

联立,消去整理得：.

∴，

∴，

∵

∴

∴，整理得：   

解得：或（舍去）           

∴直线过定点.

21．【答案】（1）．（2）．

解：（1）因为，

所以，

设，则点P处切线的斜率为．

若点P处的切线与直线平行，则点P到直线的距离最小，，

解得或（舍去）． 

则，即．

点P到直线的距离，

即点P到直线距离的最小值为． 

（2），的定义域为，

函数有两个不同的零点可转化为方程有两个不同的实数根．

设，则，

令，则，在上单调递增，

当时，，

所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以函数有最小值，且．

，，，

画出在上的大致图象如图所示，

则由图可知， ．

故实数a的取值范围为．

22.【答案】（Ⅰ）,圆；（Ⅱ）.

（Ⅰ）由（为参数）消去参数得：

将曲线的方程化成极坐标方程得：

曲线是以为圆心，为半径的圆

（Ⅱ）设，

由与圆联立方程得：

，

三点共线

则

用代替可得：

23.解：因为，
当时，取到等号，
所以，解得，
由，
所以，
所以，
当且仅当时，取等号．