2021黄冈中学高三下学期5月第三次模拟考试数学试题含答案

黄冈中学2021届高三年级第三次模拟考试

数学试卷

5.24

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知为的两个不等的非空子集，若，则下列结论错误的是（    ）

A.，使得    B.，使得

C.，都有    D.，都有

2.已知复数满足，则（    ）

A.4    B.2    C.    D.1

3.某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（    ）

A.    B.

C.    D.

4.近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨垃圾､可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计生活垃圾.经以后数据统计如表(单位：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（    ）

A.显余垃圾投放正确的概率为

B.居民生活垃圾投放错误的概率为

C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱

D.厨余垃圾在“厨垃圾”箱､“可回收物”箱､其他垃圾”箱的投放量的方差为20000

5.已知是边长为4的等边三角形，且为中点，则（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知，则（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则（    ）

A.2    B.    C.    D.4

8.若不等式对一切恒成立，其中为自然对数的底数，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若､是两个相交平面，则在下列命题中，正确的是（    ）

A.若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线

B.若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直

C.若直线，则在平面内，一定存在与直线异面的直线

D.若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线

10.已知动点在双曲线上，双曲线的左､右焦点分别为，下列结论正确的是（    ）

.双曲线的渐近线与圆相切

B.满足的点共有2个

C.直线与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是

D.若，则

11.已知数列的前项和为，且为非零常数，则下列结论正确的是（    ）

A.数列是等比数列    B.当时，

C.当时，    D.

12.已知，则（    ）

A.的图像关于直线对称

B.在上递增

C.的值域是

D.若方程在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为，则

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.__________.

14.设是抛物线上的两个不同的点，为坐标原点，若直线与的斜率之积为，则直线过定点，定点坐标为__________.

15.甲､乙､丙､丁､戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲､乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军"；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况有__________种(用数字作答).

16.罗默､伯努利家族､菜布尼兹等大数学家都先后研究过星形线的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计.曲线围成的图形的面积__________2(选填“"､"<"或"=")，曲线上的动点到原点的距离的取值范围是__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17.(本小题满分10分)已知数列中，.

（1）求证：数列是常数数列；

（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.

18.(本小题满分12分)在平面四边形中，.

（1）若的面积为，求；

（2）若，求.

19.(本小题满分12分)如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且.

（1）求证：平面；

（2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角线的余弦值.

20.(本小题满分12分)已知椭圆，四点，中恰有三点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程：

（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点为轴上一点，是否存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出值及点的坐标；若不存在，请说明理由.

21.(本小题满分12分)科教兴国，科技强国.探索浩潮宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者､航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空､推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧､中国方案､中国力量.

（1）为助力我国航空事业，某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，产品的次品率会大幅度增加.为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在(单位：百件)件产品中，得到次品数量(单位：件)的情况汇总如表所示，且(单位：件)与(单位：百件)线性相关：

请根据表格中的数据，求出关于的线性回归方程：根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件，请判断可否安排一小时试生产10000件产品的任务？

（2）"战神”太空空间站工作人员需走出太空站完成某项试验任务，一共只有甲､乙､

丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为，假设互不相等，且假定各人能否完成任务相互独立.

①如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序泥人，求任务能完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

②假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小.

(参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式，)

(参考数据：，)

22.(本小题满分12分)已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）讨论关于的方程的实根的个数.

湖北省黄冈中学2021届高三第三次模拟考试

数学参考答案

一､选择题：

1-8DBACBDBA

二､多项选择题：

9.BD   10.ACD   11.ABC   12.ACD

三､填空题：

       14.              ；

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（1）由得：，即

，即有数列是常数数列；

（2）由（1）知：

即，

当为偶数时，，显然无解；

当为奇数时，，令，解得：，

结合为奇数得：的最小值为

所以的最小值为

18.（1）在中，

，在中，由余弦定理可得：

（2）设，则.

在中，，

在中，，

由正弦定理可得，，

，化简可得，.

19.（1）证明：四边形是菱形，.

平面，而平面.

是的中点，平面

（2）由（1）可得平面，则是在平面上的射影，

是直线与平面所成角，即，在中，，

又，且是正三角形，.

以为原点，分别以为轴，

建立空间直角坐标系，则，所以

设平面的一个法向量为，则，

可得.

取平面的一个法向量为，

则，由观察得：二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.

20.（1）由对称知：都在椭圆上，对于椭圆在第一象限的图像上的点，易知：

是的减函数，故中只有一个点符合，显然不在椭圆上，三点在椭圆

上，，代入点得：椭圆方程为；

（2）设，假设存在符合题意.

由得：，

则，或

设中点为，则

所以

由是以为直角顶点的等腰直角三角形有：

，即有，解得：或

当时，点坐标为当时，点坐标为.

21.（1）由已知可得：

又因为，

由回归直线的系数公式知：

，所以

当(百件)时，，符合有关要求，所以可以安排一

小时试生产10000件产品的任务.

（2）①若甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，任务被完成的概率为：

若甲在先，丙次之，乙最后的顺序派人，任务被完成的概率为：

，

发现任务被完成的概率是一样的，同理可以验证，不论如何改变3人的先后顺序，任务能被

完成的概率不会发生变化；

②由题意得的可能取值为1，2，3，

按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，所需派出的人员数目的分布列为：

所以

因为，且，

其它情况同理可得，

所以要使所需派出的人员数目的均值得到最小，只能先派甲乙中的一人，

若先派甲，再派乙，最后派丙，则

若先派乙，再派甲，最后派丙，则；

所以，

所以先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望达到最小.

22.（1）定义域为：.

当时，在上递减；

当时，令，则

当递减；当递增；

在上递减，在上递增

综合得：当时，在上递减；

当时，在上递减，在上递增；

（2）由得：，即

方法1：变形后含参讨论

方程变形得：，令

原问题等价于讨论函数在上的零点的个数.

是的一个零点.

在和上的零点互为倒数.

故下面只需研究函数在上的零点情况即可.

当时，

①当时在上递增，在

上没有零点；

②当时，则，显然，

令则

当，即时，，则在上递增，

在上没有零点

当，即时，则有两个不等实根，不妨设为，且，则

，显然，故，

当时，递减；

当时，递增，

在上递减，在上递增，当时，，

当时，无零点.

易证，而

而在上有且仅有一个零点，即在上

有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点.

故当时，在上无零点，当时，在上有且仅有一个零点.

根据在和上的零点互为倒数可知：当时，在上无零点，

当时，在上有且仅有一个零点，

而当时，总是的一个零点.

所以当时，仅有一个零点，

当时，有三个零点.

即当时，方程的仅有一个实根，

当时，方程

有三个实根.

方法2：参变分离

，显然是方程的根.

当时，方程变形为，

不妨令，

则，

令

则

在上均为增函数，

而当时，递减；当时，，

递增.

而当时，，当时，利用洛必达法则得：

当时，

所以函数的图像如图所示：结合图像可得：

当时，方程无解，当时，

方程有2解.

综合得：当时，方程的仅有一个实根，

当时，方程有三个实根.

方法3：变形后换元含参讨论

由得：，

即

方程变形得：，令，

则有

由知：方程与方程的根的个数是等价的.

令，得，

则原问题等价于讨论函数在上的零点的个数

①当时，在上递增，而

在上仅有1个零点；

②当时，则，

令，

则.

当，即时，，则在上递增，而，

在上仅有1个零点；

当，即时，则有两个不等实根，不妨设为，且，

则，显然，其中

当时，递增；当时，，

递减；当时，递增；

在

上均递增，在上递减.

由知：，

易证，而

而在上有且仅有一个零点，

即在上有且仅有一个零点.

易证，

而在上有且仅有一个零点，

即在上有且仅有一个零点.

当时，在上有3个零点

综合得：当时，在上仅有1个零点，当时，在上有3个零点.