2022黄冈中学高三第三次模拟考试数学（含答案）

湖北省黄冈中学2022届高三第三次模拟考试数学试卷

              考试时间：2022年5月24日下午15:00-17:00  试卷满分：150

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则

A.     B.         C.      D.

2. 已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为      

A.          B．         C．          D．

3. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为

A.          B．         C．          D．

4. 随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为

A.          B．         C．          D．

5．已知二次函数（）的值域为，则的最小值为

A．     B．3   C．      D．4

6. 已知，则       

A.          B．         C．          D．

7. 若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为

A.          B．         C．          D．

8. 若函数为偶函数，对任意的，且，都有，则        

A.         B．       

C．       D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.  

9.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为分）作为样本进行统计，样本容量为．按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示.其中，成绩落在内的人数为．则下列结论正确的是                         

A.样本容量

B.图中

C.估计该市全体学生成绩的平均分为分

D.该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号

10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是  

A.函数的图象可由的图象向左平移个单位得到

B.是图象的一条对称轴

C.若，则的最小值为

D.直线与函数在上的图象有7个交点

11. 已知直线与圆交于，两点，且为锐角（其中为坐标原点），则实数的取值可以是 

A.      B.        C.         D.

12. 已知正项数列的前项和为，若，，数列的前项和为，则下列结论正确的是  

1. 是等差数列
3.        
4. 满足的的最小正整数解为10

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设随机变量，若，则  ▲  .  

14.已知函数，则  ▲  .   

15．在边长为4的等边△中，已知，点在线段上，且，则  ▲  .

16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，则  ▲  ；设点是抛物线上的任意一点，点是的对称轴与准线的交点，则的最大值为  ▲  .（第一个空2分，第二个空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分10分）

已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）在锐角△中，若，，，求△的面积.

18. （本小题满分12分）

已知等差数列的前项和为，且，；数列满足.

（1）求数列和的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

19.（本小题满分12分）

如图1，在▱中，，，，以对角线为折痕把 折起，使点到达图2所示点的位置，且.

（1）求证：；

（2）若点在线段上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

20.（本小题满分12分）

某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为600元、900元、1500元，奖金可累加；若某关闯关成功，可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束.选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为，第一关闯关成功选择继续闯关的概率为，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为，且每关闯关成功与否互不影响.

（1）求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；

（2）设小李所得总奖金为，求随机变量的分布列及其数学期望.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且的最大值为3，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的直线与椭圆交于另一点（异于点），与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，求证：点是线段的中点.

22.（本小题满分12分）

已知函数,.

（1）当时，证明：；

（2）若函数在内有零点，求实数的取值范围.