2021佛山石门中学高三下学期5月高考模拟数学试题含答案

2021届高三高考模拟数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.【黄志平】已知,函数的定义域为,集合,则

（   ）A.        B.      C.         D.

2.设，其中，是实数，是虚数单位，则

A．1     B．    C．    D．2

3.【刘振龙】在一个抛硬币的游戏里，抛出的前2个硬币都是正面朝上，则在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为（   ）A.                B.                C.                D.

4.若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（ ）

A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

5.【付强】如图，圆柱的轴截面是正方形，分别是和的中点，是弧的中点，则经过的平面与圆柱侧面相交所得到的的曲线的离心率是（  ） A. 1   B. C.   D.

6. 【黄志平】已知是单位向量，且，若向量，则与的夹角为（    ）    A． B． C．              D．

7.【马安华】 (x2+2a x- a)5的展开式中各项的系数和为1024,则a的值为（     ）

     A、1       B、2        C、3          D、4

8.【罗建中】已知两点在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的曲线方程是（　）

 A．           B.      

C.               D. 

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分。

9.设为正实数，下列命题正确的有（    ）

A．若，则；       B．若，则；

C．若，则；    D．若，则.

10.【黎岗】已知函数 f(x)= x ln( ,则以下结论正确的是(       )

  A.f(x)为奇函数                            

  B.f(x)在区间（0，+∞）上单调递增

C.曲线y= f(x)在(0,f(0) )处的切线的斜率为 ln 2  

D.函数 f(x)有三个零点

11、【刘铠勇】中国饮食文化是有着长远历史，博大精深的中国文化。譬如粽子，有人说是因为纪念爱国诗人屈原人们用用艾叶或苇叶、荷叶包住食物，用五色丝线捆好，投江祭奠；也有人说是为了清明节纪念晋文公名臣介子推。现在粽子已演变出不同品种、不同类别，很多地方逢年过节怀着美好祝愿以棕子为
食物。其中一种粽子被包成比较对称的四面体形状。现有一只质地均匀的粽子程棱长为12的四面体ABCD，兄弟三人分食此粽。大哥将棕子平放桌面上（面BCD在桌面），准备用垂直于桌面的两刀将粽子体积三等分，忽略粽子的变形，第一刀经过了棱AB上点E,切截面与棱BC，BD均相交；则以下结论正确的是（     ）

A、若AE=2，第一刀切底面所得的三角形面积是定值；

B、若AE=2，截面截底面两边的长度为；

C、点E能与点A重合；

D、若第二刀将剩余部分分为全等的两块，则BE长为。

12、【胡珂】已知曲线的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线，下列方程所表示的曲线中，曲线的序号是（     ）.

A．；     B．-2；

C． ；     D．.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、【付强】梯形中，,,,,分别以为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为    . 

14、【刘依舒】 若“”为假命题，则实数a的取值范围为________．

15、【李锦万】在某次模拟中，全级的数学成绩近似服从正态分布．据此估计：在全级同学中随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的数学成绩超过93.1分的概率是________．

16、【罗建中】抛物线的焦点为,准线为,是抛物线上的两个动点,且满足.设线段的中点在上的投影为,则的最大值是__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（10分）

【李锦万】已知数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18、（12分）

【黄锡纯】在中，线段是的角平分线，且 

(1)求

(2)若求的值.

19、（12分）

【李锦万】在某次校园科技节游园活动中，数学兴趣小组的摊位开展了一个特别的投骰子游戏。如果玩家投中1或者6可得1分，并且可以继续下一次投骰子，如果结果为2到5则游戏结束，但游戏的次数最多不超过次。以X表示游戏结束时玩家累计获得的分数。

（1）求玩家至少获得2分（）的概率；

（2）求X的分布列；

（3）求X的数学期望。

20、（12分）

【刘铠勇】如图，⊥面,四边形是边长为1的为正方形；点在线段上，。

（1）若//面且，求值；

（2）若⊥面，棱锥体积取得最大值，

求四棱锥的高。

21、（12分）

【罗建中】已知动圆P过点且与圆相内切。

①求动圆圆心P的轨迹方程。

②直线过原点，且与轨迹有两个交点。轨迹上是否存在一点，使△为正三角形，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由。

22.（12分）

【黄志平】设函数

（1）当时，证明：;

（2）当时，证明：有唯一零点.

答案

一、选择题

1、【答案】A

【解析】,,

,.  故选A

2、【答案】D

3、【答案】C

4、【答案】B

若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B．

5、【答案】B

6、【答案】B

【解析】由，两边平方，得：，

因为，是单位向量，所以，得，

则，

，所以，

所以与的夹角为．故选B

7、【答案】C，赋值法：令x=1可知道展开式中各项系数的和为（a+1）5=1024，所以a=3。

8、【答案】C

解：由题设知P点在MN的中垂线上，所以问题转化为中垂线与曲线是否有交点，与中垂线平行，圆与中垂线相离。由图或判别式知与无交点。选C。

二、多选题

9、【答案】AD

若，则，即，

，，即，该选项正确；

若，可取，，则，该选项错误；

若，则可取，，而，该选项错误；

由，若，则，即，即，

，，即若，则，即，即，，，即该选项正确；

10.【答案】 A B C

对A：函数 f(x)的定义域为R,且有 f(-x) = (-x ) ln(= - x ln(

对B：当x∈（0，+∞）时 y=x 为增函数，而y=则 ln(>0

当x∈（0，+∞）时 y=为增函数, 

 故函数 f(x)= x ln( 在区间（0，+∞）上单调递增。

对C：设h(x)= ln( ,于是f(x)= x h(x) ,有 f’ (x) =x’ h(x) + x h’(x)  得f’(0)= h(0) =ln 2

对D：故函数 f(x)= x ln( 在区间（0，+∞）上单调递增得f(x).0，且f(x)为奇函数,即函数 f(x)= x ln( 在区间R上单调递增，只有一个零点。

11、【答案】AB

解答：设第一切交边BC、BD分别交于G、H，不失一般性，设BH≥BG，设BC中点为M,A、E在底面的射影分别为O、F，则F∈BO；设=,=()，,则

∵∴

又，则 从而①

②

A选项AE=2时，，则，为定值上；

B选项联立①②解得：，故边长为

C选项此时=1，此时联立①②无解，故不能；

D选项此时应有GH⊥BO,即，联立①②有，故BE=AB=.

12、【答案】选BD.

对于A，当为时，曲线上不存在点，使.故A不是曲线；

对于B, M={（x，y）|-2}，如下图虚线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈ M，存在（x2，y2）∈ M，使得成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足曲线；

对于C, M={（x，y）|}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“曲线”；

对于D，由可得或点，∴对于任意，存在，使.故为曲线.选BD

三、填空题

13、【答案】

14、【答案】因为恒成立，所以在恒成立，
所以且，
又因为在上是增函数，
所以，
所以.

15、【答案】。由题意，可得每名学生的数学成绩，所以，则全级随机抽取的4名同学中恰有2名的成绩超过93.1分的概率是.故答案为：

16、【答案】解析：过点作于,过点作于,由抛物线的性质可知,.又是中点,所以是梯形的中位线,则.在中,
,
则,
当且仅当时,不等号取等号.

四、解答题

17、【答案】（1），令，解得，…………1分

，，两式相减，得，…………3分

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.…………4分

所以数列的通项公式为，…………5分

（2）由（1）知，，所以，即

，…………6分

，…………8分

∴.…………10分

18、解(1) 平分

(2)如图，过点作交于点，并延长交于点

显然

在中，

在中，由正弦定理得

即

又

19、解：（1）在单次投骰子中，投中1或者6的概率为，投中2到5的概率为…1分

…………2分

…………4分

（2）X的可能取值为0，1，2，……，…………5分

依题意得…………6分

…………7分

所以X的分布列为：

…………8分

（3）……9分

……①……②

①—②得：…………10分

…………11分   整理得…………12分

20、解：（1）设。

∵,面∩面=,//面,

∴//

∴,∴=1.

（2）解法一: 建立如图所示坐标系，设(0,0,p)，有=(-1,1,0)，

设，则=

∵⊥面 ∴⊥

∴  得：

因为的底面△不变，故即到面的距离取最大值。

到面的距离=

当仅当,即时取最大值.故四棱锥的高为.

解法二: 设.△PAC中,作EH//PA,交AC于H.

∵⊥面  ∴⊥面  就是到面的距离

因为的底面△不变,即求EH最大时PA的值.

∵⊥面  面  ∴.

故E在以OC为直径的半圆上,当EH取最大值时,EH为圆的半径,H为圆心.

此时 =4=4×

21、解：①设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则由条件知

　　　　　　　　              　………………1分

故　　　　　　　　　               　………………3分

因此，P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆方程。

故圆心P的轨迹方程为：　　                ………………4分

② 解法一：若直线的斜率存在且不为零。

故可设。直线方程为：………………5分

由………………7分

同理，得………………8分

因，此时无解。………10分

若直线的斜率为零，此时也无解。………11分

若直线的斜率不存在，可求出。故的坐标为　　　………12分

解法二：由图形的对称性及正三角形性质，不妨设，　               　………8分

代入椭圆方程，得　　  　………9分

同理，由由                     ………10分

得，故存在这样的点，其坐标为。　　　  　………12分

22、【答案】

解：（1）当，时，则有：，，则有：

若能证得：，则原不等式得证。

要证，只需证：当时，

令，则，即是上的增函数，

，即，

，

即是上的增函数，，

故当，时，.

（2）当时，

，令，

则，若，递增，

，  故存在唯一实数，使，

，又，故存在唯一实数，使，

又，  ，

， 在有唯一零点；

当时，  故在上有唯一零点.