2021厦门外国语学校高三下学期5月高考适应性考试数学试题含答案

厦门外国语学校2021届高三模拟考数学试卷

一、选择题

1．已知集合、集合，且，则下列结论正确的是（    ）

A．有可能    B．      C．      D．

2．设i为虚数单位，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．某次大学生知识大赛，某校代表队3人参赛，答4道题，每人至少答1道题，每题仅1人作答，则不同的题目分配方案种数为（    ）

A．24 B．30 C．36 D．42

4．为美化环境，某城市决定用鲜花装饰如图所示花柱，它的下面是一个直径为1､高为3的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰一个这样的花柱大约需要鲜花朵数为（    ）(π取3.1)

A．1235 B．1435 C．1635 D．1835

5．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（    ）

A．s＝s1             B．s<s1.                 C．s>s1            D．不能确定

6．已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当时，y的值表示2021年年初的种群数量.若年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为(参考值：)（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

7．在中，，，，，，则（   ）

A． B．3 C．6 D．15

8．已知，(e=2.718…为自然对数的底数)，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．         B．        C．        D．

二、多选题

9．已知方程表示的曲线是双曲线，其离心率为，则（    ）

A．                    B．点是该双曲线的一个焦点

C．                        D．该双曲线的渐近线方程可能为

10．若函数对任意的，都有，则（    ）

A．的一个零点为         B．在区间上单调递减

C．是偶函数.                D．的一条对称轴为

11．已知，且，则下列不等式正确的（    ）

A． B．  C．  D．

12．下列命题中，正确的命题是(    )

A．在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若，则

B．已知，则

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．某人在次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大

三、填空题

13．已知直线与圆交于，两点，则______．

14．已知表示不超过的最大整数，例如：，.在数列中，，.记为数列的前项和，则___________.

15．蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是，这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在正六棱柱的三个顶点处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的三棱锥，，，平面，平面，平面交于点，就形成了蜂巢的结构．如图，设平面与正六边形底面所成的二面角的大小为，则________.（用含的代数式表示）

16．当时，.若函数没有零点，则正实数的取值范围是___________.

四、解答题

17．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）求角A.

（2）若，边上的高为3，求c.

18．已知公差不为零的等差数列的前n项和满足.

（1）证明：成等比数列；

（2）若，求正整数m的最大值.

19．根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）5天内每天新接种疫苗的情况，得如下统计表：

（1）建立关于的线性回归方程；

（2）预测该村居民接种新冠疫苗需要几天？

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，．

20．在三棱柱中，，分别为，的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，，且在底面上

的正投影恰为点，求二面角的正弦值．

21．已知椭圆的离心率为，点分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为，且的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线，使得与椭圆相交于两点，且点恰为的垂心？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由.

22．已知函数.

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，证明：.

厦门外国语学校2021届高三模拟考数学试卷答案

1．B【详解】，，，若，由集合中元素互异性知：，；若，同理可知：，；综上所述：.

2．B解：，所以复数的虚部为 .

3．C【详解】由题意分配方案种数为．

4．C【详解】圆柱侧面积为，半球的表面积为，所以总面积为，所以大约需要鲜花10.85×150=1627.5朵.

5．C【详解】由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为，则

，若比较与的大小，只需比较与的大小即可，而，，所以，从而.

6．C【详解】因为当时，y的值表示2021年年初的种群数量，所以有，即2021年年初的种群数量为，当年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，所以有，所以t的最小值为11，

7．B【详解】如图所示，因为，所以.

又因为，所以，所以，

即，又，所以.

8．C【详解】令，所以所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，因为，，，所以，即.

9．AC【详解】对于A，因为方程表示的曲线是双曲线，所以，解得，故选项正确；

对于B，将化为，得焦点在轴上，故选项错误；

对于C，因为，所以，故选项正确；

对于D，因为双曲线的渐近线斜率的平方，所以选项错误.

10．ACD解：函数对任意的，都有，则当时，函数取得最大值，故有，即，，取，则．

令，求得，可得的一个零点为，故正确；当，，，，单调递增，故错误；，是偶函数，故正确；令，求得，为最小值，故的一条对称轴为，故正确，

11．ABD【详解】因为，，当且仅当时等号成立，所以，A正确；由得，，同理，，当且仅当，即时等号成立，B正确；满足题意，但，C错；

由得，所以，当且仅当即时等号成立，所以．D正确．

12．BCD【详解】对于选项A：随机变量服从二项分布，，，可得，，则，选项A错误；对于选项B：为必然事件，所以，而与互斥，，选项B正确；

对于选项C：随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若，则，，选项C正确；

对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，，

当时，对应的概率，

所以当时，，

由得，即，因为，所以且，又，即时，概率最大，故选项D正确．

13．【详解】圆化为，则圆心为

圆心到直线的距离为 所以

14．【详解】当时，；当时，，此区间所有项的和为.当时，，此区间所有项的和为.当时，，此区间所有项的和为.所以.

15．【详解】先证明一个结论：如图，在平面内的射影为，的平面角为（），则.证明：如图，在平面内作，垂足为，连接，因为在平面内的射影为，故，因为，故，因为，故平面.

因为平面，故，所以为二面角的平面角，所以.

在直角三角形中，.由题设中的第二图可得：.

设正六边形的边长为，则，如图，在中，取的中点为，连接，则，且，，故，故，故.

16．【详解】当时，当时，可化为作出函数与的图象由图可知当时，要使得函数没有零点

必须满足，解得当时，要使得函数没有零点必须满足或者，解得或

综上，

17．（1）；（2）或.

【详解】（1）中，∵，由正弦定理得，∴，即；∵为内角，，∴，又∵为内角，

∴.

（2）因为将，，代入，得.

由余弦定理得，于是，即，解得或.

18．（1）证明见解析；（2）最大值为8.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，得，即.

则，所以所以，且，所以成等比数列.

（2）若，则，因为，所以数列是递增数列，当时，；当时，.

所以正整数m的最大值为8.

19．（1）；（2）.

【详解】（1），，则，，

故关于的线性回归方程.

（2），设，数列的前项和为，易知数列是等差数列，

则，因为，，

所以预测该村居民接种新冠疫苗需要天.

20．（1）证明见解析；（2）．

解：（1）如图，连接，，因为为的中点，且四边形是平行四边形，所以为的中点，又为的中点，所以，

又因为平面，且平面，所以平面；

（2）方法一：由（1）可知二面角即为二面角，如图，连接和，

由在底面上的正投影恰为，所以平面，因此，，

又因为，且为中点，故，即线段，，两两垂直，

以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，对于平面，因为平面，且平面，所以平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，因为，，

由，得，取，则，

设二面角的平面角为，则，

因此二面角的正弦值为．

（2）方法二：由（1）可知二面角即为二面角，如图，连接，，

取线段的中点，连接和，因为且，所以四边形为平行四边形，因为平面，故．又因为且为中点，所以，

故平面，因此，，故为二面角的平面角，

在中，，在中，，，，

故，即二面角的正弦值为．

21．（1）；（2）存在，.

解：（1）由题可知，解得，所以椭圆的方程为；

（2）假设满足条件的直线存在，由，所以，因为点为的垂心，

所以，所以，设直线的方程为，代入，

得，(*)，，即，记，则，由，得，

所以，将代入上式，得，所以，

所以，解得(舍去)，代入(*)满足，所以直线的方程为．

22．（1）；（2）证明见解析.

【详解】（1）由，即恒成立，得恒成立.令，则由得.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数在时取到最小值，即.所以，故的取值范围是.

（2）当时，要证，即要证，由，得，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处取到极小值，也是最小值，即.令，则，令，则，当时，，所以在上单调递减，所以，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，从而可得，

易知，所以当时，.