山东省德州市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

这是一份山东省德州市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


山东省德州市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 A={x∣y=x−2} ， B={x∣lnx<1} ，则 A∩B= （    ）
A. (2,e)                                   B. [2,e)                                   C. (e,+∞)                                   D. ∅
2.命题“ ∃x>0 ， xx2+1>0 ”的否定是（    ）
A. ∀x>0 ， xx2+1>0                                           B. ∃x>0 ， xx2+1<0
C. ∀x>0 ， xx2+1≤0                                           D. ∃x>0 ， xx2+1≤0
3.已知 a>0>b 且 a2>b2 ，那么下列不等式中，成立的是（    ）
A. 1a<1b                             B. a3 4.在等比数列 {an} 中， a2 ， a10 是方程 x2−6x+4=0 的两根，则 a3a9a6= （    ）
A. 2                                      B. -2                                      C. -2或2                                      D. 3±5
5.设函数 f(x)=x−1x+1 ，则下列函数中为奇函数的是（    ）
A. f(x−1)−1                     B. f(x−1)+1                     C. f(x+1)−1                     D. f(x+1)+1
6.已知正实数 a ， b 满足 a+b=3 ，则 4a+1b 的最小值为（    ）
A. 1                                           B. 3                                           C. 32                                           D. 9
7.已知函数 f(x) 的图象如图所示，则 f(x) 的解析式可能是（    ）

A. f(x)=(12+1ex−1)⋅sinx                                    B. f(x)=(12+1ex−1)⋅|cosx|
C. f(x)=(12+1ex−1)⋅cosx                                    D. f(x)=(12+1ex−1)⋅|sinx|
8.设 f'(x) 为奇函数 f(x)(x∈R) 的导函数， f(−2)=0 ，当 x>0 时， xf'(x)−3f(x)<0 ，则使得 f(x)>0 成立的 x 取值范围是（    ）
A. (−∞,−2)∪(2,+∞)      B. (−2,0)∪(2,+∞)      C. (−2,0)∪(0,2)      D. (−∞,−2)∪(0,2)
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9.已知函数 f(x)={log2(x−1),x>12x,x≤1 ，则下面结论成立的是（    ）
A. f(2)=4                 B. f(f(32))=12                 C. f(f(1))=0                 D. 若 f(a)=2 ，则 a=1
10.已知定义域为 R 的奇函数 f(x) 满足 f(x+1)=−f(x) ，且 f(x)=x2−x(0 A. f(232)=−14                                                     B. f(−1−x)=f(x)
C. 函数 f(x) 的图象关于点 (−1,0) 对称                D. f(x) 在区间 (−12,12) 上是单调函数
11.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引人，故又称该数列为“兔子数列”，它在现代物理、准晶体结构、化学.等领域都有直接的应用.斐波那契数列 {an} 满足： a1=1 ， a2=1 ， an=an−1+an−2(n≥3,n∈N∗) ，记其前 n 项和为 Sn ，则下列结论成立的是（    ）
A. S8=54                                                              B. a1+a3+a5+a7+⋯+a2019=a2020
C. a2+a4+a6+a8+⋯+a2020=a2021                  D. S2020+S2019−S2018−S2017=a2022
12.我们把有限集合 A 中的元素个数用 card(A) 来表示，并规定 card(∅)=0 ，例如 A={1,2,3} ，则 card(A)=3 .现在，我们定义 A∗B={card(A)−card(B),card(A)≥card(B)card(B)−card(A),card(A) A. (−2e,−1e)                             B. (0,1e)                             C. (1e,2e)                             D. (2e,+∞)
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.不等式 |2x−1| 14.已知函数 f(x) 满足 f(x)=f'(π4)cosx−sinx ，则 f'(π4)= ________.
15.已知不等式 (4x+y)(1x+ay)≥9 对任意正实数 x ， y 恒成立，则正实数 a 的取值范围是________.
16.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 i 行，第 j 列的数记为 ai,j ，例如 a3,2=9 ， a4,2=15 ， a5,4=23 ，由此可得 a8,5= ________，若 ai,j=2021 ，则 i−j= ________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知集合 A={x∣x−32−x>0} ， B={x∣2m （1）当 m=0 时，求 (∁RA)∩B ；
（2）请在①充分不必要条件 ②必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题.若 x∈A 是 x∈B 的  ▲  条件，试判断 m 是否存在，若存在，求出 m 的取值范围，若不存在，说明理由.
18.已知数列 {an} 满足 a1=1 ， an+1={an+2,n奇数an+1,n偶数 .
（1）记 bn=a2n ，写出 b1 ， b2 ，并求数列 {bn} 的通项公式；
（2）求 {an} 的前10项和.
19.已知函数 f(x)=x2ex−ax2−4ax .
（1）若 a=0 ，求 y=f(x) 在 x=1 处的切线方程；
（2）已知函数 y=f(x) 在 x=1 处有极值，求函数的单调递增区间.
20.科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础.某科技企业2020年最新研发了一款电子设备，通过市场分析，生产此类设备每年需要投人固定成本200万，每生产 x （百台）电子设备，需另投人成本 R(x) 万元，且 R(x)={12x2+30x+150,(10 （1）求出2020年的利润 W(x) （万元）关于年产量 x （百台）的函数关系式，（利润=销售额一成本）；
（2）2020年产量为多少百台时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
21.已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，且 a1=1 ， an+1=Sn+1 .
（1）求数列 {an} 的通项公式；
（2）设 bn=an(Sn+2)(Sn+1+2) ，数列 {bn} 前 n 项和为 Tn ，求证： Tn<16 .
22.已知函数 f(x)=lnx+2−ax−1−a(a∈R) .
（1）讨论函数 f(x) 的单调性；
（2）若 f(x)>0 在 (0,+∞) 恒成立，求整数 a 的最大值.


答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为 A={x|y=x−2}={x|x⩾2} ， B={x|lnx<1}={x|0 所以 A∩B={x|2⩽x 故答案为：B．

【分析】 先利用函数的定义以及指数不等式的解法求出集合A,B,再由集合交集的定义求解即可.
2.【答案】 C
【考点】命题的否定
【解析】【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，可得
命题“ ∃x>0 ， xx2+1>0 ”的否定是“ ∀x>0 ， xx2+1⩽0 ”．
故答案为：C．

【分析】 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.
3.【答案】 C
【考点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：因为 a2>b2 ，所以 |a|>|b| ，又 a>0>b ，所以 a>−b ，即 a+b>0 ，所以 D 选项错误；
A 选项：因为 a>0>b ，所以 1a>0>1b ，所以 A 选项错误；
B 选项：因为 a2>b2 ， a>0 ，所以 a3>ab2 ，所以 B 选项错误；
C 选项：因为 a2>b2 ， b<0 ，所以 a2b 故答案为：C．

【分析】 A选项,利用a, b的正负判断即可; B、C选项,利用不等式 a2>b2两边同乘a, b判断;D选项，利用不等式开方性质判断.
4.【答案】 A
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系，等比数列的性质
【解析】【解答】由于 a2 ， a10 是方程 x2−6x+4=0 的两根，
所以 a2+a10=6>0,a2⋅a10=4⇒a62=4 ，
由于 a6=a2q4,a10=a6q4 ，所以 a6 为正数，所以 a6=2 .
所以 a3a9a6=a62a6=a6=2 .
故答案为：A

【分析】 根据一元二次方根跟与系数的关系可得a2+a10=6 ， 再根据等比数列的性质可得a2⋅a10=4⇒a62=4 ，从而可得 a6=2 ， 所以a3a9a6=a62a6=a6可求.
5.【答案】 A
【考点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】由题意可得 f(x)=x−11+x=1−21+x ，
对于A， f(x−1)−1=1−21+(x−1)−1=−2x 是奇函数，A符合题意；
对于B， f(x−1)+1=1−21+(x−1)+1=2−2x 不是奇函数，B不正确；
对于C， f(x+1)−1=1−21+(x+1)−1=−2x+2 ，其定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，C不正确；
对于D， f(x+1)+1=1−21+(x+1)+1=2−2x+2 ，其定义域不关于原点对称，不是奇函数，D不正确.
故答案为：A.

【分析】 根据题意，先分析f (x )的对称性，结合函数平移变换的规律依次分析选项，判断选项中函数的对称中心，分析可得答案.
6.【答案】 B
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：由 a+b=3 ，得 13(a+b)=1 ，又 a>0 ， b>0 ，
所以 4a+1b=13(a+b)(4a+1b)=13(5+ab+4ba)⩾13(5+2ab⋅4ba)=3 ，
当且仅当 ab=4ba ， a=2b ，即 a=29 、 b=19 时，等号成立，所以 4a+1b 的最小值为3．
故答案为：B．

【分析】 由已知可知， 4a+1b=13(a+b)(4a+1b),展开后利用基本不等式即可求解.
7.【答案】 B
【考点】函数的图象
【解析】【解答】由题意可知函数 f(x) 的定义域为 {x|x≠0} ，其图象关于坐标原点对称，故函数 f(x) 是奇函数，
而A中的函数， f(−x)=(12+1e−x−1)⋅sin(−x)=(12+1ex−1)⋅sinx=f(x) 是偶函数，故排除A；
又 f(π)≠0 ，而对于D选项， f(π)=(12+1eπ−1)⋅|sinπ|=0 ，故可排除D；
又当 x∈(0,+∞) 时， f(x)≥0 ，当 x∈(−∞,0) 时， f(x)≤0 ，而对于C选项：当 x∈(0,+∞) 时， 12+1ex−1>0 ， cosx 的符号不确定，故排除C．
故答案为：B．

【分析】 由图知,函数f (x)为奇函数，f(π2)=0,f(π) > 0, 逐一排除选项,即可得解.
8.【答案】 D
【考点】函数奇偶性的判断，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】依题意 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)=0 .
构造函数 g(x)=f(x)x3(x≠0) ，
g(−x)=f(−x)(−x)3=−f(x)−x3=f(x)x3=g(x) ，所以 g(x) 为偶函数.
g'(x)=xf'(x)−3f(x)x4 ，
由于 xf'(x)−3f(x)<0 ，所以当 x>0 时， g'(x)<0 ， g(x) 递减，
所以 x<0 时， g(x) 递增.
且 g(2)=g(−2)=f(−2)(−2)3=0 ，
由此画出 f(x) 的大致图象如下图所示，

由于 f(x)>0 ，则当 x>0,x3>0 时， g(x)>0 ，此时 0 当 x<0,x3<0 时， g(x)<0 ，此时 x<−2 .
综上所述， x 的取值范围是 (−∞,−2)∪(0,2) .
故答案为：D

【分析】 构造函数g (x) ,利用g (x)的导数判断函数g(x)的单调性与奇偶性,求出不等式的解集即可.
二、多选题
9.【答案】 B,C
【考点】函数的值
【解析】【解答】依题意 f(2)=log2(2−1)=0 ，所以A选项错误，
f(32)=log2(32−1)=−1,f(−1)=2−1=12 ，所以B选项正确，
f(1)=21=2,f(2)=0 ，所以C选项正确，
由 2a=1⇒a=1 ，由 log2(a−1)=2⇒a=5 ，所以 a=1 或 5 ，D选项错误.
故答案为：BC

【分析】 由分段函数的解析式，逐个求得函数值,即可得出答案.
10.【答案】 B,C,D
【考点】函数的单调性及单调区间，函数单调性的性质，函数的周期性
【解析】【解答】对于A：函数 f(x) 满足 f(x+1)=−f(x) ，所以 f(x+2)=−f(x+1)=f(x) ，
所以函数 f(x) 周期为 2 的周期函数，所以
f(232)=f(12−12)=f(−12)=−f(12)=−(14−12)=14 ， A不正确；
对于B： f(x) 为奇函数且 f(x+1)=−f(x) 即 f(x)=−f(x+1)
因为 −f(x+1)=f(−x−1) ，所以 f(x)=f(−x−1) ，B符合题意；
对于C：由 f(x) 周期为2的周期函数，所以 f(x−2)=f(x) ，即 f(x−2)=−f(−x) ，
所以函数 f(x) 的图象关于点 (−1,0) 对称，C符合题意；
对于D： f(x)=x2−x=(x−12)2−12 在 (0,12) 上单调递减，且 f(x) 因为 f(x) 是奇函数，所以 f(x) 在 (−12,0) 上单调递减，且 f(x)>f(0)=0 ，
所以 f(x) 在区间 (−12,12) 上是单调函数，D符合题意；
故答案为：BCD.

【分析】 根据题意,f(x) 周期为2的周期函数，依次分析选项是否正确，综合可得答案.
11.【答案】 A,B,D
【考点】数列递推式
【解析】【解答】对A， a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,a7=13,a8=21 ，∴ S8=54 ，A符合题意；
对B, a1+a3+a5+a7+⋯+a2019=a2+(a4−a2)+(a6−a4)+⋯+(a2020−a2018)=a2020 ，B符合题意；
对C， a2+a4+a6+a8+⋯+a2020=(a3−a1)+(a5−a3)+⋯+(a2021−a2019)=a2021−1 ，C不符合题意；
对D， S2020+S2019−S2018−S2017=2S2019+a2020−2S2017−a2018=2(a2018+a2019)+a2019=a2021+a2020=a2022 ，D符合题意.
故答案为：ABD.

【分析】 由 a1=1  ，  a2=1 ， an=an−1+an−2(n≥3,n∈N∗) ， 可计算得出a3 ， a4, a5, a6, a7, a8 ， 直接计算S8即可;
12.【答案】 B,C,D
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】对于集合 A ，由 ex+x2−2=0 ，可得 ex=2−x2 ，作出函数 y=ex 与函数 y=2−x2 的图象如下图所示：

所以，函数 y=ex 与函数 y=2−x2 的图象有两个公共点，故 card(A)=2 .
因为 A∗B=|card(A)−card(B)|=1 ，所以， card(B)=1 或 3 .
对于集合 B ，由 (lnx−ax)(x2−aex+1)=0 ，显然 x>0 ，
由 lnx−ax=0 ，可得 a=lnxx ，由 x2−aex+1=0 ，可得 a=1e(x+1x) ，
设 f(x)=lnxx ， g(x)=1e(x+1x) ，
则直线 y=a 与函数 f(x) 、 g(x) 在 (0,+∞) 上的图象共有 1 个或 3 个交点，
f'(x)=1−lnxx2 ，当 00 ，此时函数 f(x) 单调递增，
当 x>e 时， f'(x)<0 ，此时函数 f(x) 单调递减， f(x)max=f(e)=1e ，
且当 x>1 时， f(x)>0 .
g'(x)=1e(1−1x2)=x2−1ex2 ，当 0 当 x>1 时， g'(x)>0 ，此时函数 g(x) 单调递增， g(x)min=g(1)=2e ，
作出直线 y=a 与函数 f(x) 、 g(x) 在 (0,+∞) 上的图象，如下图所示：

由图象可知，当 a≤0 、 a=1e 或 a=2e 时，直线 y=a 与函数 f(x) 、 g(x) 在 (0,+∞) 上的图象共有1个公共点.
故答案为：BCD.

【分析】数形结合可得card(A)=2 ， 根据题中定义可得card(B)=1 或 3 ， 设 f(x)=lnxx ， g(x)=1e(x+1x) ，分析可知直线 y=a 与函数 f(x) 、 g(x) 在 (0,+∞) 上的图象共有 1 个或 3 个交点，数形结合可得出实数a的取值范围，即可得出结论。
三、填空题
13.【答案】 1
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系，绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解： ∵|2x−1| ∴−a<2x−1 又 ∵ 不等式 |2x−1| ∴1−a2=0 且 1+a2=1 ，解得 a=1 ，
设 x1 ， x2 为方程 x2−(2a−1)x−2=0 的两根，
∴ 由韦达定理，可得 x1+x2=2a−1=1 ．
故答案为：1．

【分析】 将不等式 |2x−1| 14.【答案】−2+1
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解： ∵f(x)=f'(π4)cosx−sinx
∴f'(x)=−f'(π4)sinx−cosx ，
∴f'(π4)=−22f'(π4)−22 ，解得 f'(π4)=−12+1=1−2 ．
故答案为： 1−2 ．

【分析】 根据三角函数的求导公式求导得出f'(x)=−f'(π4)sinx−cosx ，然后将x换上π4即可得出  f'(π4) 的值.
15.【答案】a≥1
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：由 x>0 ， y>0 ， a>0 ，得 (4x+y)(1x+ay)=4+a+yx+4axy⩾4+a+2yx⋅4axy=4+a+4a ，
当且仅当 yx=4axy ，即 y=2ax 时等号成立，又不等式 (4x+y)(1x+ay)⩾9 对任意正实数 x ， y 恒成立，
所以 4+a+4a⩾9 ，即 a+4a−5⩾0 ，解得 a⩾1 或 a<−5 （舍去），所以 a⩾1 ．
故答案为： [1,+∞) ．

【分析】 由x > 0,y> 0可得(4x+y)(1x+ay)=4+a+yx+4axy⩾4+a+2yx⋅4axy=4+a+4a
,又不等式 (4x+y)(1x+ay)≥9 对任意正实数x, y恒成立，所以4+a+4a⩾9 ， 从而解出a的取值范围即可. 
16.【答案】 65；20
【考点】归纳推理
【解析】【解答】解：由图表可知：数表为从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第1组1个奇数，第2组2个奇数…第 n 组 n 个奇数，
则前 n 组共 n(n+1)2 个奇数，
则前7组共有 7(7+1)2=28 个奇数，第7最后一个为 (28−1)×2+1=55 ，
又 a8,5 表示第8组的第5个数，所以 a8,5=55+2×5=65
设 2021 在第 n 组中，又2021是从1开始的连续奇数的第1011个奇数，
则有 {n(n−1)2<1011n(n+1)2⩾1011 ，
解得 n=45 ，
即2019在第45组中，
则前44组共990个数，
又第45组中的奇数从右到左，从小到大，
则 2021 为第45组从右到左的第 1011−990=21 个数，
即 2021 为第45组从左到右的第 45−21+1=25 个数，
即 i=45 ， j=25 ，
故 i−j=45−25=20 ，
故答案为：65；20．

【分析】 根据所给数表得到规律:数表为从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第1组1个奇数，第2组2个奇数.. .第n组n个奇数，则前n组共n(n + 1)个奇数，奇数行由大到小排列，偶数行由小到大排列，第一空: a8,5 代表第八行第5个奇数,由上述规律即可求出答案；第二空:由等差数列的前n项和公式可得:2021在第n组中，又2021是从1开始的连续奇数的第1011个奇数,则有{n(n−1)2<1011n(n+1)2⩾1011 ， 解得n = 45,即2021在第45组中,由归纳推理可得:前44组共990个数，又第44组中的奇数从右到左，从小到大，则2021为第45组从右到左的第1011- 990 = 21个数,即2021为第45组从左到右的45 - 21+ 1= 25个数得解.
四、解答题
17.【答案】 （1）当 m=0 时， B=(0,3) ，又因为 x−32−x>0 等价于 (x−2)(x−3)<0 ，所以 A=(2,3) ， CRA=(−∞,2]∪[3,+∞) ， ∴CRA∩B=(0,2] ；
（2）若选条件①
∵x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件
∴A⊂≠B ， ∴{2m 解得 0≤m≤1 ，所以存在 m ， m∈[0,1]
若选条件②.
∵x∈A 是 x∈B 的必要不充分条件
∴B⊂≠A
当 2m≥m+3 ，即 m≥3 时， B=∅ ，成立.
当 2m {2m≥2m+3≤3 ，解得 m 不存在
∴ 存在 m≥3 .
【考点】交集及其运算，补集及其运算，必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】(1)当m = 0时，求出集合A, B,由此能求出 (∁RA)∩B ；
(2)若选条件①: x∈A是x∈B的充分不必要条件且2m=2与m+3=3不同时成立，由此能求出存在m,m∈[0, 1]；若选条件②: x∈A是x∈B的必要不充分条件,当2m≥m+3,即m≥3时， B=∅ ，成立，当2m 18.【答案】 （1）因为 2n 表示为偶数， 2n+1 表示为奇数，则 a2n+1=a2n+1 ， a2n+2=a2n+1+2 ，
∴a2n+2=a2n+3 ，即 bn+1=bn+3 ，且 b1=a2=a1+2=3 ，
∴{bn} 是以3为首项，3为公差的等差数列，
∴b1=3 ， b2=6 ， bn=3n ；

（2）当 n 为奇数时， an=an+1−2 ， ∴{an} 的前10项和为 a1+a2+...+a10
=(a1+a3+...+a9)+(a2+a4+...+a10)  
=[(a2−2)+(a4−2)+...+(a10−2)]+(a2+a4+...+a10)  
=2(a2+a4+...+a10)−10 ，
由（1）可知， a2+a4+...+a10=b1+b2+...+b5=3×5+5×42×3=45 ，
∴{an} 的前10项和为 2×45−10=80 .
【考点】数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】 (1 )直接利用分类法和赋值法的应用求出数列的b1 , b2的值和数列的通项公式;
(2)利用分组法的求和的公式的应用求出结果.
 
 
19.【答案】 （1）当 a=0 时， f(x)=x2ex ，则 f'(x)=(x2+2x)ex ，
因此切线斜率 k=f'(1)=3e ， 又 f(1)=12×e1=e
即函数图象过点 (1,e) ，因此切线方程为 y−e=3e(x−1) ，即 y=3ex−2e .

（2）f'(x)=(x2+2x)ex−2ax−4a ，
函数 y=f(x) 在 x=1 处有极值，则 f'(1)=0 ，
解得 a=e2 ，故 f'(x)=(x2+2x)ex−ex−2e=(x+2)(xex−e) .
设 ℎ(x)=xex ， ℎ'(x)=(x+1)ex ，
可知当时 x<−1 时， ℎ(x)=xex 为递减函数，
且 ℎ(x)<0 ； x>−1 时， ℎ(x)=xex 为递增函数，
故 x=1 为 xex=e 的解，且为唯一的解.
因此， f'(x)>0 时，即 x<−2 或 x>1 时，函数单调递增，
因此，函数的单调递增区间为 (−∞,−2) 和 (1,+∞) .
【考点】函数在某点取得极值的条件，利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1)当a= 0时, f(x)=x2ex  ,求导得f' (x),由导数的几何意义可得k切= f' (1),又f(1) = e,即可得出答案；
(2)求导得 f'(x)=(x2+2x)ex−2ax−4a ，若函数y= f(x)在x = 1处有极值,则f' (1)= 0,解得 a=e2 ， 进而可得f (x)的解析式，求导，分析f' (x) > 0,即可得出答案.
 
 
20.【答案】 （1）由题意知销售额为 0.7×100x=70x 万元
当 10 当 64≤x<120 时，
因此 W(x)={−12x2+40x−350,(10
（2）若 10 当 x=40 时， W(x)max=450 万元
若 64≤x<120 时， W(x)=720−2x−1800x−60
600−2(x−60)−1800x−60  
≤600−22(x−60)⋅1800x−60=480 ，
当且仅当 2(x−60)=1800x−60 时，即 x=90 时， W(x)max=480 万元.
相比较可得，2020年产量为90（百台）时，企业所获利润最大，最大利润是480万元.
【考点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】 (1 )由题意知销售额为 0.7×100x=70x 万元 ，分两种情况:当10 (2)分情况: 10 < x < 64，64≤x<120时，求出W(x)的最值,即可得出答案.
 
 
21.【答案】 （1）当 n≥2 时， {an+1=Sn+1an=Sn−1+1 ，两式相减得 an+1−an=an ， an+1=2an ，又 a1=1 ， a2=a1+1=2 ， ∴a2a1=2 .
所以数列 {an} 是首项为1，公比是2的等比数列，所以 an=2n−1 .

（2）Sn=1+2+22+⋯+2n−1=1−2n1−2=2n−1
因为 bn=2n−1(2n+1)(2n+1+1)=12(12n+1−12n+1+1) .
所以 Tn=b1+b2+⋯+bn=12(13−122+1+122+1−123+1+⋯+12n+1−12n+1+1)
=12(13−12n+1+1)=16−12⋅12n+1+1  ，所以 Tn<16 .
【考点】数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】 (1)由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求;
(2)运用等比数列的求和公式，求得  bn=2n−1(2n+1)(2n+1+1)=12(12n+1−12n+1+1) ， 再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证.
 
 
22.【答案】 （1）函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) .
因为 f(x)=lnx+2−ax−1−a ，
所以 f'(x)=1x+a−2x2=x+a−2x2 .
当 a−2≥0 ，即 a≥2 时， f'(x)>0 ；
当 a−2<0 ，即 a<2 时，
由 f'(x)>0 得 x>2−a ， f'(x)<0 得 0 综上，当 a≥2 时， f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增；
当 a<2 时， f(x) 在 (0,2−a) 上单调递减，在 (2−a,+∞) 上单调递增；

（2）因为 f(x)>0 ，即 lnx+2−ax−1−a>0 ，
所以 xlnx+2−x>(1+x)a .
所以 a 令 g(x)=xlnx+2−xx+1 ，则 g'(x)=x+lnx−2(x+1)2 ，
令 ℎ(x)=x+lnx−2 ，则 ℎ'(x)=1+1x=x+1x ，
因为 x>0 ，
所以 ℎ'(x)>0 ，
所以 ℎ(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，
因为 ℎ(1)=−1<0 ， ℎ(2)=ln2>0 ，
所以存在 x0∈(1,2) 满足 ℎ(x0)=0 ，
即 x0+lnx0−2=0 .
当 1 当 x>x0 时 ℎ(x)>0 ，即 g'(x)>0 .
所以 g(x) 在 (1,x0) 上单调递减，在 (x0,+∞) 上单调递增，
所以 g(x)min=g(x0)=x0lnx0+2−x0x0+1=x0(2−x0)+2−x0x0+1=2−x0 ，
所以 a<2−x0 ，
因为 1 所以 a 的最大值为0.
【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】 (1)求出f (x)的定义域,求出f' (x), 通过研究f' (x)的正负,确定函数f (x )的单调性即可;
(2)将不等式恒成立转化为  a